2023-2024学年北师大版（2019）必修一 第一章 预备知识 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知,且,则的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.
2、已知集合,则集合中元素的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、不等式的解集为( )
A. B.或
C. D.或
4、已知R是实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
5、已知集合,,若,则a等于( )
A.或2 B.0或 C.2 D.
6、已知,,,则的最小值为( )
A.7 B. C. D.
7、如果函数在区间上单调递减,则mn的最大值为( )
A.16 B.18 C.25 D.
8、集合,若,则满足条件的集合B的个数为( )
A.4 B.5 C.7 D.8
9、若不等式对一切实数x都成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.或
10、已知,,,则xy的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、已知,且,则的最小值为____________.
12、设a,,若集合Error! Digit expected.,则_____
13、已知正数a,b满足,则的最小值是____________.
14、已知函数,若对任意,恒成立,则实数a的取值范围是_____________.
15、若,且,的最小值为m,的最大值为n,则mn为___________,
16、已知正实数x,y满足,则的最小值为______.
三、解答题
17、已知二次函数的最小值为.
(1)若,求a的值;
(2)设关于x的方程的两个根分别为,求的值.
18、已知二次函数满足:,,且.
（1）求函数的解析式;
（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个,求负实数t的取值范围.
19、已知集合，求证：
（1）；
（2）偶数不属于A.
20、已知命题“,都有成立”为真命题.
(1)求实数a的取值集合A;
(2)设不等式的解集为B,若“”是“”的充分条件,求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：因为,所以,,
又,所以,
所以,
当且仅当即时,等号成立,所以的最小值是2.
故选：A.
2、答案：C
解析：由集合,,
根据,
所以,0,1
所以B中元素的个数是3.
故选：C.
3、答案：B
解析：依题意可得,故,解得或,
所以不等式的解集为或
故选：B．
4、答案：D
解析：依题意得，，，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或，所以.故选D.
5、答案：C
解析：集合,,由,得,解得或,
当时,集合中元素,与集合元素的互异性矛盾,
当时,,符合题意,
所以.
故选:C
6、答案：A
解析：,,,
,
当且仅当,即时取得等号.
故选:A
7、答案：B
解析：时,抛物线的对称轴为.据题意,当时,即.,.
由且得,.
当时,抛物线开口向下,据题意得,即..
由且得,故应舍去.要使得mn取得最大值,应有.所以,所以最大值为18.
选B..
8、答案：D
解析：,
因为,所以满足条件的集合B的个数为.
故选：D.
9、答案：B
解析：若,则恒成立,故符合,
若,则即,
综上,,
故选：B.
10、答案：B
解析:因为,,,
所以,当且仅当即,时取等;
故,即.
故选:B.
11、答案：
解析：由题意得：,
当且仅当,时取得等号,
故答案为：.
12、答案：0
解析:由易知,,由两个集合相等定义可知
若,得,经验证,符合题意
若,由于,则方程组无解
综上可知,,,所以.
13、答案：9
解析：因为,则,
设,则,
由,
当且仅当即时等号成立,
由即,解得：或（舍）
所以,的最小值是9,
故答案为：9.
14、答案：
解析：对任意,恒成立;
等价于,即在上恒成立,
令,则在上单调递减,
所以,所以.
15、答案：
解析：由可得,
由可得,,
所以
,
当且仅当,时,等号成立；
即的最小值为；
,
所以,即；
当且仅当,时,等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：.
16、答案：8
解析：因为,,所以,即,当且仅当,时,等号成立,
所以.
即的最小值为.
故答案为:
17、答案：(1)
(2)4
解析：（1）因为二次函数的最小值为,
所以,则开口向上,对称轴为,
所以,即,则,
因为,即,则,
将代入,得,解得或（舍去）,
所以.
（2）因为,即的两个根分别为,
所以,
所以,
由（1）可知,即,
所以,故.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）设,
则,
所以,,解得,,
又,所以,
故函数的解析式为;
（2）不等式的解集为:,
不等式的解集为:,
①当时,不等式组的解集为,
而中至少有2个整数,不满足题意,舍去:
②当时,不等式组的解集为,
由题意,,即,解得,
综上,实数t的取值范围是.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，所以.
（2）因为，，，
当m，n都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以x为4的倍数；
当m，n为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以x为奇数.
显然都不满足，所以.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）,成立,
,即,解得,
.
（2）由,即,
因为,解得或,
所以或,
“”是“”的充分条件,
, 或,即或.
实数m的取值范围是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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