沈北新区2023—2024学年度上学期质量监测(二)
九年级数学试卷
(考试时间120分钟，试卷满分120分)
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
2．如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价，从每盒元下调至元，设平均每次降价百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．8 C．15 D．7
7．如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
9．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）
A． B．或4 C．或 D．
10．如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二．填空题(每题3分，共15分)
11．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为 ．
12．如图，已知是一块含有角的直角三角板（），点A是函数的图象上点，点B是函数的图象上一点，则k的值为 ．
13．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ．
14．如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为，点E在x轴上，点P在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为 ．
三．解答题
16．用适当的方法解方程．
(1)．
(2)．
17．共享概念已经进入人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为，，，四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
18．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．．
(1)求：支架点D到立柱的距离；
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
19．如图，在中，是边上一点．
(1)当时，
①求证：；
②若，，求的长；
(2)已知，若，求的长．
20．如图，在四边形中，，，的平分线交于点，是的中点，连接、，且．求证：
(1)四边形是菱形；
(2)．
21．某杨梅采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 带出杨梅价格
不超过人 超过人 元/人 元/斤
元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价
(1)某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？
(2)某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
22．九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图1．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中______；
x … 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质：
①______；
②______；
(3)观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______；
(4)知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______．
23．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．求证：．
(1)点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程：
(2)拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．
(3)思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．
参考答案与解析
1．B
【分析】直接利用探照灯的位置得出人在墙上的影子，进而得出答案．
【详解】如图所示：
当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．
故选： B .
【点睛】此题主要考查了中心投影，正确得出人的影子在墙上的变化是解题关键．
2．A
【分析】连接交于点，即可．
【详解】解：如图，连接交于点，
∴位似中心是点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．
4．B
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为元，可以列出方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了根的判别式：当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根，
，
解得，
此时方程为，解得，
三边分别为：2，2，3，
此时周长为：
当腰为3时，把代入关于的方程得，
解得，
此时方程为，解得，，
三角形三边分别为3、3、1，
此时周长为：
故选：．
7．A
【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设矩形的长，宽，
则，
矩形与矩形相似，
，即，
即．
．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作于点，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题．
【详解】解：作于点，如图所示．
，
，
，
，
，
，
．
设，则，，，
，
，
，解得，则．
故选：D．
9．C
【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是,
作，垂足为H，
则，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是.
故答案为：C.
10．D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，连接，证明是等边三角形，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
11．##
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，根据反比例函数k值的几何意义得出，通过证明，得出，进而得出，则，最后根据函数的图象位于第四象限，即可求解．
【详解】解：过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，
∵点A是函数的图象上点，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∵函数的图象位于第四象限，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】如图，在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作，
∴，，
∵，
设，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键．
14．3或
【分析】当与相似时．分①当，；②当，两点重合；两种情况求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由折叠可知，，当与相似时．分，两种情况求解：
①当时，即，，
∴，
∴；
②当时，即，两点重合，在的延长线上，
∴，即，
∴，即，
解得，；
综上所述，的值为3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例是解题的关键．
15．或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键．
由题意知，分为底，为腰两种情况求解：设，则，分①当为底，则在的垂直平分线与的交点；②当为腰，且时，；当为腰，且时，；分别计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，分为底，为腰两种情况求解：
设，则，
①当为底，则在的垂直平分线与的交点，
∴；
②当为腰，且时，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
当为腰，且时，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
综上所述，点坐标为或或，
故答案为：或或．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了公式法、直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握公式法、直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
解得，，；
（2）解：，
∴或，
解得，， ．
17．
【分析】画树状图列出所有结果数以及抽到两张卡片“共享出行”和“共享知识”的结果数，然后再利用概率=发生事件的总数总事件总数即可求出答案．
【详解】解：由题意得，画树状图如下：
由图可知，共有12中可能，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”，即和的结果只有2种．
抽的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是．
【点睛】本题考查了树状图法，熟练掌握树状图法以及概率公式是解题的关键．
18．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键
（1）：如图，延长，交点为，则，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，比较与3的大小，然后作答即可．
【详解】（1）解：如图，延长，交点为，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴支架点D到立柱的距离为米；
（2）解：不能，理由如下：
由题意知，（米），
∴（米），
∵，
∴不能．
19．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；
（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，则，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后由，证明四边形是菱形．
（2）由平行的性质可得，证明，则，整理可证结论．
【详解】（1）证明：∵，是的中点．
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定．相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式．
（1）设这次参加团建的共人，由题意求得，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意求得，当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人， 由（人），，可得该社团购买的成人票为元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅斤，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设这次参加团建的共人，
由题意知，（元），（元），
∵，
∴，
依题意得，，整理得，，
，
∴或，
解得，或（舍去）
∴这次参加团建的共人；
（2）解：∵（人），（人），
∴当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人，
∵（人），，
∴该社团购买的成人票为元/人，
设本次活动他们最多共带出杨梅斤，
依题意得，，
解得，，
∴本次活动他们最多共带出杨梅斤．
22．(1)1，图见解析
(2)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
(3)2
(4)
【分析】本题考查反比例的图象和性质．
（1）把代入得，，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可；
（2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质；
（3）当时，即，解得，得到点A、B的坐标分别为、，则，即可得到答案；
（4）联立求得点C、D的坐标，求得直线与交于点E的坐标，根据求解即可．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
补全图象如图所示：
故答案为：1；
（2）解：由图象可知：①函数的图象关于轴对称；
②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；
故答案为：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（答案不唯一）
（3）解：当时，即，解得，
故点A、B的坐标分别为、，则，
则；
故答案为：1；
（4）解：当时，联立得，
整理得，
解得或，
当时，；当时，；
如图，设直线与交于点E，
则、，，
∴，
故答案为：．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)选（1），证明见解析
【分析】（1）由，可得，，则，，根据，计算求解即可证明结论；
（2）如图③，延长到，使，连接、， 则是等腰直角三角形，由，可证三点共线，证明，则，，，，根据，计算求解即可证明结论；
（3）选（1），由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，如图①，延长到，使，连接，证明，则，，，，根据，计算求解即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图③，延长到，使，连接、，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是正方形的外角的平分线上一点，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：选（1），证明如下：
由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，
如图①，延长到，使，连接，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边对等角是解题的关键．
