期末重难点模拟卷-2023-2024学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）
A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件
C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
3．如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘A、B，每个转盘被平均分成3个扇形，游戏规定，小美与小丽分别转动转盘A、B，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），若指针指向的数字较大者获胜，则小美获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3， B．3，6 C．3，1 D．
5．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：
（1）；
（2）当时，y的值随x值的增大而减小；
（3）3是方程的一个根；
（4）当时，．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，⊙O中，点C为弦中点，，点是上任意一点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为的内切圆，，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（ ）
A．9 B．7 C． D．8
二、填空题
11．小强的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的．小强任意从口袋里取出两颗糖，问其中至少一颗是牛奶味糖的概率是 ．
12．一元二次方程的一个根为2，则m的值为 ；
13．函数的图像与轴的交点坐标是 ．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“”如下：，若，则实数x的值为 ．
15．在正方形的网格中，抛物线与直线的图象如图所示，请你观察图象并回答：当时， （填“”或“”或“”号）．
16．如图①，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ．
17．如图，是圆O的直径，，所对的圆心角为，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与轴相切．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
(1)求的取值范围
(2)若满足，求的值．
21．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
(1)求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．
(2)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
22．如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出将绕原点O按逆时针方向旋转，所得的；
(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；
(3)在x轴上找一点P，使的周长最小，请求出点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，
(3)求出S的最大值；
24．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
25．如图，内接于以为直径的中，且点E是的内心，的延长线与交于点F，与交于点D，的切线交的延长线于点P．
(1)试判断的形状，并给予证明；
(2)若，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟记定义是解题关键．根据随机事件的定义即可得．
【详解】解：某射击运动员射击一次，命中靶心，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件，
掷一枚硬币，正面朝上，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件，
综上，事件和事件都是随机事件，
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，画出树状图，得到一共9种等可能结果，其中小美获胜的有5种，再由概率公式解答，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下：
由树状图可知一共9种等可能结果，其中小美获胜的有5种，
∴小美获胜的概率是．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
二次项系数和一次项系数分别为3，，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票房，设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，由题可得：
，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由时，，所以，时，，所以，结合时，，可得，即（1）正确；再利用表格中数据可得对称轴为，即可判断（2）；根据时，，得，将3代入即可判断（3）；分别求得和时，的值与0等关系即可判断．
【详解】解：（1）由图表中数据可得出：时，，
所以二次函数开口向下，；
又时，，
所以，
所以，故（1）正确；
（2）∵二次函数开口向下，且对称轴为，
则当时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵时，，
∴3是方程的一个根，故（3）正确；
（4）∵时，，得，
∴时，，
∵时，，且函数有最大值，
∴当时，，故（4）正确．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，根据勾股定理先求，再根据旋转得出，进而用勾股定理求值即可．
【详解】解：连接，
∵在中，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，
∴，
∴，
在中，
．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了圆周角定理、三线合一以及圆的内接四边形对角互补等知识点，熟记相关结论是解题关键．作所对的圆周角，连接．根据等腰三角形的“三线合一”可得，由圆周角定理可得，再根据即可求解．
【详解】解：作所对的圆周角，连接，
∵C为的中点，，
∴，平分，
∴，
，
∵，
∴．
故选：B．
10．C
【分析】，本题考查切线长定理；过作，，，，找到切点，根据切线长得到，，，，，即可得到答案；
【详解】解：过作于F，于G，于H，于K，
∵为的内切圆，为的切线，
∴，，，，，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：C．
11．
【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及至少一颗是牛奶味糖的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将一颗巧克力味的糖记为A，一颗果味的糖记为B，两颗牛奶味的糖分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中至少一颗是牛奶味糖的结果有：，，共10种，
∴至少一颗是牛奶味糖的概率为．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二次函数图像与坐标轴交点坐标的求法，涉及二次函数图像与性质，熟记二次函数图像与轴的交点的纵坐标是函数表达式的常数项是解决问题的关键．
【详解】解：函数的图像与轴的交点坐标是，
故答案为：．
14．或3/3或
【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
根据新定义列式并整理可得一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
整理得：
解得：，，
∴实数x的值为或3．
故答案为：或3．
15．＜
【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象与性质，在解答此题时，根据函数图象直接回答问题即可．
【详解】解：根据图象可知，当时，．
故答案为：＜．
16．6或42
【分析】题主要考查旋转角度计算，平分线的性质，过点O作直线平分，根据，以及平分，得出，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开计算求值即可．
【详解】解：过点O作直线平分，如图．
∵，
且，
∴，，
∵平分，
∴
∴，
当与重合时，所在直线恰好平分．
∴（秒），
当与重合时，所在直线恰好平分．
(秒).
故答案为：6或42．
17．
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂线段最短等知识点，过点B作，过点O作 于点M，作，可得，进一步可推出；由垂线段最短得出当点E与M重合时的值最小，据此即可求解．
【详解】解：∵所对的圆心角为 ，
∴，
∵是⊙O 的直径，
∴，
如图，过点B作，过点O作 于点M，作，
∵，
∴，
在Rt△DBE中，，
，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时的值最小．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴
∴的的最小值为，
故答案为：．
18．2或6
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
设与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，
①当与x轴相切时，
②如图，与x轴和y轴都相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：设与坐标轴的切点为D，
∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点，
时，时，时，，，
， ，，
是等腰直角三角形，，
①当与x轴相切时，
∵点D是切点，的半径是2，
轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与x轴和y轴都相切时，
，
，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
综上所述，则当或6秒时，与x轴相切，
故答案为：2或6．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程等知识点，
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
熟练掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1），
，
，
，
∴；
（2），
，
，
或，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
21．(1)
(2)当为时，小花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围；
（2）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解．
解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴花园的面积为：，
∵，，
∴，，
∴，
∴与之间的函数关系式为： ；
（2）∵，，
∴当时，有最大值，最大值为200．
答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是．
22．(1)图形见解析
(2)图形见解析
(3)点P的坐标
【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）分别作出A，B，C 的对应点即可；
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求
（3）解：如图，取点A关于x轴的对称点，交x轴于点P，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
∴点P的坐标为．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设设，则，则，表示出计算即可．
（3）由计算即可．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点，，
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：，
解得，
直线的解析式为：，
如图，
过点作轴的平行线，交于，
设，则，则，
∴
．
（3）∵,
∴ S最大值为4．
24．(1)见解析
(2)的半径为．
【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可；
（2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：设的半径为，
则有，
在中，
，
∴，
解得．
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，等腰三角形的性质，垂线定义，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
25．(1)为等腰直角三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，然后根据内心的性质结合三角形外角的性质求出，即可得到是等腰直角三角形；
（2）根据切线的性质求出°，可得，然后解等腰直角三角形求出，进而求出，即可．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下：
如图，
∵点E是的内心，
∴平分平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：连接，如图，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵的切线交的延长线于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理的推论、三角形内心的性质、三角形外角的性质、含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，涉及知识点较多，但难度不大，灵活运用各性质定理和判定定理是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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