铁东区2023——2024学年度第一学期期末考试
九年级数学学科试卷
题 号 一 二 三 四 五 六 总分
得 分
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1.下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A.1个． B.2个． C.3个． D.4个.
2．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m＜1．B.m＞1．C.m＜1，且m≠0．D.m＞1，且m≠0．
3．二次函数y＝5（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的
函数关系式是（ ）
A．y＝5（x+1）2﹣2. B．y＝5（x﹣1）2﹣2.
C．y＝5（x+1）2+2. D．y＝5（x﹣1）2+2.
4．将分别标有“建”“设”“大”“美”“四”“平”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“四平”的概率是（ ）
A．. B．. C．. D．.
5．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO的延长线交⊙O于点C，∠BCA＝35°，
∠B的度数（ ）
A．15°. B．20°. C．25°. D．35°.
（第5题） （第6题）
6．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当I＜0.25时，R＜880. B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）.
C．当I＞0.22时，R＞1000 .D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣a＝0有一个根是x＝﹣2，则a的值为 ．
8．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，
依题意可列方程为 ．
9．已知抛物线y= -2（x -1）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．
10．春节假期欧亚商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次
摸奖的机会．不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价1.88元购买“大福字”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 ．
（第10题）
11．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，
若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 ．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为4，则
反比例函数的解析式为 ．
如图，扇形OAB以O为圆心，4为半径，圆心角∠AOB＝60°，点C为OB的中点，
连接AC．以C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
(
九年数学第
1
页（共
6
页）
)三、解答题（每小题5分，共20分）
15．用适当的方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
16.共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标:“共
享出行”“共享服务”“共享物质”“共享知识”.制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除
字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ．
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用
列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投
入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率.
18.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠CAD＝30°．
求证：CD是⊙O的切线．
（第18题）
四、解答题（每小题7分,共28分）
19.如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1中的图是2002年在北京
举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．
（图1） （图2） （图3）
（第19题）
图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是对称图形（填“轴”或“中心”）．
（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，图3的方、
格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；
②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形，图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
(1)经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图），你选择的方案是_____(填方案1、方案2或方案3)，则B点坐标是______，并求出你所选方案中的抛物线的表达式.
(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
(
（
第
20
题）
)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例
函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）
（1）求反比例函数与一次函数的解析式.
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积.
（3）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（第21题）
阅读下列材料，回答问题：
当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着字母的取值不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.
例如：已知抛物线，①
由①可得，②
所以抛物线的顶点坐标为即
当m的值变化时，x、y的值也随之变化.将③代入④，得.⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足.
在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是（填“A”或“B”）；
由③④得到⑤所用的数学方法是（填“A”或“B”）.
A.消元法 B.配方法
根据以上材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐
标y和横坐标x之间的函数关系式.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比
例函数图象过点E且和BC边相交于点F．
（1）直接写出点B和点E的坐标．
（2）求直线OB与反比例函数的解析式．
（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．
（第23题）
24.如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，
∠B＝45°，∠C＝30°.
∠BOC的度数为 .（直接写出结果）
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA′B′的位置，
当∠AOA′的度数为 时，OB′平分∠COD．（直接写出结果）
（3）如图③，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数可能是．（直接写出结果）
（第24题）
六、解答题（每题10分，共20分）
25.如图，在矩形 ABCD中，AB= 3cm , AD= 6cm.动点P , Q从A同时出发，且速度均为3cm/s,点P,Q分别沿折线AB-BC,AD-DC向终点C运动.设点P的运动时间为x(s)(0
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
(3)当 PQ长度不变时,直接写出x的取值范围及PQ的长度.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，
点A在点B的左边，其顶点为C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x轴上方，且纵坐标为4，连接AC、CD.
(1)直接写出A、B两点的坐标.
(2)经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数
解析式为 .
(3)将线段AC绕点A逆时针旋转得到AP.
①当点P恰好落在线段CD上时，四边形ACBP
的形状是.
②当点P落在线段BD上时，求a的值.
③当点P恰好落在（2）的抛物线上时，直接写出a的值.一、单项选择题（每小题 2分，共 12分）
1． B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D
二、填空题（每小题 3分，共 24分）
7． 4 8．（1+x）2＝121 9．＞1 10．0.35
8 5
11. 1 12．（7，4） 13． y 14． 2 3．
x 3
三、解答题（每小题 5分，共 20分）
15．解：x2﹣4x+2＝0，
（x﹣2）2＝2， （2分）
x﹣2＝ 2 ， （4分）
x1＝ 2 2 ，x2＝ 2 2； （5分）
说明：方法不唯一，只要正确按步骤给分。
1
16．解：（1） ； （1 分）
4
（2）画树状图如图：
(3分)
2 1
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为 ． （5 分）
12 6
17. 解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x，根据题意得： （1 分）
5000（1+x）2=7200， （3 分）
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）． （5 分）
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20%．
18．证明：连接 OC， （1分）
∵∠CAD＝30°，
∴∠COB＝2∠CAD＝60°， （2分）
∵AC＝CD，∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°， （3分）
∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线； （5分）
{#{QQABaYSAggAgAgBAABgCEQXYCgAQkAGCAKoGxEAIIAAAQAFABCA=}#}
四、解答题（每小题 7分，共 28分）
19．（1）中心． （2 分）
（2）如图 2是轴对称图形而不是中心对称图形． （5 分）
如图 3既是轴对称图形，又是中心对称图形． （7 分）
（说明：（2）题答案不唯一，只要满足条件即可得分）
20．解：
方案 1：（1）由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），
设抛物线的解析式为：y=ax2+5 （1 分）
1点 B 的坐标为（5,0），代入解析式可得：a （2 分）
5
1 2
∴抛物线的解析式为： y x 5 （4 分）
5
1 2 16
（2）由题意：把 x 3代入 y x 5解得： y =3.2
5 5
∴水面上涨的高度为 3.2m （7 分）
方案 2：（1）点 B 的坐标为（10,0） （1 分）
1
∴抛物线的解析式为： y x2 5 （4 分）
5
方案 3：（1）点 B的坐标为（5, 5） （1 分）
1
∴抛物线的解析式为： y x2 （4 分）
5
m
21．（1）解：将 A（﹣2，1）代入 y ，
x
∴m=﹣2， （1 分）
2
∴反比例函数的解析式为： y ，
x
2
将 B（1，n）代入 y ，可解得：n=﹣2 （ 2 分）
x
将 A（﹣2，1）和 B（1，﹣2）代入 y=ax+b，
1 2a b a 1
，解得： ，
2 a b b 1
∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣1， （3 分）
{#{QQABaYSAggAgAgBAABgCEQXYCgAQkAGCAKoGxEAIIAAAQAFABCA=}#}
（2）解：设直线 y=-x-1与 y轴交于点 C，令 x=0代入 y=﹣x﹣1，可得 y=﹣1，
∴点 C的坐标为（0，-1），
S 1 1 3 AOB 1 2 1 1 ； （5 分）2 2 2
（3）解：当 y1＜y2时，﹣2＜x＜0，或 x＞1. （7 分）
22.(1)B A （2分）
(2) 解：y x2 2mx 2m2 3m 1 x m 2 m2 3m 1, （4分）
2 x m① 此抛物线的顶点坐标为 m,m 3m 1 ，即 （6分）2
y m 3m 1②
2
当 m 的值变化时，x、y的值也随之变化.将①代入②，得 y x 3x 1. （7分）
2
可见，不论 m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标 y与横坐标 x满足 y x 3x 1.
五、解答题（每小题 8分，共 16分）
3
23．解：（1）B（2，3 E 2 ）， ， ； （2分）
2
k
（2）设直线 OB的解析式是 y k1x，反比例函数解析式是 y 2 ，x
3 3
把 B点坐标代入，得 k1 ，则直线 OB的解析式是 y x． （4分）2 2
3
把 E点坐标代入反比例函数的解析式是 y ； （6分）
x
（3）四边形 OEBF的面积＝矩形 OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积
2 3 1＝ 1 1 3 3 2 3． （8分）
2 2 2
24.（1）75° （2分）
（2）105° （4分）
（3）105°或 285° （8分）
解析：如图③﹣1中，当 A'B'与 OD相交于点 E时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'EO＝60°，
∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BOB'＝90°+15°=105° ．
{#{QQABaYSAggAgAgBAABgCEQXYCgAQkAGCAKoGxEAIIAAAQAFABCA=}#}
如图③﹣2中，当 A'B'与 AO相交于点 F时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'FO＝60°，
∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A'＝75°，
∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°．
综上所述：旋转的角度为 105°或 285°．
六、解答题（每小题 10分，共 20分）
25.解：(1)1 （2分）
(2)当 0 x 1时，如图，
AP AQ 3x , （4分）
y 1 AP 9 AQ x2
2 2
当1 x 2时，如图，
AQ 3x ,
y 1 AB AQ 9 x （6分）
2 2
当 2
PC=QC=9-3x,
y AB AD 1 1 1 9 27 AD DQ AB BP PC CQ x2 x （8分）
2 2 2 2 2
（3）1 x 2,PQ 3 2 （10分）
{#{QQABaYSAggAgAgBAABgCEQXYCgAQkAGCAKoGxEAIIAAAQAFABCA=}#}
26.解：(1)A(-1,0),B(3,0). （2分）
(2)y=-(x-1) +4 或 y=-x +2x+3 （4分）
(3)①正方形 （5分）
②如图，直线 BD:y=-2x+6.
由题意，得 P(4a-1,2).
又点 P 在直线 BD 上 ，
3
2=-2(4a-1)+6, 解得 a （8分）
4
2 2
③ , 2 2 (10分)
4 4
说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分.
{#{QQABaYSAggAgAgBAABgCEQXYCgAQkAGCAKoGxEAIIAAAQAFABCA=}#}
