限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气：
寒假作业08 相似三角形的性质与判定
1、比例的相关概念及性质
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2）比例中项：如果 = ，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
4）比例的性质
性质1：= ad=bc（a，b，c，d≠0）；性质2：如果=，那么；
性质3：如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
2、相似三角形的判定及性质
1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3、相似多边形
1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫它们的相似比．
2）性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
4、位似图形
1）定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2）性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形关键点；（3）确定位似比，即将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A． B． C． D．
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
4．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形都相似；④对角线相等的两个矩形都相似．
5．已知，则________．
6．如图，在矩形中，若，则的长为_______．
7．如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．
8．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长；
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
9．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
10．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到，作出，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．
11．魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为表目距”， 和的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高 C．表距 D．表距
12．如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点H，则的长等于___________．
13．问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究：
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
14．综合与实践
【问题提出】勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
【初步感知】（1）如图1，若，求黄金比的值．
【类比探究】（2）如图2，在△中，是边上一点，将△分割成两个三角形（），若，则称为△的黄金分割线．①求证：点是线段的黄金分割点；②若△的面积为4，求△的面积．
【拓展应用】（3）如图3，在△中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是△的黄金分割线吗？并说明理由．
15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何 ”它的意思是：如图，分别是正方形的边的中点，，，过点，且步，步， 那么该正方形城邑边长约为（ ）步
A．300 B．260 C．225 D．185
16．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设，则．
∵，∴……
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设是已知线段，过点B作且使；②连接，在上截取；③在上截取，则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 ．
17．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
20．（2023·山东济南·中考真题）如图，在△中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，.
(1)求证：；
(2)若，求证：.
22．（2023 苏州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气：
寒假作业08 相似三角形的性质与判定
1、比例的相关概念及性质
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2）比例中项：如果 = ，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
4）比例的性质
性质1：= ad=bc（a，b，c，d≠0）；性质2：如果=，那么；
性质3：如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
2、相似三角形的判定及性质
1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3、相似多边形
1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫它们的相似比．
2）性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
4、位似图形
1）定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2）性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形关键点；（3）确定位似比，即将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A． B． C． D．
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
4．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形都相似；④对角线相等的两个矩形都相似．
5．已知，则________．
6．如图，在矩形中，若，则的长为_______．
7．如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．
8．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长；
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
9．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
10．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到，作出，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．
11．魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为表目距”， 和的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高 C．表距 D．表距
12．如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点H，则的长等于___________．
13．问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究：
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
14．综合与实践
【问题提出】勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
【初步感知】（1）如图1，若，求黄金比的值．
【类比探究】（2）如图2，在△中，是边上一点，将△分割成两个三角形（），若，则称为△的黄金分割线．①求证：点是线段的黄金分割点；②若△的面积为4，求△的面积．
【拓展应用】（3）如图3，在△中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是△的黄金分割线吗？并说明理由．
15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何 ”它的意思是：如图，分别是正方形的边的中点，，，过点，且步，步， 那么该正方形城邑边长约为（ ）步
A．300 B．260 C．225 D．185
16．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设，则．
∵，∴……
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设是已知线段，过点B作且使；②连接，在上截取；③在上截取，则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 ．
17．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
20．（2023·山东济南·中考真题）如图，在△中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，.
(1)求证：；
(2)若，求证：.
22．（2023 苏州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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完成时间： 月 日 天气：
寒假作业07 反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
2、反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
3、反比例函数解析式的确定
1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
4、反比例函数中|k|的几何意义
5、反比例函数与一次函数的综合
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标.针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应x的范围.
6、反比例函数的实际应用：解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
1．某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
4．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态
6．如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
7．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）
8．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．
10．如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
12．已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
13．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
(1)求k，p的值；
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
14．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．
15．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务．
不用二次函数也能解决一元二次方程根的问题
在课堂上，小明学习了通过观察二次函数图象与轴的交点个数，来探究一元二次方程根的情况，理解了一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标，抛物线与轴的交点个数就是相应的一元二次方程实数根的个数．
爱动脑筋的小明体会到利用函数图象可以判断方程实数根的情况．于是他尝试利用以下方法探究方程的实数根的情况，思路如下：由于中，___________．
于是可将方程变形成．设，．在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象．
则方程的根即为一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标，这两个函数图象的交点个数即为方程的实数根的个数．
任务：(1)横线上应填入的条件是___________；
(2)请你根据小明的思路写出方程的实数根的情况的探究过程；
(3)尝试推断方程的实数根的个数为___________．
16．（2023年内蒙古呼和浩特市中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．
19．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________．
20．（2023年四川成都中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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