2023-2024学年北师大版（2019）必修二 第二章 平面向量及其应用 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则A的值可以为( )
A. B. C. D.或
2、设D，E分别是的边AB，BC上的点，，.若（，为实数），则的值是( )
A. B. C. D.
3、已知,,,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线
4、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为( )
A.1 B. C. D.
5、在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则( )
A. B. C. D.
6、在中，，，的平分线交BC于点D.若，则( )
A. B. C.2 D.3
7、在中，，，则当函数取得最小值时，( )
A. B. C.4 D.2
8、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，的面积为，，则( )
A.3 B.或 C. D.或3
9、在菱形ABCD中,,点E,F分别为BC和CD的中点,且,则( )
A.1 B. C.2 D.
10、已知中,AC的中点为M,点O是线段BM三等分点(靠近点M),则向量( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、已知非零向量与满足，且，，点D是的边AB上的动点，则的最小值为__________.
12、平面上三个力,,作用于同一点,且处于平衡状态,已知,,与的夹角为,则的大小为_____N.
13、已知向量,,若,则实数________.
14、已知直线l经过点,且其一个方向向量为,则直线l的方程为______________.
15、已知的边,且,则的面积的最大值为___________.
16、如图,在矩形ABCD中,,AC与BD交点为M,N为边AB上任意点（包含端点）,则的最大值为________.
三、解答题
17、一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时.
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
18、记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边BC上，AD平分，，且，求a.
19、如图，在中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设，.
（1）用a，b表示；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设，，求的值.
20、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,,已知,.
（1）求的面积;
（2）若,求c.
参考答案
1、答案：A
解析：由正弦定理得,即,
故,因为,所以,故.
故选：A.
2、答案：A
解析：由题意，如图，，，
.
又（，为实数），，，
，故选A.
3、答案：C
解析：
4、答案：D
解析：由正弦定理，，可得，即，由于，所以，因为，所以.又，由余弦定理可得.即，所以.故选D.
5、答案：C
解析：因为，所以由正弦定理得，则.在中，，则，，所以，故选C.
6、答案：B
解析：设，因为，，所以，
又AD是的平分线，所以，，
，
又，所以，，所以.故选B.
7、答案：A
解析：因为函数，所以当时，函数取得最小值，此时，由余弦定理，得.
8、答案：D
解析：由正弦定理及得，所以，解得（负值舍去）.又，所以，则，所以.当时，；当时.综上，或，故选D.
9、答案：B
解析：因为点E,F分别为BC和CD的中点,
,所以,
又
,
故选:B.
10、答案：C
解析：因为点O是线段三等分点(靠近点M),
所以,因为的中点为,
所以,
即.
故选:C
11、答案：
解析：，分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，又，故的平分线与BC垂直，由三线合一得到，取BC的中点E，因为，，故，如图，以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，，设，，则，当时，取得最小值，最小值为.
12、答案：
解析：
13、答案：
解析：因为,所以,所以.
14、答案：
解析：因为直线l的一个方向向量为,
则直线的斜率,又直线过点,
故所求直线方程为,即.
故答案为：.
15、答案：
解析：由题意,设中角A,B,C所对应的边长度分别为a,b,c,则有,
由可得,整理得,
,
,,,
由正弦定理可得,
,则有.
故的面积
.
,,当时,的面积取得最大值.
故答案为:
16、答案：或
解析：以点A为坐标原点,,的方向为x轴,y轴正方向,建立平面直角坐标系,
则,,,设,
所以,,则,
因为,所以,即的最大值为.
故答案为:.
17、答案：（1）沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为
（2）沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为
解析：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，
以OA，OB为邻边作，则此人的实际速度为.
在中，，所以.
实际前进的速度，
故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为.
（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.
在中，，，
所以.
，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
18、答案：（1）
（2）3
解析：（1）因为，
即，
化简可得，
又由余弦定理可得，
所以，又，则.
（2）由（1）知，由余弦定理可得，
将代入，化简可得，
又因为AD平分，由角平分线定理可得，
即，且，
所以，，
又因为，则，
结合余弦定理可得，解得，
所以，则.
19、
（1）答案：
解析：设，则，
，
A，M，D三点共线，，共线，从而.①
又C，M，B三点共线，，共线，
同理可得.②
联立①②，解得，故.
（2）答案：5
解析：，
，，共线，
，整理得.
20、答案：（1）1
（2）
解析：（1）依题意,,,,
则,即,
由余弦定理得,即,有,又,
则,,
所以的面积.
（2）由正弦定理得,因此,
而,解得,所以.
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