一次函数综合复习1
一．选择题（共7小题）
1．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
2．甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车早到1小时
C．乙车的速度为100km/h
D．当t＝2.4时，两车相遇
3．一次函数图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
4．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为8厘米，高为15厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤13 B．11≤h≤12 C．8≤h≤10 D．14≤h≤15
5．2022年2月1日，一部以抗美援朝战争中的长津湖战役为背景的电影《长津湖之水门桥》在中国大陆上映．截至到2022年10月6日，该票房突破40.67亿，位于2022年度票房榜首．下列关于40.67亿说法正确的是（ ）
A．40.67亿是精确到亿位
B．40.67亿是精确到十亿位
C．40.67亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝4.067，n＝9
D．40.67亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝4.067，n＝8
6．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+1上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＝1，则y1y3＞0 B．若x1x3＝﹣2，则y1y2＞0
C．若x2x3＝3，则y1y3＞0 D．若x2x3＝﹣1，则y1y2＞0
7．关于一次函数y＝kx+3（k≠0），下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象一定不经过第一象限
B．当k＝2时，若x的取值增加2，则y的值也增加2
C．该函数的图象向下平移3个单位后一定经过坐标原点
D．若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是，则k＝1
二．填空题（共13小题）
8．点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则y1 y2.（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
9．函数y＝x﹣5与y＝kx+b的图象如图所示，两图象交点的横坐标为4，则二元一次方程组的解是 ．
10．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OA上的一点，若△ABC将沿BC折叠，点A恰好落在y轴上的点A'处，则点C的坐标是 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，BD＝4，点P、E分别是AC、AB上动点，当DP+EP的值最小时，BE＝5，则AE的长为 ．
12．若点A（m，6）与点B（﹣3，n）关于原点成中心对称，则m﹣n＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，若BD＝3cm，CD＝2cm，则线段BF的长度为 cm．
14．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．
15．如图，函数y＝﹣3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＞ax+4的解集为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．直线y＝kx+k恰好将△AOB分成两部分的面积比是1：5，则k＝ ．
17．已知点P（a﹣2，b）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，则10﹣3a+b＝ ．
18．如图，一次函数y＝kx﹣4（k＞0）与y＝mx（m＜0）的图象相交于点P（2，﹣3），则关于x的不等式kx﹣4＞mx的解集为 ．
19．某市出租车的收费标准：不超过3千米计费7元；若超过3千米，则超过3千米的部分按2.4元/千米计费（不满1千米按1千米计算）．甲在一次乘出租车出行中付费19元，设出租车行驶的里程为x千米，则x的取值范围是 ．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（5，0），AB的中点M的坐标为（3，2）．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M，且将△OAB分成的两个部分面积之比为2：3，则k的值为 ．
三．解答题（共15小题）
21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，0）、B（0，﹣3）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）若把直线AB向下平移3个单位长度，则平移后的直线对应的函数表达式为 ，在平移过程中，直线AB在第三象限内扫过的图形面积为 ．
22．元旦期间，明明一家人开车到距家350千米的外婆家，当行驶40千米时，发现汽车油箱内有油27升；当行驶90千米时，发现油箱内有油23升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）该车平均每100千米的耗油量为 升，整个行驶过程中，油箱中剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为 ；
（2）当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试判断他们能否在汽车报警前到达外婆家，并说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象相交于点A，且分别与x轴交于点B、C．
（1）求A点坐标；
（2）判断的△ABC形状，并说明理由；
（3）若点D在y轴上，当△ACD是等腰三角形时，请直接写出点D坐标．
24．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x﹣1|﹣3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 ﹣1 ﹣2 a ﹣2 b 0 …
则a＝ ，b＝ ．
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）①判断：函数y＝|x﹣1|﹣3的图象 （填“是”或“不是”）轴对称图形；
②观察函数图象，当3＜y＜5时，x的取值范围是 ．
③观察函数图象，试判断函数y＝|x﹣1|﹣3是否存在最小值？若存在，直接指出最小值，并通过代数推理加以证明；若不存在，说明理由．
25．【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：如图1，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则AB＝AC．请你帮助小明完成证明；
【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
①如图2，在△ABC中，AD是角平分线，过点B作AD的垂线交AD、AC于点E、F，∠ABF＝2∠C．求证：；
②如图3，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC，AD⊥BD，当△ACD的面积最大时，请直接写出此时AD的长．
【拓展应用】（3）如图4，△ABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB＝90°，AC＝60米，BC＝80米，该绿化带中修建了健身步道OA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB．现要用围挡完全封闭△CMN区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）
26．如图，已知直线l1：y＝kx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线l2：y＝2x+8交于点P（﹣2，a），直线l2与x轴交于点A．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形OAPC的面积．
27．随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成为了大家竞相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住这一商机，购进了一批“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，已知2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元．
（1）“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？
（2）如果这一商家准备再购进相同的“冰墩墩”和“雪容融”小挂件共100个，且“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
28．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第26天的日销售量是 件，日销售利润是 元．
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：点C的坐标；
（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P点的坐标．
（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若AB⊥OF，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．
30．（1）【问题解决】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝6，ED＝8，求BE的长．
（2）【问题延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，求BD的长．
（3）【问题拓展】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ABC面积为24，且CD的长为8，求△BCD与的面积．
31．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地，已知甲、乙两地的路程是350km，货车行驶时的速度是60km/h，两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图；
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）求轿车到达乙地时货车距离乙地还有多远？
32．已知，一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点P的坐标为（m，3﹣m）．
（1）若一次函数y＝x+3的图象经过点P，求m的值；
（2）若点P在x轴上，求△ABP的面积．
33．如图，在△ABC中，∠B＝90°．
（1）利用直尺和圆规在AC边上找一点P，使得∠ABP+∠C＝90°（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BP，若AB＝6，BC＝8，求线段BP的长．
34．已知，一次函数y＝（2﹣t）x+4与y＝﹣（t+1）x﹣2的图象相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠﹣1．
（1）求线段AB的长；
（2）试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；
（3）当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．
35．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（0，4），点P为x轴正半轴上一点，直线AC⊥直线PB．垂足为C，连接OC，设点P的横坐标为m．
（1）求证：∠PBO＝∠PAC；
（2）当m＝3时，求点C的坐标；
（3）取点O关于PB的对称点D，连接CD、OD；
①试说明：当0＜m＜4时，△OCD为等腰直角三角形；
②试探索AC、BC、OD三条线段长度之间的数量关系，并说明理由．
一次函数综合复习1
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【分析】根据一次函数图象和性质进行判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
2．甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车早到1小时
C．乙车的速度为100km/h
D．当t＝2.4时，两车相遇
【分析】观察图象可判断A、B、C正确，不符合题意，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断D错误，符合题意．
【解答】解：由图象可知：
A、A、B两城市之间的距离为300km，故此选项正确，不符合题意；
B、甲第5小时达到乙地，乙第4小时达到乙地，所以乙车比甲车早到1小时，故此选项正确，不符合题意；
C、乙用时3小时，所以300÷3＝100km/h，故此选项正确，不符合题意；
D、设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得：k＝60，
所以 y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0），（4，300）代入可得：，
解得：，
所以y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，
解得：t＝2.5，
所以当t＝2.5时，两车相遇，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数图象的意义，从图象获得信息．
3．一次函数图象上有两点A（﹣2，y1），B（3，y2），则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜3，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2）是一次函数y＝﹣x+n的图象上的点，且﹣2＜3，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
4．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为8厘米，高为15厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤13 B．11≤h≤12 C．8≤h≤10 D．14≤h≤15
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣15＝10（cm）．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时AB＝＝＝17（cm），
故h＝25﹣17＝8（cm）．
故h的取值范围是8≤h≤10．
故选：C．
【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
5．2022年2月1日，一部以抗美援朝战争中的长津湖战役为背景的电影《长津湖之水门桥》在中国大陆上映．截至到2022年10月6日，该票房突破40.67亿，位于2022年度票房榜首．下列关于40.67亿说法正确的是（ ）
A．40.67亿是精确到亿位
B．40.67亿是精确到十亿位
C．40.67亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝4.067，n＝9
D．40.67亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝4.067，n＝8
【分析】根据科学记数法及精确度直接判断即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，40.67亿精确到百万位，故A、B错误，40.67亿＝4067000000＝4.067×109，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法与有效数字，解题的关键是熟练掌握两个定义及写科学记数法前先将数字还原．
6．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+1上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＝1，则y1y3＞0 B．若x1x3＝﹣2，则y1y2＞0
C．若x2x3＝3，则y1y3＞0 D．若x2x3＝﹣1，则y1y2＞0
【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x+1中﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜x3，
∴y1＞y2＞y3，
A、若x1x2＝1，则x1x2＞0，即x1与x2同号（同时为正或同时为负），
∵x1＜x2＜x3，
∴若取x1与x2同为负数，由x1＜x2＜x3不能确定x3的正负，
∵（x1，y1），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+1上的三个点，
∴y1＝﹣3x1+1＞0，y3＝﹣3x3+1正负不能确定，则无法判断y1y3符号，不符合题意；
B、若x1x3＝﹣2，则x1x3＜0，即x1与x3异号（一正一负），
∵x1＜x2＜x3，
∴x1＜0，x3＞0，由x1＜x2＜x3不能确定x2的正负，
∵（x1，y1），（x2，y2）为直线y＝﹣3x+1上的三个点，
∴y1＝﹣3x1+1＞0，y2＝﹣3x2+1正负不能确定，则无法判断y1y2符号，不符合题意；
C、若x2x3＝3，则x2x3＞0，即x2与x3同号（同时为正或同时为负），
∵x1＜x2＜x3，
∴若取x2与x3同为正数，由x1＜x2＜x3不能确定x1的正负，
∵（x1，y1），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+1上的三个点，
∴y1＝﹣3x1+1正负不能确定，y3＝﹣3x3+1正负不能确定，则无法判断y1y3符号，不符合题意；
D、若x2x3＝﹣1，则x2x3＜0，即x1与x3异号（一正一负），
∵x1＜x2＜x3，
∴x2＜0，x3＞0，由x1＜x2＜x3确定x1＜0的正负，
∵（x1，y1），（x2，y2）为直线y＝﹣3x+1上的三个点，
∴y1＝﹣3x1+1＞0，y2＝﹣3x2+1＞0，则y1y2＞0，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象与性质，由题中条件判断出x1，x2，x3正负，结合一次函数增减性求解是解决问题的关键．
7．关于一次函数y＝kx+3（k≠0），下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象一定不经过第一象限
B．当k＝2时，若x的取值增加2，则y的值也增加2
C．该函数的图象向下平移3个单位后一定经过坐标原点
D．若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是，则k＝1
【分析】根据一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，与坐标轴的交点行一一分析．
【解答】解：一次函数y＝kx+3（k≠0），当x＝0时，y＝3，
∴图象经过（0，3），
∴图象一定经过第一象限，故A错误，不合题意；
当k＝2时，y＝2x+3，
若x的取值增加2，则2（x+2）+3﹣（2x+3）＝4，即y值增加4，故B错误，不合题意；
该函数的图象向下平移3个单位后，得y＝kx+3﹣3＝kx，为正比例函数，
则必经过原点，故C正确，符合题意；
在y＝kx+3（k≠0）中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则，
∴函数图象与坐标轴的交点为，（0，3），
∴，解得：k＝1或k＝﹣1，故D错误，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握这些知识点，对选项作出判断．
二．填空题（共13小题）
8．点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则y1 ＞ y2.（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
【分析】根据k＜0，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵m＜m+1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
9．函数y＝x﹣5与y＝kx+b的图象如图所示，两图象交点的横坐标为4，则二元一次方程组的解是 ．
【分析】根据函数图象交点坐标是二元一次方程组的解，即可得答案．
【解答】解：∵两图象交点的横坐标为4，
∴交点的纵坐标坐标是：4﹣5＝﹣1，
∴的解为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握函数图象交点坐标是二元一次方程组的解．
10．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OA上的一点，若△ABC将沿BC折叠，点A恰好落在y轴上的点A'处，则点C的坐标是 ．
【分析】先求出线段AB的长，再利用△ABC≌△A'BC，得AB＝A'B，AC＝A'C，求出OA′的长，设OC为x，利用A'O2+OC2＝A'C2，求出x的长，即可得答案．
【解答】解：一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴，
∵△ABC将沿BC折叠，点A恰好落在y轴上的点A'处，
∴△ABC≌△A'BC，
AB＝A′B，AC＝A′C，
∴OA'＝A'B﹣OB＝5﹣3＝2，
设OC为x，那么AC＝A'C＝4﹣x，
∵A'O2+OC2＝A'C2，即22+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，解题的关键是证明△ABC≌△A'BC．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，BD＝4，点P、E分别是AC、AB上动点，当DP+EP的值最小时，BE＝5，则AE的长为 9 ．
【分析】作点D关于直线AC的对称点F，过F作FE⊥AB于E，交AC于P，则此时DP+EP的值最小，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：作点D关于直线AC的对称点F，过F作FE⊥AB于E，交AC于P，
则此时DP+EP的值最小，
∵∠FEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BFE＝30°，
∴BF＝2BE＝10，
∵点D关于直线AC的对称点F，
∴CD＝（BF﹣BD）＝3，
∴BC＝7，
∴AB＝2BC＝14，
∴AE＝14﹣5＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．若点A（m，6）与点B（﹣3，n）关于原点成中心对称，则m﹣n＝ 9 ．
【分析】根据关于原点成中心对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出字母的值即可．
【解答】解：点A（m，6）与点B（﹣3，n）关于原点成中心对称，
则m＝3，n＝﹣6，m﹣n＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了关于原点对称坐标变化规律，解题关键是熟记于原点成中心对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，若BD＝3cm，CD＝2cm，则线段BF的长度为 cm．
【分析】先求∠DAB＝∠DBA，推导出BD＝AD，再求出∠BDF＝∠ADC，∠DBF＝∠DAC，根据ASA证明△BFD≌△ACD，可得DF＝CD＝2cm，在Rt△BDF中，再由勾股定理，即可得出答案．
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣45°＝45°＝∠ABD，
∴BD＝AD，
∵∠C+∠CBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠CBF＝∠DAC，
在△BFD和△ACD中，
，
∴△BFD≌△ACD（ASA），
∴DF＝CD＝2cm，
在Rt△BDF中，BD＝3cm，DF＝2cm，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等．证明两个三角形全等是解题的关键．
14．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝2.5，
∴MG＝CG＝，
∴HN＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
15．如图，函数y＝﹣3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＞ax+4的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】以交点为分界，结合图象写出不等式﹣3x＞ax+4的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣3x经过A（m，3），
∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，3），
由图可知，不等式3x＞ax+4的解集为x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．直线y＝kx+k恰好将△AOB分成两部分的面积比是1：5，则k＝ ﹣2或 ．
【分析】首先根据函数表达式求出A，B点的坐标，然后求出△AOB面积，然后根据y＝kx+k的特点得知恒过点（﹣1，0），然后根据题意可知y＝kx+k与坐标轴或y＝x+2的交点坐标，进而可求k的值．
【解答】解：∵直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，
当x＝0时，得y＝2，
∴B（0，2），OB＝2，
当y＝0时，得0＝x+2，解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），OA＝2，
∴，
∵直线y＝kx+k＝k（x+1），
当x＝﹣1时，得y＝0，
∴函数图象恒过点C（﹣1，0），
∴AC＝CO＝1，
∵直线y＝kx+k恰好将△AOB分成两部分的面积比是1：5，
∴或，
当时，则，
∴，
∴，
∵在直线y＝kx+k上，
∴，
当时，设点D的纵坐标为yD，
则，
∴，
∵D在直线y＝x+2上，
∴，
解得：，
∴，
∵在直线y＝kx+k上，
∴，
解得：k＝﹣2，
综上所述，k＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，两条直线的交点问题，三角形的面积，运用了分类讨论的思想．掌握函数图象与坐标轴的交点坐标的确定方法是解题的关键．
17．已知点P（a﹣2，b）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，则10﹣3a+b＝ 2 ．
【分析】将点P（a﹣2，b）代入一次函数y＝3x﹣2中即可得出结果．
【解答】解：∵点P（a﹣2，b）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，
∴b＝3（a﹣2）﹣2，
∴3a﹣b＝8，
∴10﹣3a+b＝10﹣8＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特点．熟练掌握整体代入是解题的关键．
18．如图，一次函数y＝kx﹣4（k＞0）与y＝mx（m＜0）的图象相交于点P（2，﹣3），则关于x的不等式kx﹣4＞mx的解集为 x＞2 ．
【分析】写出直线y＝mx（m＜0）在直线y＝kx﹣4（k＞0）下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：由图象可知，关于x的不等式kx﹣4＞mx的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
19．某市出租车的收费标准：不超过3千米计费7元；若超过3千米，则超过3千米的部分按2.4元/千米计费（不满1千米按1千米计算）．甲在一次乘出租车出行中付费19元，设出租车行驶的里程为x千米，则x的取值范围是 7＜x≤8 ．
【分析】首先判断出行驶里程超过3千米，再根据题意列出方程，求得x的值，最后根据不满1千米按1千米计算可得x的取值范围．
【解答】解：∵不超过3千米计费7元，
∴行驶里程超过3千米，
∴7+2.4（x﹣3）＝19，
解得：x＝8，
∵不满1千米按1千米计算，
∴x的取值范围是7＜x≤8，
故答案为：7＜x≤8．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据不满1千米按1千米计算得出x的范围．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（5，0），AB的中点M的坐标为（3，2）．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M，且将△OAB分成的两个部分面积之比为2：3，则k的值为 1或 ．
【分析】连接OM，先求出，再根据条件得出S△OCM＝1，由题意分两种情况讨论：当点C在OB边上，求出点C（1，0），然后利用待定系数法即可求出k；当点C在OA边上，作辅助线如图，则有OC：OA＝1：5，易证△OCE∽△OAD，然后根据相似三角形的性质求出，，进而可得点C坐标，再利用待定系数法即可求出结果．
【解答】解：连接OM，
∵，点M为AB的中点，
∴，
设满足条件的直线与△BAO的另一边边交于点C，由题意分两种情况：
当点C在OB边上，且S△BCM：S△AOB＝2：5时，可得，
可得：S△OCM＝5﹣4＝1，
∴，
∴OC＝1，
∴C（1，0），
将C（1，0），M（3，2）代入y＝kx+b，
得出：，
解得：k＝1；
当点C在OA边上，可得，S△OCM＝1，如图，则有OC：OA＝1：5，
连接OM，作AD⊥OB于点D，CE⊥OB于点E，
则OD＝1，AD＝4，CE∥AD，
∴△OCE∽△OAD，
∴CE：AD＝OE：OD，
∴，，
∴点C的坐标是，
把M（3，2）、C代入y＝kx+b，
得出：，
解得：；
故答案为：1或．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，正确得出点C坐标是解题的关键．
三．解答题（共15小题）
21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，0）、B（0，﹣3）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）若把直线AB向下平移3个单位长度，则平移后的直线对应的函数表达式为 y＝﹣3x﹣6 ，在平移过程中，直线AB在第三象限内扫过的图形面积为 ．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据平移的性质“上加下减，左加右减”即可得出平移后的直线表达式；设直线y＝﹣3x﹣6与x轴交点为点D，与y轴的交点为点C，根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C、D的坐标，再根据直线AB在第三象限内扫过的图形面积＝S△DOC﹣S△AOB结合三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴
解得
∴这个函数的表达式为y＝﹣3x﹣3；
（2）根据平移的性质可知：直线AB：y＝﹣3x﹣3向下平移3个单位后得到的直线表达式为y＝﹣3x﹣3﹣3＝﹣3x﹣6，
设直线y＝﹣3x﹣6与x轴交点为点D，与y轴的交点为点C，
在y＝﹣3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）；
当y＝0时，﹣3x﹣6＝0，
∴x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
∴直线AB在第三象限内扫过的图形面积为．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：牢记平移的性质“上加下减，左加右减”；结合图形找出直线AB在第三象限内扫过的图形面积即为梯形ABCD的面积．
22．元旦期间，明明一家人开车到距家350千米的外婆家，当行驶40千米时，发现汽车油箱内有油27升；当行驶90千米时，发现油箱内有油23升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）该车平均每100千米的耗油量为 8 升，整个行驶过程中，油箱中剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为 y＝﹣0.08x+30.2 ；
（2）当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试判断他们能否在汽车报警前到达外婆家，并说明理由．
【分析】（1）先求出汽车平均每千米耗油量，再乘以100，即可求出该车平均每100千米的耗油量，设油箱中剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式；
（2）将x＝350代入（1）的解析式求出y与4比较即可判断．
【解答】解：（1）∵当行驶40千米时，发现汽车油箱内有油27升；当行驶90千米时，发现油箱内有油23升，
∴每千米耗油升，
∴该车平均每100千米的耗油量为0.08×100＝8升，
设油箱中剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝﹣0.08x+30.2，
故答案为：8，y＝﹣0.08x+30.2；
（2）当x＝350时，y＝﹣0.08x+30.2＝﹣0.08×350+30.2＝2.2＜4，
答：如果开车途中不加油，他们不能在汽车报警前到达外婆家．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，已知自变量求函数值，正确理解题意是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象相交于点A，且分别与x轴交于点B、C．
（1）求A点坐标；
（2）判断的△ABC形状，并说明理由；
（3）若点D在y轴上，当△ACD是等腰三角形时，请直接写出点D坐标．
【分析】（1）联立方程组，求出方程组的解即可；
（2）分别求出点B和点C的坐标，过点A作BC的垂线，垂足为D，可得BD＝CD＝2，再判断△ABC形状即可；
（3）由AC与y轴不垂直，故可知AC只能是等腰三角形△ACD的腰，设点D的坐标为（0，y），根据两点间距离公式求出AC、CD、AD的长，再分AC＝CD、AC＝AD，AD＝CD三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数与的图象相交于点A，联立得：
，
解得，
∴A的坐标为（﹣1，1）；
（2）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵，
∴当y＝0时，x＝﹣3，
∴B（﹣3，0）．
∵，
∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0）．
过点A作BC的垂线，垂足为D，则点D的坐标为（﹣1，0），如图，
∴BD＝CD＝2，
又∵AD⊥BC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）由AC与y轴不垂直，故可知AC只能是等腰三角形△ACD的腰，设点D的坐标为（0，y），
∵A（﹣1，1），C（1，0）
∴，
①当AC＝CD时，，
解得，y1＝2，y2＝﹣2，
∴点D的坐标为（0，2），（0，﹣2）；
②当AC＝AD时，，
解得，y1＝3，y2＝﹣1，
∴点D的坐标为（0，3），（0，﹣1）；
③当AD＝CD时，同理可得：，
∵A（﹣1，1），C（1，0），
∴此时D为AC中点，不构成三角形，舍去；
综上，点D的坐标为（0，2），（0，﹣2），（0，3），（0，﹣1）．
【点评】本题主要考查了两条直线相交的问题以及等腰三角形的性质，正确理解题意是解答本题的关键．
24．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x﹣1|﹣3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 ﹣1 ﹣2 a ﹣2 b 0 …
则a＝ ﹣3 ，b＝ ﹣1 ．
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）①判断：函数y＝|x﹣1|﹣3的图象 是 （填“是”或“不是”）轴对称图形；
②观察函数图象，当3＜y＜5时，x的取值范围是 ﹣7＜x＜﹣5或7＜x＜9 ．
③观察函数图象，试判断函数y＝|x﹣1|﹣3是否存在最小值？若存在，直接指出最小值，并通过代数推理加以证明；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把x的值代入计算，即可求出a、b的值；
（2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象；
（3）①利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断；
②分情况讨论：x＞1时和x＜1时，分别求解不等式，即可得到答案；
③利用绝对值的性质，得到|x﹣1|﹣3≥﹣3，当且仅当x＝1时取等号，即可判断最小值．
【解答】解：（1）∵y＝|x﹣1|﹣3，
当x＝1时，y＝|1﹣1|﹣3＝﹣3，即a＝﹣3；
当x＝3时，y＝|3﹣1|﹣3＝﹣1，即b＝﹣1，
故答案为：﹣3；﹣1；
（2）函数图象如下：
（3）①由（2）图象可知，函数y＝|x﹣1|﹣3的图象是轴对称图形，
故答案为：是；
②∵y＝|x﹣1|﹣3，
当x＞1时，y＝x﹣4，即3＜x﹣4＜5，解得：7＜x＜9；
当x＜1时，y＝﹣x﹣2，即3＜﹣x﹣2＜5，解得：﹣7＜x＜﹣5，
故答案为：7＜x＜9或﹣7＜x＜﹣5；
③存在，最小值为﹣3，证明如下：
∵|x﹣1|≥0，
∴|x﹣1|﹣3≥﹣3，当且仅当x＝1时取等号，
∴函数y＝|x﹣1|﹣3的最小值为﹣3，
即存在最小值，最小值为﹣3．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
25．【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：如图1，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则AB＝AC．请你帮助小明完成证明；
【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
①如图2，在△ABC中，AD是角平分线，过点B作AD的垂线交AD、AC于点E、F，∠ABF＝2∠C．求证：；
②如图3，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC，AD⊥BD，当△ACD的面积最大时，请直接写出此时AD的长．
【拓展应用】（3）如图4，△ABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB＝90°，AC＝60米，BC＝80米，该绿化带中修建了健身步道OA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB．现要用围挡完全封闭△CMN区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）
【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明△ADB≌△ADC（ASA），即可证明AB＝AC；
（2）①由（1）可得，AB＝AF，，进而得到AC﹣AB＝CF，∠ABF＝∠AFB，再利用三角形外角的性质得到∠C＝∠CBF，从而推出BF＝CF，即可证明结论；
②延长AD和BC相交于点E，由（1）可知，△ADB≌△ADE，得到AB＝BE，AD＝DE，进而得到，根据三角形中线性质，得到，当AC⊥CE时，S△ACE最大，即S△ACD最大，利用勾股定理求出AE＝3，即可得到AD的长；
（3）延长MO交AB于点D，延长NO交AB于点E，由（1）可知，△AOM≌△AOD，△BON≌△BOE，得到OM＝OD，ON＝OE，进而证明△MON≌△DOE（SAS），得到MN＝DE，再利用勾股定理得到AB＝100，设AM＝x，BN＝y，则CM＝60﹣x，CN＝80﹣y，AD＝x，BE＝y，从而得到DE＝x+y﹣100，即可求出△CMN的周长，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴AB＝AC；
（2）①证明：在△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BF，
由“情境建模”的结论得△AEF≌△AEB，
∴AB＝AF，，
∴AC﹣AB＝AC﹣AF＝CF，∠ABF＝∠AFB，
∵∠ABF＝2∠C，
∴∠AFB＝2∠C，
∵∠AFB＝∠C+∠CBF，
∴∠C＝∠CBF，
∴BF＝CF，
∴；
②解：延长AD和BC相交于点E，如图3，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
由“情境建模”的结论得：△ADB≌△ADE，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵，
∴，
∵D为AE中点，
∴，
当S△ACE最大时，S△ACD最大，即AC⊥CE时，S△ACD最大，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：延长MO交AB于点D，延长NO交AB于点E，如图4，
∵OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB，
由“情境建模”的结论得：△AOM≌△AOD，△BON≌△BOE，
∴OM＝OD，ON＝OE，
在△MON和△DOE中，
，
∴△MON≌△DOE（SAS），
∴MN＝DE，
∵∠C＝90°，AC＝60，BC＝80，
∴，
设AM＝x，BN＝y，
∴CM＝60﹣x，CN＝80﹣y，
∵△AOM≌△AOD，△BON≌△BOE，
∴AD＝AM＝x，BE＝BN＝y，
∴DE＝AD+BE﹣AB＝x+y﹣100，
∴MN＝DE＝x+y﹣100，
∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝（60﹣x）+（80﹣y）+（x+y﹣100）＝40，
答：至少需要围挡40米．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的有关计算，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题关键．
26．如图，已知直线l1：y＝kx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线l2：y＝2x+8交于点P（﹣2，a），直线l2与x轴交于点A．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形OAPC的面积．
【分析】（1）由直线l2：y＝2x+8求得P的坐标，代入y＝kx+2即可得到结论；
（2）由直线l1的解析式求得B、C的坐标，由直线l2：y＝2x+8求得A的坐标，然后根据四边形OAPC的面积等于△PAB的面积减去△OBC的面积即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝2x+8过点P（﹣2，a），
∴a＝2×（﹣2）+8＝4，
∴P（﹣2，4），
把P（﹣2，4）代入y＝kx+2得：4＝﹣2k+2，
解得：k＝﹣1，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x+2．
（2）把y＝0代入y＝﹣x+2，得：﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴B（0，2），
把x＝0代入y＝﹣x+2得：y＝2，
∴C（0，2），
∴OB＝2，OC＝2，
把y＝0代入y＝2x+8得：2x+8＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴AB＝6，
过P点作PH⊥x轴于H，如下图所示：
∴四边形OAPC的面积为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．
27．随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成为了大家竞相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住这一商机，购进了一批“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，已知2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元．
（1）“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？
（2）如果这一商家准备再购进相同的“冰墩墩”和“雪容融”小挂件共100个，且“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）根据2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总费用和购进“冰墩墩”小挂件个数的函数关系式，然后根据“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，可以得到购进“冰墩墩”小挂件个数的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为a元、b元，
由题意可得：，
解得，
答：“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为8元，10元；
（2）设购进“冰墩墩”小挂件x个，则购进“雪容融”小挂件（100﹣x）个，所需总费用为w元，
由题意可得：w＝8x+10（100﹣x）＝﹣2x+1000，
∴w随x的增大而减小，
∵“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，
∴100﹣x≥x，
解得x≤75，
∴当x＝75时，w取得最小值，此时w＝850，100﹣x＝25，
答：最省钱的购买方案是设购进“冰墩墩”小挂件75个，购进“雪容融”小挂件25个，最少费用为850元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
28．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第26天的日销售量是 320 件，日销售利润是 640 元．
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
【分析】（1）根据第26天销售了320件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第26天的日销售量，再根据日销售利润＝单件利润×日销售量即可求出日销售利润；
（2）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，进而求解；
（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于600元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润＝单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润．
【解答】解：（1）340﹣（26﹣22）×5＝320（件），
320×（8﹣6）＝640（元）．
故答案为：320；640；
（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，
将（17，340）代入y＝kx中，
340＝17k，解得：k＝20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得：，
∴交点D的坐标为（18，360），
∴y与x之间的函数关系式为y＝；
（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥600，
解得：x≥15；
当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥600，
解得：x≤30．
∴15≤x≤30．
30﹣15+1＝16（天），
∴日销售利润不低于600元的天数共有16天．
∵点D的坐标为（18，360），
∴日最大销售量为360件，
360×2＝720（元），
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）利用待定系数法求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式；（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式．
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：点C的坐标；
（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P点的坐标．
（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若AB⊥OF，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）把两个解析式联立成方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标为根据（m，0），分类讨论，根据腰相等，利用勾股定理列方程即可求解；
（3）证明OA＝OC，连接OP，作CH⊥OA于H，利用等积法证明PM+PN＝CH即可．
【解答】解：（1）解：根据题意，把AB、OC解析式联立得，，
解得，，
点C的坐标为（4，4）．
（2）解：设点P的坐标为根据（m，0），
∵点C的坐标为（4，4），
∴OP2＝m2，OC2＝42+42＝32，CP2＝42+（m﹣4）2，
当OP＝OC时，m2＝32，
解得，，
∴点P的坐标为或；
当OP＝PC时，m2＝16+（m﹣4）2，
解得，m＝4，
∴点P的坐标为（4，0）；
当CP＝OC时，16+（m﹣4）2＝32，
解得，m＝8或m＝0（舍去），
∴点P的坐标为（8，0）；
综上，点P的坐标为或或（4，0）或（8，0）．
（3）PM+PN的值不变化；
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵AB⊥OF，
∴∠AEO＝∠CEO＝90°，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
连接OP，作CH⊥OA于H，，，，
∵S△POC+S△POA＝S△AOC，
∴，
∴PM+PN＝CH，
设点C的坐标为（n，n），
则n2+n2＝16，
解得，，（舍去），
即．
【点评】本题考查了一次函数的性质和勾股定理、等腰三角形的性质与判定，解题关键是根据一次函数的有关性质，求函数图象交点，利用点的坐标列出相关方程．
30．（1）【问题解决】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝6，ED＝8，求BE的长．
（2）【问题延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，求BD的长．
（3）【问题拓展】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ABC面积为24，且CD的长为8，求△BCD与的面积．
【分析】（1）根据∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，可得∠A+∠ACB＝∠ACB+∠DCE，即可得到∠A＝∠DCE，结合AC＝CD，即可得到△ABC≌△CED，即可得到答案；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于一点E，结合（1）的结论即可得到△ABC≌△CED，在Rt△BDE中根据勾股定理即可得到答案；
（3）过A作AE⊥CD交CD于点E，过B作BF⊥CD交CD于点F，根据∠ABC＝∠CAB＝45°，∠ACB＝90°，△ABC面积为24即可得到，结合∠ADC＝45°，AE⊥CD，∠ACB＝90°即可得到AE＝DE，∠AEC＝90°，BF⊥CD可得∠F＝90°，结合∠ACB＝90°即可得到△CBF≌△CAE，根据CD的长为8利用勾股定理求出BF，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠A+∠ACB＝∠ACB+∠DCE，
∴∠A＝∠DCE，
又∵AC＝CD，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝DE，AB＝CE，
∵AB＝6，ED＝8，
∴BE＝BC+CE＝6+8＝14；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于一点E，如图2，
由（1）可得，△ABC≌△CED，
∴AB＝CE，BC＝DE，
∵BC＝3，AB＝4，
∴DE＝3，BE＝4+3＝7，
∵DE⊥BC，
∴∠E＝90°，
在Rt△BDE中根据勾股定理即可得，
∴；
（3）过A作AE⊥CD交CD于点E，过B作BF⊥CD交CD于点F，如图3，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∠ACB＝90°，△ABC面积为24，
∴，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴AE＝DE，∠AEC＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝∠CAE，
又∵BC＝AC，∠F＝∠AEC＝90°，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∴CF＝AE＝ED，
∵CD的长为8，
设CF＝AE＝ED＝x，则BF＝CE＝8﹣x，
在Rt△AEC中，（8﹣x）2+x2＝48，
解得x＝4+2或4﹣2，
∴BF＝x＝4+2或4﹣2，
∴S△BCD＝CD BF＝×8×（4+2）＝16+8；
或S△BCD＝CD BF＝×8×（4﹣2）＝16﹣8．
【点评】本题考查勾股定理，三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线．
31．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地，已知甲、乙两地的路程是350km，货车行驶时的速度是60km/h，两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图；
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）求轿车到达乙地时货车距离乙地还有多远？
【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
（2）设直线的表达式为s＝kt+b，然后把（1.5，0），（3，150）代入解析式建立二元一次方程组，求解即可解；
（3）根据时间＝路程÷速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，可得两车的时间差，再根据路程＝速度×时间即可解决问题．
【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，
∴a＝90÷60＝1.5（h），
∴a的值为1.5；
（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），
设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得：，
∴s＝100t﹣150，
当s＝350时，得：350＝100t﹣150，
解得：t＝5，
∴轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式为s＝100t﹣150；
（3）由图象可得货车走完全程需要，
∴货车到达乙地需，
由（2）知：轿车到达乙地需5h，
∴轿车比货车早：，
此时货车距离乙地的距离为：，
∴轿车到达乙地时货车距离乙地还有80km．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
32．已知，一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点P的坐标为（m，3﹣m）．
（1）若一次函数y＝x+3的图象经过点P，求m的值；
（2）若点P在x轴上，求△ABP的面积．
【分析】（1）将点P坐标代入一次函数表达式中，即可求出m值；
（2）首先根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，再根据点P在x轴，可得纵坐标为0，可求出m值，从而得到点P坐标，结合坐标可得的△ABP面积．
【解答】解：（1）将点P（m，3﹣m）代入y＝x+3中，
得3﹣m＝m+3，
解得：m＝0；
（2）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵点P（m，3﹣m）在x轴上，
∴3﹣m＝0，
∴m＝3，即P（3，0），
∴．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出相应点的坐标．
33．如图，在△ABC中，∠B＝90°．
（1）利用直尺和圆规在AC边上找一点P，使得∠ABP+∠C＝90°（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BP，若AB＝6，BC＝8，求线段BP的长．
【分析】（1）作BC的垂直平分线，交AC于点P即可；
（2）根据同角的余角相等得到∠A＝∠ABP，根据等角对等边求出AP＝BP＝PC，再利用勾股定理求出AC，从而得到结果．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
根据作图可得：点P在BC垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠ABP+∠C＝90°；
（2）∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵∠ABP+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABP，
∴AP＝BP＝PC，
在直角三角形ABC中，，
∴．
【点评】本题考查了垂直平分线的作法和性质，勾股定理，等角对等边，解题的关键是根据题目要求作出垂直平分线，从而得到相等的角．
34．已知，一次函数y＝（2﹣t）x+4与y＝﹣（t+1）x﹣2的图象相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠﹣1．
（1）求线段AB的长；
（2）试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；
（3）当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．
【分析】（1）分别令x＝0，求出y值，得到A和B的坐标，从而可得AB的长；
（2）求出点P坐标，利用三角形面积公式求出△ABP的面积即可；
（3）画出图形，分析得出要△ABP的周长最小，则要AP+BP最小，作点A关于直线x＝﹣2对称的点A'（﹣4，4），连接A'B，找到此时点P的位置，求出直线A'B的表达式，可得点P坐标，可得t值，再根据点的坐标求出周长的最小值．
【解答】解：（1）在y＝（2﹣t）x+4中，
令x＝0，则y＝4，
在y＝﹣（t+1）x﹣2中，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴A（0，4），B（0，﹣2），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6；
（2）∵图象相交于点P，
∴令（2﹣t）x+4＝﹣（t+1）x﹣2，
解得：x＝﹣2，代入y＝（2﹣t）x+4中，y＝﹣2（2﹣t）+4＝2t，
∴P（﹣2，2t），
∴；
（3）如图，∵P（﹣2，2t），
∴点P在直线x＝﹣2上，
若要△ABP的周长最小，而AB＝6，
∴当AP+BP最小即可，
作点A关于直线x＝﹣2对称的点A'（﹣4，4），连接A'B，与直线x＝﹣2交于点P，
此时AP+BP，设直线A'B的表达式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线A'B的表达式为，
令x＝﹣2，则y＝1，即P（﹣2，1），
则2t＝1，解得：，
此时，，
∴△ABP的周长最小值为．
【点评】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意（3）中分析出要△ABP的周长最小，则要AP+BP最小．
35．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（0，4），点P为x轴正半轴上一点，直线AC⊥直线PB．垂足为C，连接OC，设点P的横坐标为m．
（1）求证：∠PBO＝∠PAC；
（2）当m＝3时，求点C的坐标；
（3）取点O关于PB的对称点D，连接CD、OD；
①试说明：当0＜m＜4时，△OCD为等腰直角三角形；
②试探索AC、BC、OD三条线段长度之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由“ASA”可证△AOH≌△BOP，可得OH＝OP＝3，分别求出AH，BP的解析式，即可求解；
（3）①由全等三角形的性质和面积公式可得OE＝OF，由角平分线的性质可得∠ACO＝∠PCO＝45°，即可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵点A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵AC⊥PB，
∴∠ACP＝∠AOB＝90°，
∴∠APC+∠CAP＝90°＝∠APC+∠PBO，
∴∠PBO＝∠PAC；
（2）解：如图，设AC与y轴交于点H，
当m＝3时，点P坐标为（3，0），
∴OP＝3，
设BP的解析式为y＝kx+4，
∴0＝3k+4，
∴k＝﹣，
∴BP的解析式为y＝﹣x+4，
∵AO＝BO，∠PBO＝∠PAC，∠AOH＝∠BOP＝90°，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴OH＝OP＝3，
∴点H的坐标为（0，3），
设AH的解析式为y＝ax+3，
∴0＝﹣4a+3，
∴a＝，
∴AH的解析式为y＝x+3，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴y＝，
∴点C的坐标为（，）；
（3）①证明：过点O作OE⊥AC于E，设OD与BP交于点F，
∵点O关于PB的对称点D，
∴OC＝CD，OD⊥CP，∠OCP＝∠DCP，OF＝DF，
∵△AOH≌△BOP，
∴S△AOH＝S△BOP，AH＝BP，
∴×AH×OE＝×BP×OF，
∴OE＝OF，
又∵OE⊥AC，OF⊥BP，
∴∠ACO＝∠PCO＝45°，
∴∠OCD＝90°，
∴△OCD是等腰直角三角形；
②当0＜m≤4时，由①可知OE＝OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BP，AC⊥BP，
∴四边形OECF是矩形，
又∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝CF＝CE，
∴OF＝DF＝CF＝CE，
∵∠PBO＝∠PAC，∠AEO＝∠BFO，OE＝OF，
∴△AEO≌△BFO（AAS），
∴AE＝BF，
∴AC＝AE+EC＝BF+OF＝BC+CF+OF＝BC+OD；
如图，当m＞4时，同理可得OD＝AC+BC．
综上所述：当0＜m≤4时，AC＝BC+OD；当m＞4时，OD＝AC+BC．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
