2023-2024学年度第一学期期末测试卷
九年级数学（RJ）
测试范围：21.1-27.3
注意事项：
1本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写作试卷或答题卡上．
3．答卷前请将封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若是关于的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
5．如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A．2 B．12 C．18 D．24
7．对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当时，有最大值 D．当时，随增大而减小
8．在正比例函数中，y随x的增大而减小，则关于x的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9．如图，已知正方形的边长为2，点E是的中点，连结，点F在上，且，连结并延长交于点G．则的长是（ ）．
A． B． C． D．1
10．如图，正方形的顶点，，对角线交于点H，将正方形以原点O为旋转中心，作以下变换：第一次逆时针旋转，第二次再顺时针旋转，第三次继续逆时针旋转，第四次依然顺时针旋转，……，重复这样的过程，当旋转30次后，点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ．
12．已知与相似且面积比为，则与的相似比为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是 ．
14．如图，为半圆O的直径，且，点C为半圆O上一点，连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系内有一矩形OABC，矩形内有一圆同时和这个矩形的三边都相切，若点，则此圆的圆心的坐标为 ．
三、解答题．
16．解下列方程
(1)
(2)．
17．如图，在中，C，D分别是AP，BP上的点．若CD=CP=4，DP=5，AC=3.5，BD=1．
（1）求证：．
（2）求AB的长．
18．将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．
（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．
19．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1：并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标．
（3）△ABC内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标．
20．如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
22．已知，抛物线交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当时，求y的取值范围；
(3)连接AB，若抛物线向下平移个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
23．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
(1)观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】将代入方程得到关于的方程求解即可．
【详解】解：将代入方程
得：，解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
2．C
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，再求出，即可得到的度数．
【详解】∵将绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.
【详解】解：连接BE,
∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,
∴∠BOD＝2∠BED＝90°.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.
5．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段的长度即可求解，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故选：．
6．C
【分析】根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.
【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)
则红球的个数为:24－6=18(个)
故选C.
【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.
7．B
【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线，
所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：，
，图象开口向上，当时，有最小值为，
当时，随的增大而增大，
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线的性质是解本题的关键．
8．B
【分析】根据正比例函数的性质得到，再根据一元二次方程的根的判别式即可解答．
【详解】解：∵正比例函数中，的值随值的增大而减小，
∴，
∵关于的一元二次方程为，
∴，
∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
9．A
【分析】如图：以点B为坐标原点建立直角坐标系，则，再根据题意可得、，然后用待定系数法求得直线的解析式为；设、，再根据运用两点间距离公式求得m，进而求得；再运用待定系数法求得直线的解析式为，最后令，求得点G的坐标即可解答．
【详解】解：如图：以点B为坐标原点建立直角坐标系，则
∵正方形的边长为2，点E是的中点，
∴，，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
设，，
∵，
∴，解得：或（不合题意舍去），
∴，
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
令，，即，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、一次函数的应用等知识点，正确建立直角坐标系、运用一次函数解决几何问题是解答本题的关键．
10．D
【分析】如图所示，过点H作轴于M，轴于N，连接，先证明四边形是矩形，得到，再由正方形的性质证明，进而证明，得到，，从而证明四边形是正方形，得到，由此求出，则点H在第一象限的角平分线上，再根据旋转方式判断出经过30次旋转后，点H在第二象限的角平分线上即可得到答案．
【详解】解；如图所示，过点H作轴于M，轴于N，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点H在第一象限的角平分线上，
∵将正方形以原点O为旋转中心，作以下变换：第一次逆时针旋转，第二次再顺时针旋转，第三次继续逆时针旋转，第四次依然顺时针旋转，……，
∴经过6次旋转后，点H在第二象限的角平分线上，
∴经过12次旋转后，点H在第三象限的角平分线上，
∴经过18次旋转后，点H在第四象限的角平分线上，
∴经过24次旋转后，点H在第一象限的角平分线上，
∴经过30次旋转后，点H在第二象限的角平分线上，
∴旋转30次后点H的坐标为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确求出点H的原始坐标是解题的关键．
11．
【分析】把代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．
【详解】解：把代入方程，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.
12．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵，
∴与的面积比等于相似比的平方，
∵，
∴与的相似比为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键．
13．
【分析】连接，设交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】如图，连接，设交y轴于点C，
∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，
∴，，
∴轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
14．
【分析】连接，，过点作于点，利用圆周角定理和含30度的直角三角形的性质，求出，的长度，利用阴影部分的面积等于的面积加上扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可．
【详解】解：连接，，过点作于点，
则：，，
∵，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积等于的面积加上扇形的面积减去扇形的面积，
∴阴影部分的面积
；
故答案为：
【点睛】本题考查求阴影部分的面积，解题的关键是掌握割补法求面积，扇形的面积公式以及垂径定理．
15．或
【分析】首先根据点的坐标可得矩形四条边的长，然后分四种情况：当与、、三边相切时，当与、、三边相切时，当与、、三边相切时，当与、、三边相切时，进行分析即可，根据圆在矩形内进行取舍即可求解．
【详解】解：设与矩形的三边都相切，
∵四边形是矩形，，
∴，，
①当与、、三边相切时，则点的纵坐标为，则半径也为1，
∴
②当与、、三边相切时，则点的横坐标为，则半径为，
∴
③当与、、三边相切时，则点的纵坐标为，则半径也为1，
∴,
④当与、、三边相切时，则点的横坐标为，则半径为，
∴，
∵圆在矩形内，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，切线的定义，分类讨论是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据题目选择合适的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
17．（1）见解析；（2）AB=6
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解．
【详解】（1）∵CD=CP=4，DP=5，AC=3.5，BD=1，
∴BP=1+5=6，AP=3.5+4=7.5，
∴，
又∵∠P=∠P，
∴；
（2）∵，
∴，
∵CD =4，
∴AB==6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”，是解题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意可列出如下图的树状图，先将所有可能出现的结果列出来，然后将两次抽取的卡片上的数字之和大于5的结果列出来即可得出结果；
（2）将两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的结果列出来，计算即可得出结果．
【详解】解：根据题意可列出如下图的树状图，
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，
即(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)
(1)两次抽取的卡片上的数字之和大于5(记为事件A)的结果有6个，
分别为：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，
故 P(A)=；
(2)两次抽取的卡片上的数字之和为奇数(记为事件 B)的结果有8个，
分别为：(1，2)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，6)，(6，1)，(6，3)，
故 P(B)=．
【点睛】本题主要考查了概率的运算，属于基础题，难度一般，熟练掌握树状图的画法是解题的关键．
19．（1）见解析，点B的对应点B1的坐标为（3，1）；（2）见解析，点B的对应点B2的坐标为（2，﹣6）；（3）M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标（﹣2a，﹣2b）．
【分析】（1）将三个顶点分别顺时针旋转90°得到其对应的点，然后首尾顺次连接即可，继而根据直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）分别作出三个顶点位似变换的对应点，再首尾顺次连接即可，继而根据直角坐标系写出点B2的坐标；
（3）根据位似变换的定义即可得到答案．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求，其中点B的对应点B1的坐标为（3，1）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点B的对应点B2的坐标为（2，﹣6）；
（3）M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标（﹣2a，﹣2b）．
【点睛】本题考查作图—位似变换，旋转变换，解题的关键是熟练掌握位似变换和旋转变换的步骤及性质作出正确的图形．
20．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，
（1）连接，易证，继而结合已知证明，然后利用角平分线的性质即可证得，再证明，即可证明；
（2）可求出，根据，，求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵⊙O与边相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
即：，
∴，
即．
21．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
22．(1)y=x2-2x-3；顶点坐标为（1，-4）；
(2)-4≤y≤0；
(3)k=1，或＜k≤10
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x的取值范围求解．
（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB上，经过点A，B时k的值，进而求解．
【详解】（1）抛物线交x轴于C，D两点， C的坐标为，对称轴为，
∴
解得
，
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线顶点坐标为（1，-4）．
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，-4），
∴函数最小值为y=-4，对称轴为直线x=1，
∵，
∴x=-1时，y=1+2+3=0为函数最大值，
∴当-4≤x≤0时，y的取值范围是：-4≤y≤0；
（3）二次函数抛物线向下平移个单位后解析式为y=-x2-2x-3-k，
抛物线顶点坐标为（1，-4-k），
当顶点落在线段AB上时，-4-k=-5，
解得k=1，
当抛物线向下移动，经过点时，16-8-3-k=-5，
解得k=10，
当抛物线经过点时，，
解得k=，
∴当k=1，或＜k≤10时，函数图象与线段AB有一个公共点．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
23．(1)AE＝BD，AE⊥BD
(2)结论成立，AE＝BD，AE⊥BD．理由见解析
(3)满足条件的AD的值为17或7
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD．
（2）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD．
（3）作CH⊥AD于H，利用等腰直角三角形的性质求出CH＝DE＝5，利用勾股定理求出AH＝12，然后分射线AD在直线AC的下方和上方两种情况求解．
【详解】（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，
即AE⊥BD．
（3）当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，
∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
【点睛】本题考查几何变换，解决问题的思路是从特殊到一般，注意解决后面问题参照前面的思路方法是解决问题的关键．
