编者小注：
本套专辑为北师大版地区2023-2024学年第一学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
9年级（满分120分制），分基础卷（适合90分以下学生使用）、提升卷（适合90-110分学生使用）、满分卷（适合110分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年北师大版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2023-2024学年北师大版数学九年级上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若二次函数的图象过不同的六点，，，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为
B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为
D．玻璃从降至室温需要的时间为
4．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和俯视图一样 B．主视图和左视图一样
C．左视图和俯视图一样 D．主视图，左视图，俯视图都不一样
5．把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
9．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A．7cm B．12cm C．8cm D．14cm
10．如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是 ．
12．如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于8米，则树高等于 米（结果保留根号）．
13．如图，锐角是一块三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形 零件的边长是 ．
14．小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场．
15．如图，菱形中，对角线，，M，N分别是，上的动点，P是线段上的一个动点，则的最小值是 ．
16．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点O，过点C作，垂足为C，与相交于点E，若，BC=6，则的值为
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 ．
18．如图，是外一点，分别和相切于点，是弧上任意一点，过作的切线分别交于点，若，则的周长为 ．
三、解答题（共66分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：
20．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1）
(2)试估算口袋中白球有多少只？
(3)请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过A作轴交反比例函数的图象于点C，连接．
(1)求反比例函数表达式；
(2)求面积．
22．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，它的“同轴对称抛物线”为 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线的对称轴对称的点、，连接BC、、、．当四边形为正方形时，求a的值．
23．在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
(1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______；
(2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长；
(3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．
24．如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：
(1) ， ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？
(3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者小注：
本套专辑为北师大版地区2023-2024学年第一学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
9年级（满分120分制），分基础卷（适合90分以下学生使用）、提升卷（适合90-110分学生使用）、满分卷（适合110分以上学生使用）。
易：中：难比例（基础卷6:3:1）、（提升卷5:3:2）、（满分卷4:3:3）。
来源为近两年北师大版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2023-2024学年北师大版数学九年级上学期期末临考押题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若二次函数的图象过不同的六点，，，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由解析式可知抛物线开口向上，点，，，求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【详解】由二次函数可知，抛物线开口向上，
，，，
点关于对称轴的对称点在5与6之间，
对称轴的取值范围为，
点到对称轴的距离最小，点到对称轴的距离最大，
，
故选：D．
2．如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项符合题意；
B、，则此项不符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、，则此项不符合题意；
故选：A
3．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为
B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为
D．玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象和性质，先求出函数解析式，再根据图象及函数的性质逐个判断即可得到答案
【详解】解：由图像得，设，
将点代入可得，
，，
解得：，，
∴，
故A错误，B正确，
当时，
，解得，
故D错误，
当时，，，
解得：，，
故加工时长为：，
故C错误，
故选：B．
4．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和俯视图一样 B．主视图和左视图一样
C．左视图和俯视图一样 D．主视图，左视图，俯视图都不一样
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图和左视图完全相同，均为底层三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图第一行是三个小正方形，第二、三行是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图计算概率，因式分解法解一元二次方程．先利用因式分解解一元二次方程，求得方程根，再画树状图，确定符合条件的点的个数，后用概率公式计算即可．
【详解】解：一元二次方程整理得，
∴或，解得，；
一元二次方程整理得，
∴或，解得，；
画树状图如下：
，
故坐标有，，，，共16种等可能性．
符合点在以原点为圆心，5为半径的圆上的的情况只有和两种情况，
∴点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是．
故选：D．
6．如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽，根据利用平移的性质得出草坪的面积=长为，宽为的长方形的面积，由长方形面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽，根据题意，得
故选：D．
7．如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据圆周角定理得，推出，根据同底等高的三角形的性质得到，从而得到，由轴对称的性质得到四边形的面积，由此可得答案．
【详解】解：已知的面积．
如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与是同底等高的三角形，
∴，
∴，
∴，
∵直径平分，
∴四边形关于对称，关于对称，
∴四边形的面积，，
∴四边形的面积，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理，轴对称的性质，同底等高三角形的性质，平行线的判定及性质，熟记同底等高三角形的性质得出S△DEG=S△CEG是解题的关键．
8．如图，在矩形中，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，矩形的性质及勾股定理等知识；取中点E，连接，则，由勾股定理可求得，由即可求得的最小值．
【详解】解：取中点E，连接，如图，
∵在矩形中，，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∴由勾股定理得：；
∵，
∴，
即的最小值为；
故选：A．
9．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A．7cm B．12cm C．8cm D．14cm
【答案】D
【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离．
【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵在图3中，，
∴．
过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的．
∵点O是的中点，
∴．
∴，
同理可知：图1液面的右端点是
根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴，
设这个抛物线的解析式为：，
则由图1可知，抛物线经过点和点，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式是：．
令，
解得
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式是：，
∵直线经过点，，
∴
解得：，
∴直线的解析式是：，
将抛物线与直线的解析式联立得：
，
解得：或，
∴，
又∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
10．如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键．
【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示：
，
∵，E为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据题意可得反比例函数在二，四象限，y随x增大而增大，即可判断，，的大小关系．
【详解】解：由题意可得：，
∴反比例函数在二，四象限，y随x增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于8米，则树高等于 米（结果保留根号）．
【答案】
【分析】作，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：作，如图， 则，
由题意得：，
∴，
在中，，解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单几何问题，涉及到勾股定理，含30度角直角三角形的性质等，正确作出辅助线是关键．
13．如图，锐角是一块三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形 零件的边长是 ．
【答案】
【分析】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长．
【详解】解：正方形的边长在上，
设
，
，
故答案为：．
14．小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场．
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
15．如图，菱形中，对角线，，M，N分别是，上的动点，P是线段上的一个动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短距离问题，菱形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，过作于交于，过作于，则的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设与交于点，
菱形中，，，，
，，平分，
，
过作于交于，过作于，
则的值最小，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
16．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点O，过点C作，垂足为C，与相交于点E，若，BC=6，则的值为
【答案】
【分析】由轴对称的性质可得，，可证四边形是菱形，由菱形的性质可得，，，，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求，的长，即可求解．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
故
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出的长是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线开口向上，因此大于，越大抛物线开口越小，越小抛物线开口越大，因此抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值，由此可解．
【详解】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、，
点的坐标为．
抛物线开口向上，
，
当抛物线经过点时，取最大值，经过点时，取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
18．如图，是外一点，分别和相切于点，是弧上任意一点，过作的切线分别交于点，若，则的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点，得出，由过作的切线分别交于点，得出，，由此进行计算即可，根据题中所给的条件及切线长定理将的周长转化为是解此题的关键．
【详解】解：分别和相切于点，，
，
过作的切线分别交于点，
，，
，
的周长为24，
故答案为：24．
三、解答题（共66分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查实数运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键；
（1）先计算负整数指数幂、乘方、零指数幂、乘方、算术平方根及绝对值，再计算加减即可；
（2）先移项，再将左边利用十字相乘法、提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
【详解】（1）
；
（2）
或
20．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1）
(2)试估算口袋中白球有多少只？
(3)请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
【答案】(1)0.6
(2)3只
(3)
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，利用概率公式计算白球的个数；
（3）列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解．
【详解】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，
所以可估计口袋中白球的个数为：（只）．
（3）列表得出：
黑1 黑2 白1 白2 白3
黑1 (黑1，黑1) (黑1，黑2) (黑1，白1) (黑1，白2) (黑1，白3)
黑2 (黑2，黑1) (黑2，黑2) (黑2，白1) (黑2，白2) (黑2，白3)
白1 (白1，黑1) (白1，黑2) (白1，白1) (白1，白2) (白1，白3)
白2 (白2，黑1) (白2，黑2) (白2，白1) (白2，白2) (白2，白3)
白3 (白3，黑1) (白3，黑2) (白3，白1) (白3，白2) (白3，白3)
从中先摸出一球，放回，再摸出一球，共有25种等可能结果，其中这两只球颜色不同的有12种，
故这两只球颜色不同的概率是．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过A作轴交反比例函数的图象于点C，连接．
(1)求反比例函数表达式；
(2)求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数的解析式是解题的关键.
(1)先由一次函数的图象过点，且点的横坐标为，将代入，求出的值，得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
(2)先由一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将2代入，求出的值，那么过作 于，则，然后根据将数值代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，且点的横坐标为1，
，
∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数 的图象与轴交于点，
∴当 时， ，
∴点的坐标为，
轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同是，
∵点在反比例函数的图象上，
∴当时， ，解得 ，
，
过作于，如图，则，
．
22．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，它的“同轴对称抛物线”为 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线的对称轴对称的点、，连接BC、、、．当四边形为正方形时，求a的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式图像与性质，二次函数的图像变换，正方形的性质．熟练掌握二次函数的顶点式图像与性质是解题的关键．
（1）根据顶点式的性质直接写出坐标即可，再由“同轴对称抛物线”定义得出答案．
（2）写出点的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：； .
（2）解：∵点B是抛物线上一点，点B、B'关于该抛物线的对称轴对称，
∴点B'也在抛物线上，
∵抛物线的对称轴为直线，
且点B的横坐标为1，
∴点B'的横坐标为3，
∴，
当四边形为正方形时，
则，
由题意可知，B、C关于x轴对称且点B在第四象限，
∴点B的纵坐标为
∴点B的坐标为.
把点B的坐标代入，解得
23．在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
(1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______；
(2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长；
(3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，20
【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，由勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，进而得到，再根据折叠性质即可求解；
（3）先根据题意证明是菱形，当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，则其周长最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：四边形是正方形，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：，分别为，的中点，
∴，
∴，，
又由折叠可知，
，，
，
∴；
（3）解：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形是平行四边形，
过点Q作，，如图，
∵，
∴，
∴，
四边形是菱形，
当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，如图，则其周长最大，
设，则，，
由勾股定理得：，解得：，
重叠四边形周长的最大值是20；
【点睛】本题考查的是图形的翻折变换、矩形的性质、勾股定理，正方形的判定与性质等，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
24．如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：
(1) ， ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？
(3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的值为或
(3)能；的值为或或
【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则；
（2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：，
由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）分两种情况：
①如图1，
当时，，
则，
即，
解得：；
②如图2，
当时，，
则，
即，
解得：；
综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，
当时，
，
解得：；
②如图4，
当时，过点作于，
则，，
，
，
，
，
解得：；
③如图5，
当时，过点作于，
则，，
，
，
，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似．本题的综合性较强，属于压轴题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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