2023—2024 学年度第一学期期末考试
九年级数学学科评分标准（含客观题答案）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B C C A C A D B B D
二、填空题：
13．2(x+2)(x-2)
14．2:5
25
15． （或 6.25）
4
16．12
三、解答题：
17． ( 5 2)( 5 2) ( 3 2)2
解：原式= 5 4 (3 4 3 4)…………………………………………………………………………………（2分）
= 5 4 3 4 3 4 ………………………………………………………………………………（3分）
= 4 3 6（或 6 4 3）………………………………………………………………………（4分）
a 1 2a
18． ( 1)
a 1 a2 1
a 1 a 1 2a
解：原式= ( ) ……………………………………………………………………（2分）
a 1 a 1 (a 1)(a 1)
2a (a 1)(a 1)
= ………………………………………………………………………………（3分）
a 1 2a
= a+1……………………………………………………………………………………………（4分）
2x 1 x①
19．
x 3x 8②
解：由①，得：
2x-x>-1
x>-1……………………………………………………………………………………………（1分）
由②，得：
3x+x<8
4x<8……………………………………………………………………………………………（2分）
x<2……………………………………………………………………………………………（3分）
∴原不等式组的解集为-1
k
20．解：（1）将点 A（2，3）分别代入 y=x+b 与 y ，得：
x
k
∴ 3=2+b，3 ，…………………………………………………………………………………（1分）
2
∴ b=1，k=6，………………………………………………………………………………………（2分）
6
∴ 直线 AB 为 y=x+1，反比例函数为 y ；……………………………………………………（3分）
x
（2）当 x=0，则 y=x+1=1，
∴ B（0，1）…………………………………………………………………………………………（4分）
6
当 y 1时，解得 x=6，
x
∴ C（6，1）…………………………………………………………………………………………（5分）
1 1
∴ S△ABC = |xC | |yA-yB |= ×6×(3-1)=6．………………………………………………………（6分）
2 2
21．（2） …………………………………………………………（3分）
（3）∵ CF=BD，DF=BC，………………………………………………………………………（5分）
∴四边形 DBCF 是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）．…………（6分）
22．解：【实践探究】
∵ OB∥AD，
∴ ∠ABO=∠DAB=39°，………………………………………………………………………（1分）
在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OB=3 厘米，
AO
tan∠ABO= ，………………………………………………………………………………（2分）
OB
∴ AO=3×0.81=2.43（厘米），
即该刻度尺的宽度 OA 约为 2.43 厘米．…………………………………………………………（3分）
【问题解决】
∵ OC∥AD，
∴ ∠ACO=∠DAC=24°，………………………………………………………………………（4分）
在 Rt△AOC 中，∠AOB=90°，OA=2.43 厘米，
AO
tan∠ACO= ，………………………………………………………………………………（5分）
OC
2.43
∴ OC= 5.4（厘米），
0.45
即 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 5.4 厘米．…………………………………………（6分）
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23．解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（0.5，2.25），抛物线过点（0，2）
∴ 设解析式为 y=a(x-0.5) 2+2.25，…………………………………………………………（1分）
将点（0，2）代入 y=a(x-0.5) 2 +2.25，得：
2=a(0-0.5) 2 +2.25
解得：a=-1，…………………………………………………………………………………（2 分）
∴ 解析式为 y=-(x-0.5) 2+2.25，
令 y=0，则-(x-0.5) 2+2.25=0，…………………………………………………………（3分）
解得：x=2 或 x=-1（舍去），
∴ 他设计的水池符合要求；…………………………………………………………………（4 分）
（2）令 y=1.25，则-(x-0.5) 2 +2.25=1.25，……………………………………………………（5 分）
解得 x=1.5 或 x=-0.5（舍去），
∴ 为了不影响水流，小水池的半径不能超过 1.5 米．……………………………………（6分）
24． （1）29；………………………………………………………………………………………………（2分）
（2）96 分；（95~97 均算正确）……………………………………………………………………（4分）
（3）下列推断合理的是 ①．…………………………………………………………………………（6 分）
25．（1）证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DF∥EB，
∵ DF=EB，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形，………………………………………………………（2 分）
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90°，
∴ 四边形 BFDE 是矩形．………………………………………………………………（3 分）
（2）解： ∵ AF 平分∠DAB，DC∥AB，
∴ ∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，
∴ ∠DAF=∠DFA，
∴ AD=FD=5，…………………………………………………………………………（4分）
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC=AD=5，
∵ 四边形 BFDE 是矩形，
∴ ∠BFD=90°，
即 △BCF 为直角三家形，
2 2
∴ BF= BC CF =4，…………………………………………………………………（5分）
∴ S 矩形 BFDE =DF·DE=5×4=20．………………………………………………………（6 分）
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26． （1）证明：连接 OD．
∵ AC=CD，
∴ ∠A=∠ADC，……………………………………………………………………（1分）
∵ OB=OD，
∴ ∠B=∠BDO，……………………………………………………………………（2分）
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A+∠B=90°，
∴ ∠ADC+∠BDO=90°，
∵ ∠ADC+∠ODC +∠BDO=180°，
∴ ∠ODC=90°，……………………………………………………………………（3分）
∵ OD 是⊙O 的半径，
∴ CD 是⊙O 的切线．………………………………………………………………（4分）
（2）解： ∵ AC=CD= 2 3 ，∠A=60°，
∴ △ACD 是等边三角形，
∴ ∠ACD=60°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠DCO=30°，
在 Rt△OCD 中，∠ODC=90°，
∴ OD=CD·tan∠DCO=2，…………………………………………………………（5分）
∴ ∠BOD=∠DCO+∠ODC=120°，………………………………………………（6分）
120 2 4
∴ l ．……………………………………………………………（7分）
BD 180 3
27． （1）CE；……………………………………………………………………………………………（2分）
（2） ；………………………………………………………（6分）
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（3）
0.5~0.9 范围内或 2.4~2.8 范围内．………………………………………………………（8分）
28．解：（1） 四边形 ABCD 是正方形．…………………………………………………………………（1分）
理由： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ADC=∠ADF+∠FDC=90°，
∵ GD⊥DF，
∴ ∠FDG=∠ADG+∠ADF=90°，
∴ ∠ADG=∠CDF，
∵ ∠ADG=∠CDF，∠G=∠DFC=90°，AG=CF，
∴ △ADG ≌△CDF（AAS），……………………………………………………………（2分）
∴ AD=CD，
∴ 矩形 ABCD 是正方形．…………………………………………………………………（3分）
（2） HF=AH+CF，……………………………………………………………………………（4分）
理由： ∵ DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF，
∴ ∠G=∠H =∠DFH =90°，
∴ 四边形 HFDG 是矩形，…………………………………………………………………（5分）
∴ ∠DFC=∠FDG=∠ADG+∠ADF=90°，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD=CD，∠ADC=∠ADF+∠FDC=90°，
∴ ∠ADG=∠CDF，
∵ ∠ADG=∠CDF，∠G=∠DFC=90°，AD=CD，
∴ △ADG ≌△CDF（AAS），……………………………………………………………（6分）
∴ AG=CF，DG=DF，
∴ 矩形 HFDG 是正方形，
∴ HG=HF=AH+AG=AH+CF；……………………………………………………………（7分）
2
（3） BH CM …………………………………………………………………………………（9分）
2
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2023—2024 学年度第一学期期末试卷 8．我们知道压强 P，是指物体单位面积 S 上受到的压力 F，即 P ．如果 50N 的压力 F 作用于物体上，S
九年级 数学 产生的压强 P 要大于 500Pa，则下列关于物体受力面积 S（m
2）的说法正确的是（ ）
A．S 小于 0.1m 2 B．S 大于 0.1m 2 C．S 小于 10m 2 D．S 大于 10m 2
命题人： 9．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 13 名运动员的成绩如表所示．
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 本卷满分 120分，考试时间
人数 1 2 3 5 2
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
目要求的） A．1.70 米，1.65 米 B．1.65 米，1.70 米 C．1.75 米，1.65 米 D．1.70 米，1.70 米
1．2024 的相反数是（ ） 10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了
1 1 一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今
A．-2024 B．2024 C． D．
2024 2024 有人合伙购物，每人出 8 钱，会多出 3 钱；每人出 7 钱，又差 4 钱．问人数、物价各多少？”设人数为 x
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 人，物价为 y 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
8x 3 y 8x 3 y 8x 3 y 8x 3 y
A． B． C． D．
7x 4 y 7x 4 y 7x 4 y 7x 4 y
11．在平面直角坐标系中，将二次函数 y=(x+1) 2 +3 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位
A． B． C． D． 长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
斐波那契螺旋线 笛卡尔心形线 赵爽弦图 科克曲线
A．y=(x+3) 2 +2 B．y=(x-1) 2+2 C．y=(x-1) 2+4 D．y=(x+3) 2 +4
3．从水利部长江水利委员会获悉，截止 2023 年 3 月 30 日 17 时，南水北调中线一期工程自 2014 年 12 月
12．如图，点 A，B，C，在⊙O 上，∠C=40°．则∠AOB 的度数是（ ）
全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约 90 亿立方米．其中 9 000 000 000 用科学记数法表示为
A．50° B．60° C．70° D．80°
（ ）
A．9×10 8 B．9×10 9 C．9×10 10 D．9×10 11
4．若∠A=42°，则∠A 的补角的度数为（ ）
A．48° B．58° C．138° D．148°
5．下列运算正确的是（ ）
A．a 2·a 4=a 8 B．a 4-a 3=a C．(a 2) 3=a 6 D．a 6÷a 3=a 2
6．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB=90°，点 D 为边
AB 的中点，点 A、B 对应的刻度为 1、7，则 CD=（ ） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分）
2
A．3cm B．3.5cm C．4.5cm D．6cm 13．因式分解：2x -8= ．
14．如图，△ABC 和△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形．若 OA:AD=2:3，则△ABC 与△DEF 的周
长比是 ．
2 3
7．方程 的解为（ ）
x x 1 15．关于 x 的一元二次方程 x
2-5x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ．
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 16．一个仅装有球的不透明布袋里只有 8 个红球和 n 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红
球的概率为 0.4，则 n= ．
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三、解答题（本大题共 12小题，共 72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （1）设计方案
17．（4 分）计算： ( 5 2)( 5 2) ( 3 2)2 ． 先画一个符合题意的草图，如图 2，再分析实现目标的具体方法．
（2）设计作图步骤，完成作图．
a 1 2a 作法：如图 3，
18．（4 分）化简： ( 1) ．
a 1 a2 1 ①以点 C 为圆心、BD 为半径画弧；
②再以点 D 为圆心、BC 为半径画弧，两弧交于点 F；
2x 1 x ③连接 DF 与 CF．
19．（4 分）解一元一次不等式组： ．
x 3x 8 则四边形 DBCF 即为所求．
请在图 3 中完成尺规作图，保留作图痕迹．
k
20．（6 分）如图，已知直线 y=x+b 与反比例函数 y （x>0）的图象交于点 A（2，3），与 y 轴交于点 B， （3）推理论证
x 证明： ∵ ，
k
过点 B 作 x 轴的平行线交反比例函数 y （x>0）的图象于点 C． ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形．（ ）（填理由）
x
（1）求直线 AB 和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC 的面积．
22．（6 分）小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度 OA，但手中只有一把刻度模糊的 45°直角三角
板，无法直接测量，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点 A 重合，斜边与尺下沿 DA 重合，如图
①，一直角边与尺上沿的交点 B 在尺上的读数即为直尺的宽．
【实践探究】小红受到小星的启发，将 39°的∠DAB 按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图②，
AB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数恰为 3 厘米，求该刻度尺的宽度 OA 的长；
【问题解决】小红继续按相同的方式将 24°的∠DAC 放置在刻度尺上，求 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的
读数为多少厘米．（结果精确到 0.1 厘米）
（参考数据 sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
21．（6 分）先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D 是边 AB 上一点，如图 1．
求作：四边形 DBCF，使得四边形 DBCF 是平行四边形．
23．（6 分）阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材 1】某公园计划修建一个图 1 所示的喷水池，水池中心 O 处立着一个高为 2m 的实心石柱 OA，水池
周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点 A 处汇合．为使水
流形状更漂亮，要求水流在距离石柱 0.5m 处能达到最大高度，且离池面的高度为 2.25m.
【素材 2】距离池面 1.25m 的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
小明的做法如下：
【任务解决】
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（1）小张同学设计的水池半径为 2m，请结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求． d．甲同学的心理测试成绩是 74 分．
（2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？ 根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲同学心理测试成绩在抽取的样本中排名第 名；
（2）某位同学的体质测试成绩排名最高，那他的心理健康测试成绩为 分；
（3）下列推断合理的是 ．
①乙同学更需要加强心理方面的素质；
②丙同学相较于乙同学测试成绩总的排名更高．
25．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在 CD 边上，DF=BE，连接
AF，BF．
24．（6 分）青少年健康问题越来越引起社会的广泛关注，某学校九年级的学生有 600 人，该校 （1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
为了解学生的健康状况，对九年级的学生进行了一次心理健康和体质健康的测试，调查小组 （2）若 AF 平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形 BFDE 的面积．
从九年级学生的测试成绩中抽取了 40 人的测试成绩进行了整理描述和分析，下面给出了部分
信息：
a．40 名学生的心理健康测试成绩的频数分布直方图如图①：
26．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心，OB 为半径
的圆与 AB 相交于点 D，连接 CD，且 CD=AC．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
b．40 名学生的心理健康测试成绩在 70≤ x≤ 80 分这一组的是： （2）若∠A=60°，AC= 2 3 ，求 BD的长．
71，72，73，73，74，75，75，78，79，79
c．40 名学生的心理健康测试成绩和体质健康测试成绩情况统计图如图②；
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27．（8 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，点 D 为 AB 的中点，射线 CB 上有动 28．（9 分）综合与实践：
点 E，F，连接 DE，DF，使得∠EDF=∠A． 【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点，DF
⊥CE 于点 F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形 ABCD 的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB
上一点，DF⊥CE 于点 F，AH⊥CE 于点 H，GD⊥DF 交 AH 于点 G，可以用等式表示线段 FH，AH，CF
的数量关系，请你写出这个数量关系并证明；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图 3，在正方形 ABCD
中，E 是边 AB 上一点，AH⊥CE 于点 H，点 M 在 CH 上，且 AH=HM，连接 AM，BH，可以用等式表示
线段 CM，BH 的数量关系，请你直接写出这个数量关系．
小军根据学习函数的经验，对线段 CE，BF，DE 长度之间的关系进行了探讨，下面是小军的探究过程，
请补充完整．
（1）列表：如表的已知数据是根据取点、画图、测量得到：
BF/cm 2 1.78 1.61 1.47 1.09 0.59 0 0.76 1.78 5.35
CE/cm 0 0.51 0.81 1 1.40 1.74 2 2.22 2.41 2.71
DE/cm 2.50 2.11 1.91 1.80 1.62 1.52 1.50 1.52 1.55 1.66
在线段 CE，BF，DE 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量 x，另外两条线段的长度都是
这个自变量的函数 y；
（2）描点、连线：在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的两个函数图象；
（3）解决问题：当 BF-CE=1 时，CE 的长度大约是 cm．（保留两位小数）
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