八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十 因式分解方法大串讲
因式分解方法大串讲
因式分解常用方法有提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法，添项拆项法，配方法等等，因式分解是初中代数重要内容之一,它在化简、求值、方程、不等式及函数等都起着及其重要作用。
1 .提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2 .运用公式法：如果多项式是满足平方差公式或者完全平方公式则利用公式特点写成平方差公式或者完全平方公式.即a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,
a2-2ab+b2=(a-b)2
3 .十字相乘法：
．
．
4 .分组分解法：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．
5 .拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．
6 . 配方法
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
因式分解方法针对练
提公因式法
【例1-1】分解因式：．
【例1-2】分解因式：
针对练习1
1．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；
运用公式法
【例2-1】先分解因式，再求值：
(1)，其中，；
(2)已知，，求的值；
(3)利用简便方法计算：．
【例2-2】阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【例2-3】观察下列式子因式分解的方法：
①
②（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
③
(1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 ；
(2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解；
(3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果；
(4)根据以上结论，试求的值．
针对练习2
1．因式分解： ．
2．已知，且满足两个等式，则的值为 ．
3．因式分解：
(1)
(2)
4．因式分解
(1)；
(2)
5．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)
十字相乘法
【例3-1】阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
【例3-2】提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
针对练习3
1．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
．
．
例如：．
求：
(1)；
(2)．
2．【学习材料】十字相乘法
对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而，
而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式
例：分解因式：
解：如图3，其中，，，而，，，
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ．
(2)分解因式：______ ；
______ ；
(3)若且，求代数式的值．
3．用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
4．阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．例如：将式子分解因式．解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
(3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
分组分解法
【例4-1】阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【例4-2】有些多项式不能直接运用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的．
例如：
．
根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)．
针对练习4
1．分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式．
例如：．
根据上述方法，解决问题：已知是的三边，且满足，则的形状是 ．
2．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
．
例2：“三一分组”：
解：原式
．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)填空：
解：原式（ ）
（ ）（ ）
= ．
(2)因式分解；．
3．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：．
解：原式
．
例2：“三一分组”：．
解：原式
．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
分解因式：
(1)；
(2)．
添项拆项法
【例5-1】．【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【例5-2】．阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)；
(2)．
针对练习5
1．添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：
①；
又比如多项式可以这样分解：
②；
仿照以上方法，分解多项式的结果是 ．
2．因式分解：
(1)（添项）；
(2)（拆项）；
(3)（换元）．
3．材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如：
．
先阅读上述材料，再解决下列问题：
(1)按照这种方法把多项式分解因式；
(2)分解因式：．
配方法
【例6-1】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①，利用配方法求代数式的最小值．
解：
（先加上16，再减去16）
（运用完全平方公式）
，当时，有最小值．
②用配方法分解因式：
(1)若，求的最小值；
(2)请把下列多项式因式分解：
①
②
【例6-2】阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值.
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数______．
(2)分解因式：______，代数式的最小值为______．
针对练习6
1．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．即：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
2．阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：
根据以上材料，解答下列问题。
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
(3)已知，．试比较P，Q的大小．
3．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有 （填序号）．
①29；②48；③13；④28．
探究问题：
（2）若可配方成（，为常数），则的值 ；
（3）已知实数，满足，求的最小值．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十 因式分解方法大串讲
因式分解方法大串讲
因式分解常用方法有提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法，添项拆项法，配方法等等，因式分解是初中代数重要内容之一,它在化简、求值、方程、不等式及函数等都起着及其重要作用。
1 .提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2 .运用公式法：如果多项式是满足平方差公式或者完全平方公式则利用公式特点写成平方差公式或者完全平方公式.即a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,
a2-2ab+b2=(a-b)2
3 .十字相乘法：
．
．
4 .分组分解法：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．
5 .拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．
6 . 配方法
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
因式分解方法针对练
一、提公因式法
【例1-1】分解因式：．
【答案】
【分析】直接提取公因式即可解答．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式进行因式分解是解答本题的关键．
4．分解因式：
【答案】
【分析】提出公因式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，因式分解要彻底，直到不能分解为止．
针对练习1
1．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对已知等式进行变形，然后对所求式进行因式分解，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，掌握整体代入思想是解决此题关键．
2．如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；
【答案】
【分析】根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可．
【详解】解：长方形的长和宽分别为，，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
二、运用公式法
【例2-1】先分解因式，再求值：
(1)，其中，；
(2)已知，，求的值；
(3)利用简便方法计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据提公因式法因式分解，再代入值即可；
（2）先将原式提公因式，转化为完全平方式的形式，代入值即可；
（3）将原式按照平方差公式和完全平方公式进行转化，再计算即可．
【详解】（1）解：
当，时
原式
；
（2）解：∵，，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式的形式是解题的关键．
【例2-2】阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则
，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
即代数式的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
【例2-3】观察下列式子因式分解的方法：
①
②（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
③
(1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 ；
(2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解；
(3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果；
(4)根据以上结论，试求的值．
【答案】(1)提公因式法
(2)
(3)
(4)63
【分析】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解；
（2）仿照例子，即可变形得解；
（3）依据题意，根据前面所得结果即可得解；
（4）依据上述（3）结论，令，则可以得解．
【详解】（1）解：由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法．
故答案为：提公因式法．
（2）解：
（3）解：由（1）、（2）可得，．
（4）解：由（3），
当时，．
令，
．
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化．
针对练习2
1．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
2．已知，且满足两个等式，则的值为 ．
【答案】4
【分析】由等量代换可得，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴
∵ 则
∴ 则
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“提公因式与利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．
3．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．因式分解
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式
（1）此多项式应先去括号，再分组提取公因式，进行观察，可再提公因式，可采用平方差公式继续分解．
（2）此多项式应先去括号，再用完全平方公式继续分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
5．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
三、十字相乘法
【例3-1】阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，45
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解：；
（2）
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
【例3-2】提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把拆成即可；
（2）把拆成，把-14拆成即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
针对练习3
1．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
．
．
例如：．
求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；
（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；
本题考查了“十字相乘法”因式分解，熟练掌握分解的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，
，
∴，
（2）根据题意，
∴．
2．【学习材料】十字相乘法
对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而，
而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式
例：分解因式：
解：如图3，其中，，，而，，，
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ．
(2)分解因式：______ ；
______ ；
(3)若且，求代数式的值．
【答案】(1)2，5
(2)；
(3)
【分析】（1）根据十字相乘法分解因式；
（2）根据十字相乘法分解因式；
（3）先把条件分解因式，再把分式化简求值．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：2，5；
（2）解：
，
故答案为：；；
（3）解：且，
，
，
，
【点睛】本题考查了因式分解，理解题中的十字相乘法是解题的关键．
3．用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
（3）原式
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
4．阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．例如：将式子分解因式．解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
(3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数p的值可能为5或﹣5或1或﹣1
【分析】（1）利用“十字相乘法”即可求解；
（2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解；
（3）将常数进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【点睛】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
四、分组分解法
【例4-1】阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分组，提公因式分解；
（2）分组，分别运用平方差公式，提公因式法分解；
（3）运用整式乘法法则变形，再运用平方差公式展开，进一步化简．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题考查分组分解法，提公因式法，公式法因式分解；根据代数式具体情况合理分组是解题的关键．
【例4-2】有些多项式不能直接运用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的．
例如：
．
根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将含的分为一组，含的分为一组，再提取公因式即可得到答案；
（2）首先将待求式分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
；
（2）解：根据题意得：
．
【点睛】本题考查的是运用提公因式法分解因式，运用完全平方公式分解因式，运用平方差公式分解因式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解答本题的关键．
针对练习4
1．分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式．
例如：．
根据上述方法，解决问题：已知是的三边，且满足，则的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】利用平方差公式和提公因式法将所给条件式变形为，由此推出，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，等腰三角形的判定，正确利用分组分解法分解因式是解题的关键．
2．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
．
例2：“三一分组”：
解：原式
．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)填空：
解：原式（ ）
（ ）（ ）
= ．
(2)因式分解；．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分组分解法分解因式，通过观察进行正确的分组是解题关键．
（1）按照题目提示分组，分别提取公因式即可求解；
（2）将原式按照“三一分组”：，即可利用公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
故答案为：
（2）解：原式
3．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：．
解：原式
．
例2：“三一分组”：．
解：原式
．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
五、添项拆项法
【例5-1】．【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
（2）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目的实例，配完全平方．
【例5-2】．阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式；
（2）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．
针对练习5
1．添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：
①；
又比如多项式可以这样分解：
②；
仿照以上方法，分解多项式的结果是 ．
【答案】
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．
2．因式分解：
(1)（添项）；
(2)（拆项）；
(3)（换元）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）原式
．
（2）方法一：原式
．
方法二：原式
．
（3）设，
则原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
3．材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如：
．
先阅读上述材料，再解决下列问题：
(1)按照这种方法把多项式分解因式；
(2)分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过添项求解；
（2）通过添项求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是看懂示例，掌握添项的技巧．
六、配方法
【例6-1】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①，利用配方法求代数式的最小值．
解：
（先加上16，再减去16）
（运用完全平方公式）
，当时，有最小值．
②用配方法分解因式：
(1)若，求的最小值；
(2)请把下列多项式因式分解：
①
②
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，分解因式，正确理解题意并熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）仿照题意将原式进行配方得到，由，可得当时，有最小值；
（2）仿照题意对原式先平方，再利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴
当时，有最小值；
（2）解：①
②
．
【例6-2】阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值.
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数______．
(2)分解因式：______，代数式的最小值为______．
【答案】(1)4
(2) ；
【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；
（2）把多项式进行配方，化成完全平方式，再运用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1） 是一个完全平方式，
故答案为：4；
（2）；
的最小值为
故答案为： ；．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，偶次方非负性的性质，因式分解．本题是阅读型题目，读懂材料并熟练相应的方法是解题的关键．
针对练习6
1．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．即：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查配方法的应用，平方差公式：
（1）参照材料中的方法，运用配方法及平方差公式进行因式分解；
（2）通过配方法将写成几个式子平方相加等于0的形式，求出，，即可．
【详解】（1）解：
，
即；
（2）解：，
，
，
，，，
，，，
的周长．
2．阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：
根据以上材料，解答下列问题。
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
(3)已知，．试比较P，Q的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）仿照题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形为进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系求解即可；
（3）利用作差法求出，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵c是最大边，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有 （填序号）．
①29；②48；③13；④28．
探究问题：
（2）若可配方成（，为常数），则的值 ；
（3）已知实数，满足，求的最小值．
【答案】（1）①③；（2）；（3）的最小值为
【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算：
（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用配方法和非负数的性质求得最小值；
仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴29是“完美数”，
∵，
∴13是“完美数”，
故答案为：①③；
（2）∵，
又∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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