2023-2024学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题。
1．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
2．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
3．（3分）如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β+αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
5．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
9．（3分）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
二、填空题。
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于 ．
13．（3分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是 ．
14．（3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．
三、解答题。
17．（8分）（1）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，求代数式的值．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，求m的值及方程的另一个根．
18．（9分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另外有2名男生和2名女生获得音乐奖．
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表法或画树状图法求刚好是一男生一女生的概率．
19．（8分）如图，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
20．（11分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A＝60°，求BC的长；
（2）若sinA＝，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
21．（11分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长．
22．（12分）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
23．（13分）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
（1）当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
（2）如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝2AB＝4，再根据矩形的对角线互相平分解答．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OA＝AC＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
2．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝5，
故这个菱形的周长L＝4AB＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．
3．（3分）如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从正面看三棱柱笔筒，得出主视图即可．
【解答】解：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是，
故选：C．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β+αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】据根与系数的关系α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，求出α+β和αβ的值，直接代入要求的式子即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
则α+β+αβ＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．
5．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．
【解答】解：列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
6．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
则0＜y1＜y2，
（3，y3）在第四象限，对应y值为负数，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得△ABC的面积，根据面积的和差，可得答案．
【解答】解：由DE∥BC，DB＝2AD，得
△ADE∽△ABC，＝．
由，△ADE的面积为1，得
＝，
得S△ABC＝9．
SDBCE＝SABC﹣S△ADE＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ABC＝9是解题关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1
【分析】设HG＝x，根据矩形的性质可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根据折叠的性质可得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得AD＝HE＝1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：设HG＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，
由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，
∴四边形ADHE是矩形，
∵AD＝DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴AD＝HE＝1，
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，
经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，
∵GH＞0，
∴GH＝﹣1，
∴DC＝2+x＝+1，
故选：C．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程﹣公式法，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA＝a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF＝S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA＝a，
在Rt△OAM中，∠AMO＝90°，OA＝a，sin∠AOB＝，
∴AM＝OA sin∠AOB＝a，OM＝＝a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴a a＝a2＝48，
解得：a＝10，或a＝﹣10（舍去）．
∴AM＝8，OM＝6，OB＝OA＝10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF＝S菱形OBCA＝OB AM＝40．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF＝S菱形OBCA．
二、填空题。
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为 8cm ．
【分析】根据正弦函数的定义即可求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
设AB＝5a cm，BC＝4a cm，
∴AC＝＝3a cm，
∵3a＝6，
∴a＝2，
则BC＝8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，正确求得BC的长度是关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于 2 ．
【分析】根据三角函数定义可得AD＝AC sin45°，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长．
【解答】解：∵AC＝6，∠C＝45°，
∴AD＝AC sin45°＝6×＝6，
∵tan∠ABC＝3，
∴＝3，
∴BD＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．
13．（3分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是 ．
【分析】根据概率的意义直接回答即可．
【解答】解：∵每次抛掷硬币正面朝上的概率均为，且两次抛掷相互不受影响，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的意义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14．（3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝8，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣13x+40＝0，
（x﹣5）（x﹣8）＝0，
所以x1＝5，x2＝8，
而三角形的两边长分别是3和4，
所以三角形第三边的长为5，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
【分析】过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，先利用60°角的正弦值求出PF的长，即可求出等边△BPC的面积，再求出PE的长，即可求出△PCD的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，
∴∠PFC＝∠PEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BCD＝90°，
∵△BPC是等边三角形，
∴PC＝BC＝4，∠PCB＝60°，
在Rt△PFC中，，
即，
∴，
∴，
∵∠BCD＝90°，∠PCB＝60°，
∴∠PCE＝30°，
∴，
∴，
∵，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BPC﹣S△PCD
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．
【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，由相似比，得到MN的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．
三、解答题。
17．（8分）（1）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，求代数式的值．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，求m的值及方程的另一个根．
【分析】（1）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣1，再通分得到＝，然后利用整体代入的方法计算；
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得﹣1+t＝﹣m，﹣1×t＝﹣2，然后解方程组即可．
【解答】解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣1，
所以＝＝＝3；
（2）设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得﹣1+t＝﹣m，﹣1×t＝﹣2，
解得t＝2，m＝﹣1，
所以m的值为﹣1，方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
18．（9分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另外有2名男生和2名女生获得音乐奖．
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表法或画树状图法求刚好是一男生一女生的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率＝；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，
所以刚好是一男生一女生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．（8分）如图，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；
（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．
【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3＝m+2，即m＝2，
∴A（2，3），
把A坐标代入y＝，得k＝6，
则双曲线解析式为y＝；
（2）对于直线y＝x+2，令y＝0，得到x＝﹣4，即C（﹣4，0），
设P（x，0），可得PC＝|x+4|，
∵△ACP面积为3，
∴|x+4| 3＝3，即|x+4|＝2，
解得：x＝﹣2或x＝﹣6，
则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（11分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A＝60°，求BC的长；
（2）若sinA＝，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【分析】（1）tanA＝，BE＝tan60°×6，sinE＝，∠E＝30°，进而求出CE，BC＝BE﹣CE；
（2）sinA＝＝，设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，求出x，进而求出BE，AE，tanE＝＝＝＝，解得DE，AD＝AE﹣DE．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，
∴∠E＝30°，BE＝tan60°×6＝6，
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝8，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣8；
（2）∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，
∴3x＝6，即x＝2，
∴BE＝8，AE＝10，
∴tanE＝＝＝＝，
解得DE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝10﹣＝．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是对三角函数的熟练掌握．
21．（11分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长．
【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵△ABC的面积＝BC×AH＝AB×AC，
∴AH＝＝，
∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵S AECD＝CE AH＝CD EF，
∴EF＝AH＝．
【点评】此题考查菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定，证明四边形AECD是菱形是解题的关键．
22．（12分）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【分析】（1）根据横、竖彩条的宽度之间的关系，可得出横彩条的宽度为x cm，利用长方形的面积计算公式，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）根据图中三条彩条所占面积是图案面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x中取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵横、竖彩条的宽度比为3：2，竖彩条的宽度为x cm，
∴横彩条的宽度为x cm，
∴图案中三条彩条所占面积y＝2×12x+20×x﹣2×x x，
即y＝﹣3x2+54x．
（2）依题意得：﹣3x2+54x＝20×12×，
整理得：3x2﹣54x+96＝0，
解得：x1＝2，x2＝16，
当x＝2时，x＝×2＝3；
当x＝16时，x＝×16＝24＞12，不符合题意，舍去．
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（13分）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
（1）当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
（2）如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；
②根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）过点E作EF⊥AC于F，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面积，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
（2）过点E作EF⊥AC于F，
设DE将△ABC的周长平分，
则AD+AE＝6，
设AD＝x，则AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x，
当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
