北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用）
2024.1
（考试时间120分钟满分100分）
考生须知
1．本试卷共8页，28道小题．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）
A．B．C．D．
2．下列事件中，是不可能事件的是（）
A．一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1-6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．通常温度降到以下，纯净的水结冰
D．在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
3．在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（）
A．4B．6C．8D．10
5．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）
A．B．C．D．
6．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）
A．B．
C．D．
7．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（）
A．点B．点C．点D．点
8．用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（）
A．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．方程的根是______．
10．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）．
11．抛物线的顶点坐标是______．
12．如图，在中，弦相交于点，则的度数为______．
13，某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为______．
14．如图，是半圆的直径，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是______．
15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为______．
16．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解方程．
18．关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一根小于0，求的取值范围．
19．已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 4 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）求的解析式；
（2）直接写出关于的不等式的解集．
20．如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
21．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．
（1）列举出所有可能的情况；
（2）求出至少有一辆车向左转的概率．
22．小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．
求证：点在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一作出过三点的．
如图1，分别作出线段的垂直平分线，
图1
设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．
连接，
（①______）．（填推理依据）
．
点在上．
步骤二用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
ⅰ．如图2，假设点在内．
图2
延长交于点，连接．
（②______）．（填推理依据）
是的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在内．
ⅱ．如图3，假设点在外．
图3
设与交于点，连接．
．
是的外角，
．
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在外．
综上所述，点在上．
点在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
23．某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：
队员号码 比赛场次 胜场 负场 积分
1 10 8 2 18
2 10 10 0 20
3 8 7 1 15
4 8 6 2 14
5 7 0 7 7
（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？
（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负______场．
24．如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分．
（1）求的度数；
（2）点在的延长线上，是该圆的切线．
①求证：是该圆的切线；
②若，直接写出的长．
25．如图1所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面．
图1 图2
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取3，结果保留整数）．
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，存在，求的取值范围．
27．已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．
图1 图2
（1）如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数；
（2）如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知．
对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”．
（1）当时，
①在点中，线段的“等直点”是______；
②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标．
（2）当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围．
北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末检测
九年级数学参考答案及评分标准（选用）
2024.1
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A C A C
二、填空题（共16分，每题2分）
9． 10．相切 11． 12．140 13．答案不唯一，如0.959 14． 15．1.2或3 16．或
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．解：方程化为．
．
．
．
．
18．（1）证明：依题意，得．
，
．
该方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得．
．
依题意，得．
19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为．
当时，，
．
．
（2）．
20．解：（1）是等腰直角三角形，
．
，
．
，
．
．
，
．
（2）由（1）可知，．
，
．
．
在中，根据勾股定理．
21．解：（1）两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况．
车1 车2 直行 左转 右转
直行 （直行，直行） （左转，直行） （右转，直行）
左转 （直行，左转） （左转，左转） （右转，左转）
右转 （直行，右转） （左转，右转） （右转，右转）
（2）由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种．所以P（至少有一辆车向左转）．
22．（1）补全图1，如图．
（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
②圆内接四边形的对角互补．
③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
23．解：（1）设参加本次比赛的队员共人．
由题意，得．
解方程，得（舍去）．
所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛．
根据题意，可知胜一场积2分，负一场积1分．
所以该名队员在本次比赛中的积分是．
答：该名队员本次比赛中的积分是39分．
（2）6．
24．（1）解：平分，
．
，
．
，
．
．
．
（2）①证明：如图，取的中点，连接．
，
是该圆的直径．
点是该圆的圆心．
是的切线，
．
，
．
，
．
．
是的切线．
②3．
25．解：（1）答案不唯一，例如
以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，抛物线顶点．
设抛物线对应的函数解析式为．
由抛物线经过点，可得，
解得．
．
（2）令，
解得（舍去）．
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
26．解：（1）由题意知，．
．
．
（2），
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
设抛物线上的四个点的坐标为．
点关于对称轴的对称点为．
抛物线开口向上，点是抛物线顶点，
．
ⅰ．当时，．
．
．
不存在，不符合题意．
ⅱ．当时，．
．
．
存在，符合题意．
ⅲ．当时，
的最小值为．
，
存在，符合题意．
ⅳ．当时，．
．
．
存在，符合题意．
ⅴ．当时，．
．
．
不存在，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
27．（1）补全图1，如图．
90．
（2）60．
证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．
是的中点，
．
，
．
．
．
．
在中，
．
，
．
．
．
，
．
．
．
．
28．解：（1）①．
②或．
（2）且．
