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人教版（2019）高中物理选择性必修第一册
1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
授课人：XXXX
大单元教学设计
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法
典型边界磁场中的轨迹特点
目录
CONTENTS
临界和极值问题
大单元知识准备
3、某些带电体是否考虑重力，要根据题目暗示或运动状态来判定
常见粒子的分类
1、带电的基本粒子：如电子，质子，α粒子，正负离子等。这些粒子所受重力和洛仑磁力相比在小得多，除非有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力。（但并不能忽略质量）。
2、带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等。除非有说明或明确的暗示以外，一般都考虑重力。
匀速直线运动
1、 带电粒子平行射入匀强磁场的运动状态？ （重力不计）
提出问题
2、垂直于磁场的方向射入匀强磁场的带电粒子，在匀强磁场中做什么运动？
v
-
猜想与假设
会不会是圆周运动
？
你对洛伦兹力有哪些了解？
大小：
方向：
特点：
F＝qvBsinθ（ θ是v与B间的夹角）
用左手定则判断：F洛⊥B F洛⊥v,即F洛 ⊥Bv组成的平面
只改变v的方向，不改变v的大小 ，对运动电荷永不做功
01
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
实验演示
励磁线圈
（亥姆霍兹线圈）
电 子 枪
磁场强弱选择挡
加速电压选择挡
洛伦兹力演示器
作用是改变电子束出射的速度
作用是能在两线圈之间产生平行于两线圈中心的连线的匀强磁场
电子枪
玻璃泡
励磁线圈
励磁线圈(两个)
实验演示
1)不加磁场时观察电子束的径迹
2)给励磁线圈通电,观察电子束的径迹
3)保持初射电子的速度不变,改变磁感应强度,观察电子束径迹的变化
4)保持磁感应强度不变,改变出射电子的速度,观察电子束径迹的变化
无磁场
实验现象
有磁场
实验现象：在暗室中可以清楚地看到，在没有磁场作用时，电子的轨迹是直线；在管外加上垂直初速度方向的匀强磁场，电子的轨迹变弯曲成圆形。
2、沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在匀强磁场中做圆周运动
实验结论:
3、磁场强度不变,粒子射入的速度增加,轨道半径也增大
4、粒子射入速度不变,磁场强度增大,轨道半径减小
1、不加磁场时，带电粒子做匀速直线运动
2、沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在匀强磁场中做圆周运动
实验结论:
3、磁场强度不变,粒子射入的速度增加,轨道半径也增大
4、粒子射入速度不变,磁场强度增大,轨道半径减小
1、不加磁场时，带电粒子做匀速直线运动
理论分析
1、垂直射入匀强磁场的带电粒子，它的初速度和所受洛伦兹力的方向都在跟磁场方向垂直的平面内，没有任何作用使粒子离开这个平面，所以粒子只能在这个平面内运动。
2、由于洛仑兹力永远垂直于粒子的速度，对粒子不做功。它只改变粒子的运动方向，不改变其速度大小，因此粒子运动时速率不变。
3、由于粒子速度大小不变，所以粒子在匀强磁场中所受洛仑兹力的大小也不改变，加之洛仑兹力总是与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。所以沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
-
v
F洛
v
-
F洛
v
-
F洛
v
-
F洛
垂直于磁场的方向射入匀强磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
1、轨道半径
带电粒子只受洛伦兹力，作圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
解得：
2、运行周期
（周期跟轨道半径和运动速率均无关）
带电粒子的半径和周期
3.理解：
（1）由轨道半径的物理表达式 可知，在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动的速度成正比。
（2）由运动的周期公式 可知，在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，运动的周期跟轨道半径和运动速度均无关，而与比荷q/m成反比。
在粒子物理学的研究中，可以让粒子通过“云室”“气泡室”等装置，显示它们的径迹。如果在云室、气泡室中施加匀强磁场，可以看到带电粒子运动的圆形径迹。粒子的质量、速度带电多少不一样，径迹的半径也不一样。
图3.6-3带电粒子在气泡室运动径迹的照片。有的粒子运动过程中能量降低，速度减小，径迹就呈螺旋形
4、若v与B之间的夹角θ，则带电粒子的运动轨迹为？
以速度v1做匀速直线运动
以速度v2做匀速圆周运动
等距螺旋线
d
例1、如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v．则( )
A．a先回到出发点 b后回到出发点
B．a、b同时回到出发点
C．a、b的轨迹是一对内切圆，且b的半径大
D．a、b的轨迹是一对外切圆，且b的半径大
a
b
例2、一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一个匀强磁场，粒子后段轨迹如图所示，轨迹上的每一小段都可近似看成是圆弧.由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减少(带电量不变).从图中情况可以确定( )
A.粒子从a到b，带正电
B.粒子从b到a，带正电
C.粒子从a到b，带负电
D.粒子从b到a，带负电
例3、一带电粒子在磁感强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，如它又顺利进入另一磁感强度为2B的匀强磁场中仍做匀速圆周运动，则( )
A、粒子的速率加倍，周期减半
B、粒子的速率不变，轨道半径减半
C、粒子的速率减半，轨道半径变为原来的 1/4
D、粒子速率不变，周期减半
安培力的大小
02
安培力与洛伦兹力
带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法
在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。
1.圆心的确定方法：两线定一“心”
类型一：已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。
依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。方法：由两个半径的交点确定圆心。
vt
①
—
v0
v0
O
O
②
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
－
－
θ
O
A
v0
B
vt
③
O
－
+
v0
vt
o
④
求解方法研究
(2) 类型二：已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心。
依据：圆心一定在弦的中垂线上。方法：由半径和弦的中垂线的交点确定圆心
O
+
v0
A
B
O
A
v0
B
－
V
+q
①
②
③
θ
θ
vt
求半径：主要由三角形几何关系求出
（一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。
r
r-h
h
1. 若已知d与θ，则由边角关系知
2. 若已知d与h(θ未知)，则由勾股定理知
2、求半径（两种方法）
公式法
几何法
①粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即
②直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
C
(或偏转角)
φ ＝α＝2θ＝ωt
3、运动的时间的确定
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
②当v 一定时，粒子在磁场中运动的时间 = ，l为带电粒子通过的弧长。
由φ ＝α＝2θ＝ωt得，在磁场内运动方向的偏转角越小，运动时间越短。
入射角600时:
O
入射角1200时:
O
入射角900时:
O
入射角1800时:
O
例1.如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300.求:
(1)电子的质量 m
(2)电子在磁场中的运动时间t
d
B
e
θ
v
v
θ
分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆心角为30°，如图所示，由几何关系可得：
半径 R=2d
再由半径公式
可以求出电子的质量
穿过磁场的时间 .
【答案】
【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的第二个关键点.
例5. 一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
03
典型边界磁场中的轨迹特点
（一）直线边界(单边有界)：进出磁场具有对称性。
2、从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角（弦切角）相等。
1、因速度速度方向不同，存在四种可能的运动轨迹，如图。
半圆，优弧，劣弧，圆周
例3.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负粒子在磁场中（ ）
A.运动时间相同
B.运动轨迹的半径相同
C.重新回到边界时的速度相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等
解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示.
由此可知它们的运动时间分别为 ；轨迹半径 相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与O点距离相等，为：d=2R·sin θ.故选项B、C、D正确.
例4.如图所示，一带电量为2.0×10 -9 C，质量为1.8×10 -16 kg的粒子，在直线上一点O沿30 0 角方向进入磁感强度为B的匀强磁场中，经历1.5 ×10 -6 s后到达直线上另一点P。求
(1)粒子作圆周运动的周期
(2)磁感强度B的大小
(3)若OP距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大
带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：
（1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线的交点确定圆心的位置.
（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹角.
方法简述1：
（二）平行边界（双边有界）：存在临界条件。
1、因入射速度方向不同，有三类可能的运动轨迹a,b,c
初速度方向与边界平行、垂直、斜交
2、存在4种从另一边界穿出的临界情况：a中2种，b中1种，c中1种
（二）平行边界（双边有界）：存在临界条件。
1、因入射速度方向不同，有三类可能的运动轨迹a,b,c
初速度方向与边界平行、垂直、斜交
2、存在4种从另一边界穿出的临界情况：a中2种，b中1种，c中1种
例5.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大.
设此时轨迹半径为R，则有：
R+Rcos 45°=d，解得：
将上式代入 ，得： .
【答案】D
【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.
1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤：
（1）作入射方向的延长线与MN交于B点.
（2）过入射点作入射方向的垂线.
（3）分别作∠ABN和∠ABM的角平分线，两角平分线与入射方向的垂线的交点为O1和O2.
（4）O1、O2分别为正负电荷临界偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射点可作出两临界轨迹，如图所示.
2.与另一边界相切轨迹的半径
方法简述2：
(三)圆形边界：(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图3所示.
(2)不沿径向射入时速度方向与对应点半径的夹角相等（等角进出），如图4所示.
图3
图4
例6.在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的比荷 ，不计粒子重力.
（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径.
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（用v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？
解：（1）设粒子做圆周运动的半径为R，则：
（2）当粒子的速率一定时,粒子在磁场中的轨迹半径一定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角最大.
由图可知，弦长的最大值为：
ab=2r=6×10-2m
设最大偏转角为αmax，此时初速度方向与ab连线
的夹角为θ，则：
得：αmax=74°
所以
当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，最大值为74°.
【点评】从圆形区域的圆周上某点以相同速率射入的同种电荷，它们的轨迹半径相等.当射出点与射入点在同一直径上时，有最大的偏转角.
带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹力作用的运动轨迹有以下规律：
1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出.
证明：如图所示，连接OO′和OB.
因为AO=BO，OO′为两三角形的公共边，AO′=BO′
所以△AOO′≌△BOO′
所以O′B⊥OB
即OB为 的切线，
电荷射出的方向得证.
2、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径,则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值：
方法简述3：
拓展：带电粒子射入环形磁场区域问题
例7.在受控热核聚变装置中，聚变原料有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束使其在某个区域内运动.现按下面的简化条件来讨论这个问题：图中是一个内半径R1=1.0 m、外半径R2=2.0 m的环状区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场.已知氦核的比荷 ，磁场的磁感应强度B=0.4 T，不计氦核的重力.设O点为氦核源，它能沿半径方向射出各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度vm.
解：设速率为vm的氦核运
动至外边缘时恰好与边界相切而返
回，其轨迹如图所示.
设∠BOA=θ，由几何关系有：
R3=R1·tan θ
联立解得：
又因为氦核运动轨迹的半径
解得：vm=1.44×107 m/s.
带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分以下两种情形总结规律：
（1）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为：
（2）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为：
（即此时轨迹半径 ）.
.
方法简述4
04
临界和极值和多解问题
解决带电粒子在磁场中的临界问题的关键
(1)通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,根据磁场边界和题设条件画好轨迹,定好圆心,建立几何关系。
(2)寻找临界点常用的结论
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速度v 一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v 变化时,圆心角越大的,运动时间越长。
④在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时,则入射点和出射点为磁场直径的两个端点,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。
（一）带电粒子运动的临界和极值问题
带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
-q
B
P
+q
+q
Q
P
Q
Q
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
圆心在过入射点跟边界垂直的直线上
圆心在磁场原边界上
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
构建模型：速度方向不变，大小改变——“吹气球模型”
用动态变化的思想分析出临界状态
图有误，应该是优弧
带电粒子在矩形边界磁场中的运动
o
B
d
a
b
c
θ
B
圆心在磁场原边界上
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
速度方向不变，大小变化——“放缩圆”
2R
R
2R
M
N
O
s
a
b
P1
P2
N
L
求ab上被α粒子打中的区域的长度
速度大小不变，方向变化——“旋转圆”
例8.(多选)如图所示,带正电的A粒子和B粒子先后以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°(与边界的夹角)射入磁场,又都恰好不从另一边界飞出,则下列说法中正确的是 ( )
A.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
B.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
C.A、B两粒子 之比是
D.A、B两粒子 之比是
BD
答案 BD 由题意知,粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力,根
据qvB=m ,得r= 。由几何关系可得,对粒子B:rB cos 60°+rB=d,对粒子
A:rA cos 30°+rA=d,联立解得 = ,所以A错误,B正确。再根据r= ,
可得A、B两粒子 之比是 ,故C错误,D正确。
例9.如图所示,△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为 的电子以速度v0从A点沿AB边入射,欲使电子经过BC边,磁感应强度B的取值为 ( )
A.B> B.B<
C.B> D.B<
D
答案 D 由题意,如图所示,电子正好经过C点,此时圆周运动的半径R= = ,要想电子从BC边经过,电子做圆周运动的半径要大于 ,由带电粒子在磁场中运动的半径公式R= ,可得 < ,即B< ,选D。
方法技巧：
带电粒子进入有界匀强磁场区域,一般存在临界问题。解决这类问题的方法思路如下:
(1)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值。
(2)以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解。
(3)许多临界问题、题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时一定要抓住此类特定的词语,挖掘出隐藏的规律,找出临界条件。
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面:
带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同初速度时,
正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。如图所示,带电粒子以速度v垂直匀
强磁场进入,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b
磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向,
则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示,带正电的粒子以速度v垂直匀
强磁场进入,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b
临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可
能穿过去了,也可能转过180°后从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解
运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场,部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多
解,如图所示
（二）带电粒子在磁场中运动的多解问题
例10、如图所示,宽度为d的有界匀强磁场,磁感应强度为B,MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出,则粒子入射速率v的最大值可能是多少
考向一 带电粒子电性不确定形成多解
答案 (2+ ) (q为正电荷)或(2- ) (q为负电荷)
解析 题目中只给出粒子“电荷量为q”,未说明是带哪种电荷,所以分
情况讨论。
若带电粒子带正电荷,轨迹是图中与NN'相切的 圆弧,则轨迹半径
R=
又d=R-R·sin 45°
解得v=
若带电粒子带负电荷,轨迹是图中与NN'相切的 圆弧,则轨迹半径
R'=
又d=R'+R' sin 45°
解得v'=
考向二 磁场方向不确定形成多解
例11.(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是 ( )
A. B.
C. D.
AC
答案 AC 依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”,磁场方向
有两种可能,且这两种可能方向相反,在方向相反的两个匀强磁场中,由
左手定则可知负电荷所受洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受
的洛伦兹力方向与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可得4Bqv=m ，
得v= ,此种情况下,负电荷运动的角速度为ω= = ;当负电荷
所受的洛伦兹力方向与电场力方向相反时,有2Bqv'=m ,得v'= ,此
种情况下,负电荷运动的角速度为ω'= = 。综上可知,选项A、C正
确。
例12.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离也为l,极板不带电。现有质量为m、电荷量为
q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水
平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是 ( )
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
考向三 临界状态不唯一形成多解
D.使粒子的速度v满足
答案 AB 设带电粒子从极板右边缘射出时的最小速度为v1,从极板
左边缘射出时的最大速度为v2。若带电粒子刚好打在极板右边缘,则其
运动轨迹如图所示(轨迹半径为r1),有 = +l2,又有r1= ,解得v1=
;若粒子刚好打在极板左边缘,有r2= = ,解得v2= 。则带电粒
子不打在极板上时速度满足的条件是v> 或v< ,A、B正确。
考向四 运动的周期性形成多解
例13. 如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O'正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求:
(1)磁感应强度B0的大小。
(2)要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
答案 (1) (2) (n=1,2,3,…)
解析 (1)正离子射入磁场,洛伦兹力提供向心力
B0qv0=
做匀速圆周运动的周期T0=
由以上两式得磁感应强度B0=
(2)要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,v0的方向应如图所示,两板之间正离子只运动一个周期即T0时,有R= ;当两板之间正离子运动n(n=1,2,3,…)个周期,即nT0(n=1,2,3,…)时,有R= (n=1,2,3,…)。
联立求解,得正离子的速度的可能值为
v0= = (n=1,2,3,…)。
课堂小结
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法
典型边界磁场中的轨迹特点
临界和极值问题第一章 安培力与洛伦兹力
第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动
教材分析：
在本节教材中，我们将深入探讨洛伦兹力的应用。与以往的学习方式不同，本次教学采用了实验探究、理论分析与推导相结合的方式进行。通过这种方式，我们希望让学生在实践中体会理论知识的重要性，并培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
首先，学生将进行实验探究，积累感性的材料。在实验过程中，他们可以观察到洛伦兹力在不同条件下的表现，为后续的理论分析打下基础。实验过程中，学生要学会如何正确操作实验设备，观察实验现象，并对实验数据进行记录和整理。
接下来，学生将利用已学的理论知识对实验结果进行深入分析。在这个过程中，教师将引导学生运用所学知识，对实验现象进行解释，并从中提炼出关键规律。通过对实验数据的理论推导，学生将更好地理解洛伦兹力的本质，并掌握其计算方法。
在实验与理论分析的基础上，学生还将进行进一步的探究。他们将尝试运用所学知识解决实际问题，如分析洛伦兹力在电磁设备中的应用、探讨洛伦兹力与其它物理量的关系等。这种方式旨在培养学生理论联系实际的科研能力，使他们能够在实际问题中灵活运用所学知识。
总之，本节教材的内容以洛伦兹力的应用为核心，通过实验探究、理论分析与推导相结合的方式，让学生在实践中感受理论知识的力量，培养学生解决实际问题的能力。在学习过程中，学生将体会到理论与实践相结合的研究方法的重要性，并从中收获成功的喜悦。这种教学方式有助于提高学生的学习兴趣和积极性，为他们的未来发展奠定坚实基础。
物理核心素养：
物理观念：洛伦兹力的性质
科学思维：通过洛伦兹力性质与平面几何知识的结合，分析带电粒子在磁场中的运动轨迹
科学探究：采用洛伦兹力演示仪，通过控制变量法，研究影响电子束运动轨迹的因素。
科学态度与责任：研究洛伦兹力在质谱仪、回旋加速器中的应用原理，体会科学技术的发展对人类的进步贡献。
教学重难点：
1、教学重点：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期公式，并能用来分析有关问题
2、教学难点：粒子在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动相关问题。
教学方法与教具：
洛伦兹力演示仪、感应线圈、电源、多媒体、立体坐标等。
教学过程：
带电粒子在匀强磁场中的运动
讨论：
嘿，你知道吗？如果带电粒子不理会重力的召唤，一股脑儿地往匀强磁场里冲，它可就有大戏唱啦！这小家伙，跟那魔法世界里的小精灵似的，会在磁场里跳起优雅的舞蹈。你猜猜，它会怎么跳？
由于是匀强磁场，洛伦兹力大小保持不变
洛伦兹力的方向总是与速度方向垂直，洛伦兹力只会改变粒子速度的方向，不会改变其大小
所以，沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
首先，我们来了解一下匀强磁场中带电粒子的运动轨迹。
在匀强磁场中，带电粒子运动时会产生一个半径。这个半径的大小和哪些因素有关呢？
其实，带电粒子运动轨迹的半径主要和两个因素有关：粒子的速度和磁场的强度。
粒子的速度越快，运动轨迹的半径就越大。这是因为在相同的磁场强度下，速度越快的粒子受到的洛伦兹力就越大，从而运动轨迹的半径也就越大。
另外，磁场的强度也会影响带电粒子运动轨迹的半径。磁场的强度越强，运动轨迹的半径就越小。因为磁场强度越大，洛伦兹力就越大，导致粒子运动轨迹的半径变小。
所以，总结一下，匀强磁场中带电粒子运动轨迹的半径主要和粒子的速度和磁场的强度有关。
思路: 带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
可见r与速度v、磁感应强度B、粒子的比荷有关
实验演示：洛伦兹力演示仪
①加速电场：作用是改变电子束出射的速度
②励磁线圈：作用是能在两线圈之间产生平行于两线圈中心的连线的匀强磁场
1.不加磁场时观察电子束的径迹。
2.给励磁线圈通电，在玻璃泡中产生沿两线圈中心连线方向，由纸内指向读者的磁场，观察电子束的径迹。
3.保持磁感应强度不变，改变出射电子的速度，观察电子束径迹的变化。
4.保持出射电子的速度不变，改变磁感应强度，观察电子束径迹的变化。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时周期有何特征？
可见同一个粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度无关
三、【例题】
一个质量为 1.67×10-27 kg、电荷量为 1.6×10-19 C 的带电粒子，以 5×105m/s 的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为 0.2 T 的匀强磁场。求：
（1）粒子所受的重力和洛伦兹力的大小之比；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径；
（3）粒子做匀速圆周运动的周期。
分析
依据所给数据分别计算出带电粒子所受的重力和洛伦兹力，就可求出所受重力与洛伦兹力之比。带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力并做匀速圆周运动，由此可以求出粒子运动的轨道半径及周期
解: （1）粒子所受的重力
G ＝mg＝1.67×10-27×9.8 N ＝ 1.64×10-26N
所受的洛伦兹力
F＝qvB ＝ 1.6×10-19×5×105×0.2N ＝ 1.6×10-14N
重力与洛伦兹力之比
可见，带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力远大于重力，重力作用的影响可以忽略。
（2）带电粒子所受的洛伦兹力为
F ＝ qvB
洛伦兹力提供向心力，故
由此得到粒子在磁场中运动的轨道半径
（3）粒子做匀速圆周运动的周期
四、带电粒子在磁场中运动情况研究
1、找圆心：
2、定半径：
3、确定运动时间：
1. 圆心的确定
（1）若已知入射方向和出射方向，作入射速度出射速度的垂线，两垂线交点就是圆弧轨道的圆心。
（2）若已知入射方向和出射点的位置，做入射速度垂线及弦的中垂线，交点就是圆弧轨道的圆心。
2. 半径的确定
由于已知条件的不同，求半径有两种方法：
一是已知物理量(q、m、B、v)，利用半径公式求半径。
二是已知其他几何量利用数学图形知识求半径，一般利用几何知识，常用解三角形的方法。
3. 运动时间的确定
利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等计算出圆心角的大小，由公式可求出运动时间。
五、特别注意：
1. 轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，在磁场中运动的时间与周期、偏转角相联系。
2. 粒子速度的偏向角 ( φ ) 等于圆心角 ( α )，并等于AB 弦与切线的夹角 ( 弦切角 θ ) 的 2 倍 ( 如图 )，即φ ＝ α ＝ 2θ ＝ ωt
例2. 如图所示，一束电子(电荷量为 e )以速度 v 垂直射入磁感应强度为 B，宽度为 d 的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30°，则电子的质量是________，穿过磁场的时间是________。
解析： (1) 画轨迹，找圆心。
电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为 F洛⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时两个洛伦兹力的交点上，即上图中的 O 点。
(2) 定半径。
由几何知识知，弧AB的圆心角 θ＝30°，OB 为半径。
所以 r = d/sin 30°= 2d，又由 r = mv/eB，得m = 2dBe/v 。
(3) 定时间。
因为弧 AB 的圆心角是 30° ，所以穿过时间 t = T/12,
故 t = πd/3v 。
答案： 2dBe/v πd/3v
六、课堂练习
1.水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将（ ）
A.沿路径a运动,轨迹是圆
B.沿路径a运动,轨迹半径越来越大
C.沿路径a运动,轨迹半径越来越小
D.沿路径b运动,轨迹半径越来越小
2、有三种粒子，分别是质子（ ）、氚核、（ ）和α粒子（ ）束，如果它们以相同的速度沿垂直于磁场方向射入匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里），在下图中，哪个图正确地表示出这三束粒子的运动轨迹？（ ）
3、一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如下图所示．径迹上的每一小段都可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电量不变)．从图中情况可以确定
A．粒子从a到b，带正电
B．粒子从a到b，带负电
C．粒子从b到a，带正电
D．粒子从b到a，带负电
七、课后作业：（见教材课后习题）
八、板书设计：
1、洛伦兹力演示仪
2、洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，
（1）、轨道半径为：r＝，
（2）、周期为：T＝，
九、教学反思：
本节的主要学习目标是理解带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期公式，并掌握解决此类问题的常用方法。在学习过程中，带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的分析是一个难点，这需要我们运用圆周运动、力学和电磁学等相关知识来解决。
为了帮助大家更好地理解和掌握这一知识点，我们设计了一个问题组，难度逐渐增加。这些问题将引导大家深入探讨带电粒子在复合场中的运动规律，从而提高大家解决实际问题的能力。在解决问题的过程中，我们需要综合运用圆周运动、平面几何、牛顿运动定律和能量等基础知识，这对大家的知识储备和应用能力提出了较高的要求。
在教学过程中，我们发现许多学生在理解带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的过程中，容易产生一些误区。为了纠正这些误区，我们采用了小组合作讨论的方式，让学生在讨论中加深对知识的理解，相互纠正错误，提高学习效果。
在讲解例题时，我们注意到许多学生缺乏清晰的理解思路和明确的解题步骤。为了帮助学生解决这个问题，我们教师会在细致、小步的引导过程中，注重提炼学生的解题思路，并进行解题步骤的规范化训练。经过这样的讲解，学生可以更好地总结此类题目的解题步骤，提高自主解题能力。
总之，通过本节课的学习，我们希望学生能够掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期公式，并能运用相关知识解决实际问题。同时，我们也希望学生能够在学习过程中，不断提高自己的分析能力、团队合作能力和解题技巧。这将有助于他们在未来的学习和科研中取得更好的成绩。
大单元课时（三）带电粒子在匀强磁场中的运动（解析版）
一、单选题
1．如图所示为电视显像管的原理示意图。显像管中有一个电子枪，工作时它能发射高速电子，撞击荧光屏就能发光，没有磁场时电子束打在荧光屏正中的O点，为使电子束偏转，由安装在管颈的偏转线圈产生偏转磁场。要使电子束（ ）
A．打在屏上A点，偏转磁场的方向应水平向右
B．打在屏上B点，偏转磁场的方向应垂直纸面向外
C．打在屏上的位置由A点逐渐向B点移动，磁场大小应先减小，再反向增大
D．打在屏上的位置由B点逐渐向A点移动，磁场大小应先增大，再反向减小
答案:C
解析:A．由左手定则可知，打在屏上的A点，偏转磁场的方向应垂直纸面向外，A错误；
B．由左手定则可知，打在屏上的B点，偏转磁场的方向应垂直纸面向里，B错误；
C．粒子在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力
解得
打在屏上的位置由A点逐渐向B点移动，电子做圆周运动的半径先变大后变小，故磁场大小应先减小，再反向增大，C正确；
D．由C选项分析可知，打在屏上的位置由B点逐渐向A点移动，磁场大小应先减小，再反向增大，D错误。
故选C。
2．在如图所示的匀强电场或匀强磁场B区域中，带电粒子（不计重力）做直线运动的是（ ）
A． B．
C． D．
答案:A
解析:A.根据题意可知，带电粒子受到水平向右的电场力从而做匀加速直线运动，故A正确；
B.正电荷受到的电场力向上，与速度方向相互垂直，所以带电粒子做类平抛运动，故B错误；
C.带电粒子在匀强磁场中受到洛伦兹力的作用做匀速圆周运动，故C错误；
D.根据左手定则可知，正电荷受到垂直于平面向外的洛伦兹力做匀速圆周运动，故D错误。
故选A。
3．质子和α粒子的电荷量比q1：q2=1：2，质量比m1：m2=1：4，它们以相同速度进入同一匀强磁场中后，在磁场垂直的平面内做匀速圆周运动，其轨道半径分别为R1、R2，周期分别为T1、T2，则（ ）
A．R1：R2=1：2 B．R1：R2=2：1 C．T1：T2=1：1 D．T1：T2=2：1
答案:A
解析:AB．根据
解得
即
B错误A正确；
CD．周期公式
即
CD错误。
故选A。
4．现有两种粒子，质量分别为m1和m2，前者电荷量是后者的2倍，使它们垂直射入同一匀强磁场，结果发现两个粒子运动的圆轨道的半径相同，则它们的动能之比为（ ）
A． B． C． D．
答案:D
解析:粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
，
质量分别为m1和m2，前者电荷量是后者的2倍，结果发现两个粒子运动的圆轨道的半径相同，则它们的动能之比为
故选D。
5．如图为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以速度v1（沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（ ）
A．半径之比为 B．半径之比为
C．时间之比为 D．时间之比为
答案:A
解析:AB．设圆柱形区域为R，粒子运动轨迹如图所示
由几何知识可知
轨道半径之比
故A正确，B错误；
CD．粒子在磁场中做圆周运动的周期
由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角
粒子在磁场中的运动时间
粒子的运动时间之比
故CD错误。
故选A。
6．如图，垂直于纸面的匀强磁场在局限于长度为的正方形方框abcd内，磁感应强度大小为B，从方框某位置射入速率为v0的不计重力的带负电的电荷，则下列说法正确的是（ ）
A．该电荷在磁场内一定做匀速圆周运动
B．若仅减小射入电荷的电量，那么电荷的速度会增加
C．若电荷从a点平行于ad射入，从c点射出，则该电荷的比荷为
D．若电荷所带电量为，从a点平行于ad射入，电荷经过方框的中心，电荷的质量为
答案:C
解析:A．当电荷速度方向垂直于磁场方向时，电荷在磁场中做匀速圆周运动，当电荷速度方向平行于磁场方向时，电荷做匀速直线运动，A错误；
B．洛伦兹力对运动电荷不做功，若仅减小射入电荷的电量，那么电荷的速度大小不变，B错误；
C．若电荷从a点平行于ad射入，从c点射出，根据几何关系可知
根据
解得
C正确；
D．若电荷所带电量为，从a点平行于ad射入，电荷经过方框的中心，根据几何关系可知
根据
解得
D错误。
故选C。
7．如图所示，虚线边界左右两侧均有匀强磁场，其大小分别为B1、B2．一带电粒子（不计重力）由a点垂直于边界以大小为v的速度向左运动，在左侧磁场中运动先经过虚线边界上的b点然后在右侧匀强磁场中运动到达虚线边界上的c点，已知，下列说法正确的是
A．粒子可能带负电
B．
C．在题述过程中，粒子在边界右侧运动的时间是在左侧运动时间的1.5倍
D．若仅使粒子进入磁场中的速度变为2v，则其在边界左侧做匀速圆周运动的向心加速度变为原来的
答案:C
解析:根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；粒子运动轨迹如图所示：
根据洛伦兹力提供向心力：，可得：，则：，，根据几何关系可得：，，联立可得：，故B错误；粒子在磁场中运动的周期分别为：，，运动的时间分别为半个周期，所以粒子在边界右侧运动的时间是在左侧运动时间的1.5倍，故C正确；根据，解得：，可知，若仅使粒子进入磁场中的速度变为2v，则其在边界左侧做匀速圆周运动的向心加速度变为原来的2倍，故D错误．所以C正确，ABD错误．
8．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图，励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。下列操作中电子束径迹的半径一定增大的是（ ）
A．仅提高电子枪加速电压
B．仅增大励磁线圈中电流
C．提高电子枪的加速电压同时增大励磁线圈中电流
D．降低电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中电流
答案:A
解析:电子在加速电场中加速，由动能定理有
电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
A．仅提高电子枪加速电压，电子束的轨道半径变大，A正确；
B．仅增大励磁线圈中电流，电流产生的磁场增强，电子束的轨道半径变小，B错误；
CD．根据表达式可知为了使得电子束的轨道半径增大，应提高电子枪的加速电压的同时减小励磁线圈中的电流，CD错误。
故选A。
二、多选题
9．一电子以的速度沿着与磁场垂直的方向射入T的匀强磁场中，（q=1.6×10-19C，m=9.1×10-31Kg）下列说法正确的是（ ）
A．该电子做匀速圆周运动的轨道半径
B．该电子做匀速圆周运动的轨道半径
C．该电子做匀速圆周运动的周期约为
D．该电子做匀速圆周运动的周期约为
答案:BD
解析:根据牛顿第二定律有
解得该电子做匀速圆周运动的轨道半径为
该电子做匀速圆周运动的周期为
故选BD。
10．如图所示，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子。空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（ ）
A．粒子能打在板上的区域长度是2d
B．粒子能打在板上的区域长度是(＋1)d
C．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为
D．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为
答案:BC
解析:AB．以磁场方向垂直纸面向外为例，打在极板上粒子轨迹的临界状态如图1所示，
根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度
故A错误，B正确；
CD．在磁场中打到板上的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图2所示，由几何关系知，最长时间
t1＝T
最短时间
t2＝T
又有粒子在磁场中运动的周期
根据题意
t1－t2＝Δt
联立解得
若磁场方向垂直纸面向里，可得出同样的结论， 故C正确，D错误。
故选BC。
11．如图所示，边界MN上方存在区域足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场．有两个质量和电荷量均相同的正、负离子，从O点以相同的速率射入磁场中，射入方向与边界成θ=60°角．若不计重力．则
A．正离子、负离子在磁场中运动时间相等
B．正离子在磁场中运动时间是负离子的2倍
C．正离子在磁场中运动时间是负离子的3倍
D．正负离子在磁场中运动轨道半径相等
答案:BD
解析:ABC．由左手定则可知道正离子向左偏转，在磁场中运动轨迹所对的圆心角为240°，则在磁场中运动时间为，负离子在磁场中向右偏转，运动轨迹所对的圆心角为120°，在磁场中运动时间为，正离子、负离子在磁场中运动时间不相等，选项AC错误，选项B正确；
D．根据因为正负离子质量和电荷量均相同所以在磁场中运动半径相等，选项D正确。
故选BD。
点评：本题难度中等，本题中要明确粒子的电性不同偏转方向的不同，根据粒子的偏转大致画出粒子的偏转轨迹，所对应的圆心角决定运动时间
12．如图所示，在空间由一坐标系xOy，直线OP与轴正方向的夹角为30°，第一象限内有两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域I和II，直线OP上方区域I中磁场的磁感应强度为B，一质量为m，电荷量为q的质子（不计重力）以速度v从O点沿与OP成30°角的方向垂直磁场进入区域I，质子先后通过强磁场区域I和II后，恰好垂直打在x轴上的Q点（图中未画出），则（ ）
A．粒子在第一象限中运动的时间为
B．粒子在第一象限中运动的时间为
C．Q点的横坐标为
D．Q点的横坐标为
答案:AC
解析:AB．设质子在磁场I和II中做圆周运动的轨道半径分别为和，区域II中磁感应强度为B'，由牛顿第二定律
粒子在两区域运动的轨迹如图所示
由带电粒子在磁场中运动的对称性和几何关系可以知道，质子从A点出磁场I时的速度方向与OP的夹角为30°，故质子在磁场I中轨迹的圆心角为θ=60°，如图，则为等边三角形
在区域II中，质子运动圆周，是粒子在区域II中做圆周运动的圆心
由上述各式计算得出区域II中磁感应强度为
粒子在Ⅰ区的运动周期
粒子在Ⅱ区运动的周期
粒子在第一象限中运动的时间为
联立计算得出
因此选项A正确、选项B错误；
CD．Q点坐标
代入数据得
因此选项C正确，D错误。
故选AC。
【点睛】带电粒子通过磁场的边界时，如果边界是直线，根据圆的对称性得到，带电粒子入射速度方向与边界的夹角等于出射速度方向与边界的夹角，这在处理有界磁场的问题常常用到。
三、解答题
13．如图所示，质量为m，电荷量为q的带电粒子，以初速度v沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。不计带电粒子所受重力。求：
(1)粒子做匀速圆周运动的半径R；
(2)粒子做匀速圆周运动周期T。
答案:（1） （2）
解析:（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供所需向心力，则有
解得
（2）由匀速圆周运动周期与线速度关系有
解得
【点睛】本题考查了求粒子做圆周运动的轨道半径、周期，应用牛顿第二定律、线速度与周期的关系即可正确解题。
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一垂直于x轴放置的平行板电容器，两极板间区域有匀强电场。一半径为R的圆形区域存在匀强磁场，磁感应强度大小可调节，磁场圆心在坐标原点O处，磁场方向始终垂直于坐标平面向外。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从电容器极板边缘以速度平行极板射入，恰好从x轴上的点进入磁场，粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向夹角为45°，不计粒子的重力。
（1）求粒子在磁场中运动的速度大小v；
（2）若粒子从坐标系第四象限内的磁场边界（包含a，b两点）射出，求磁感强度的取值范围；
（3）若c、d两点为ab弧的三等分点，磁感应强度为时粒子从c点射出，磁感应强度为时粒子从d点射出，求磁感应强度与的乘积。
答案:（1）；（2）；（3）
解析:（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动
解得
（2）若粒子从a点射出，设圆周运动的半径为ra，磁感应强度为Ba，由题意
由牛顿第二定律
得
解得
若粒子从b点射出，设圆周运动的半径为rb，磁感应强度为Bb，由题意
同理
解得
故磁感应强度的取值范围为
（3）若粒子从c点射出，设圆周运动的半径为r1，运动轨迹如下图
由几何关系，得
若粒子从d点射出，设圆周运动的半径为r2，运动轨迹如下图
由几何关系，得
其中
联立得
15．如图所示，在0≤x≤a的区域I内有垂直于纸面向里的匀强磁场．在x＞a的区域Ⅱ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B0．质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子沿x轴从原点O水平射入磁场．当粒子射入速度不大于v0时，粒子在进场中运动的时间都相同，求：
(1)速度v0的大小；
(2)若粒子射入磁场的速度大小为，其轨迹与x轴交点的横坐标；
(3)调节区域Ⅱ磁场的磁感强度为λB0，使粒子以速度nv0（n＞1）从O点沿x轴射入时，粒子均从O点射出磁场，n与λ满足的关系.
答案:(1) (2) (3)
解析:(1)粒子恰好与边界相切时，根据几何关系可得粒子的轨迹半径：R＝a ①
根据洛伦兹力提供向心力可得： ②
联立①②式可得： ③
(2)带电粒子运动的轨迹过程图，如图所示，O1、O2分别为轨迹的圆心，设粒子轨迹半径为r，
根据洛伦兹力提供向心力可得： ④
代入v解得:
根如图由于AB＝a，则θ＝60°
O2刚好在x轴上，
(3)画出粒子轨迹过程图，如图所示：
粒子在区域I中圆周运动的半径为R1，根据洛伦兹力提供向心力可得:
粒子在区域II中圆周运动的半径为R2，根据洛伦兹力提供向心力可得:
在区域II中圆周运动的圆心位于x轴上才可能使粒子从O点射出，
根据几何关系可得：R1sinα＝a
（R1+R2）cosα＝R1
解得:
()试卷第1页，共3页
()试卷第1页，共3页
大单元课时（三）带电粒子在匀强磁场中的运动（学生版）
一、单选题
1．如图所示为电视显像管的原理示意图。显像管中有一个电子枪，工作时它能发射高速电子，撞击荧光屏就能发光，没有磁场时电子束打在荧光屏正中的O点，为使电子束偏转，由安装在管颈的偏转线圈产生偏转磁场。要使电子束（ ）
A．打在屏上A点，偏转磁场的方向应水平向右
B．打在屏上B点，偏转磁场的方向应垂直纸面向外
C．打在屏上的位置由A点逐渐向B点移动，磁场大小应先减小，再反向增大
D．打在屏上的位置由B点逐渐向A点移动，磁场大小应先增大，再反向减小
2．在如图所示的匀强电场或匀强磁场B区域中，带电粒子（不计重力）做直线运动的是（ ）
A． B．
C． D．
3．质子和α粒子的电荷量比q1：q2=1：2，质量比m1：m2=1：4，它们以相同速度进入同一匀强磁场中后，在磁场垂直的平面内做匀速圆周运动，其轨道半径分别为R1、R2，周期分别为T1、T2，则（ ）
A．R1：R2=1：2 B．R1：R2=2：1 C．T1：T2=1：1 D．T1：T2=2：1
4．现有两种粒子，质量分别为m1和m2，前者电荷量是后者的2倍，使它们垂直射入同一匀强磁场，结果发现两个粒子运动的圆轨道的半径相同，则它们的动能之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以速度v1（沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（ ）
A．半径之比为 B．半径之比为
C．时间之比为 D．时间之比为
6．如图，垂直于纸面的匀强磁场在局限于长度为的正方形方框abcd内，磁感应强度大小为B，从方框某位置射入速率为v0的不计重力的带负电的电荷，则下列说法正确的是（ ）
A．该电荷在磁场内一定做匀速圆周运动
B．若仅减小射入电荷的电量，那么电荷的速度会增加
C．若电荷从a点平行于ad射入，从c点射出，则该电荷的比荷为
D．若电荷所带电量为，从a点平行于ad射入，电荷经过方框的中心，电荷的质量为
7．如图所示，虚线边界左右两侧均有匀强磁场，其大小分别为B1、B2．一带电粒子（不计重力）由a点垂直于边界以大小为v的速度向左运动，在左侧磁场中运动先经过虚线边界上的b点然后在右侧匀强磁场中运动到达虚线边界上的c点，已知，下列说法正确的是
A．粒子可能带负电
B．
C．在题述过程中，粒子在边界右侧运动的时间是在左侧运动时间的1.5倍
D．若仅使粒子进入磁场中的速度变为2v，则其在边界左侧做匀速圆周运动的向心加速度变为原来的
8．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图，励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。下列操作中电子束径迹的半径一定增大的是（ ）
A．仅提高电子枪加速电压
B．仅增大励磁线圈中电流
C．提高电子枪的加速电压同时增大励磁线圈中电流
D．降低电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中电流
二、多选题
9．一电子以的速度沿着与磁场垂直的方向射入T的匀强磁场中，（q=1.6×10-19C，m=9.1×10-31Kg）下列说法正确的是（ ）
A．该电子做匀速圆周运动的轨道半径
B．该电子做匀速圆周运动的轨道半径
C．该电子做匀速圆周运动的周期约为
D．该电子做匀速圆周运动的周期约为
10．如图所示，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子。空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（ ）
A．粒子能打在板上的区域长度是2d
B．粒子能打在板上的区域长度是(＋1)d
C．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为
D．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为
11．如图所示，边界MN上方存在区域足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场．有两个质量和电荷量均相同的正、负离子，从O点以相同的速率射入磁场中，射入方向与边界成θ=60°角．若不计重力．则
A．正离子、负离子在磁场中运动时间相等
B．正离子在磁场中运动时间是负离子的2倍
C．正离子在磁场中运动时间是负离子的3倍
D．正负离子在磁场中运动轨道半径相等
12．如图所示，在空间由一坐标系xOy，直线OP与轴正方向的夹角为30°，第一象限内有两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域I和II，直线OP上方区域I中磁场的磁感应强度为B，一质量为m，电荷量为q的质子（不计重力）以速度v从O点沿与OP成30°角的方向垂直磁场进入区域I，质子先后通过强磁场区域I和II后，恰好垂直打在x轴上的Q点（图中未画出），则（ ）
A．粒子在第一象限中运动的时间为
B．粒子在第一象限中运动的时间为
C．Q点的横坐标为
D．Q点的横坐标为
三、解答题
13．如图所示，质量为m，电荷量为q的带电粒子，以初速度v沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。不计带电粒子所受重力。求：
(1)粒子做匀速圆周运动的半径R；
(2)粒子做匀速圆周运动周期T。
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一垂直于x轴放置的平行板电容器，两极板间区域有匀强电场。一半径为R的圆形区域存在匀强磁场，磁感应强度大小可调节，磁场圆心在坐标原点O处，磁场方向始终垂直于坐标平面向外。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从电容器极板边缘以速度平行极板射入，恰好从x轴上的点进入磁场，粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向夹角为45°，不计粒子的重力。
（1）求粒子在磁场中运动的速度大小v；
（2）若粒子从坐标系第四象限内的磁场边界（包含a，b两点）射出，求磁感强度的取值范围；
（3）若c、d两点为ab弧的三等分点，磁感应强度为时粒子从c点射出，磁感应强度为时粒子从d点射出，求磁感应强度与的乘积。
15．如图所示，在0≤x≤a的区域I内有垂直于纸面向里的匀强磁场．在x＞a的区域Ⅱ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B0．质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子沿x轴从原点O水平射入磁场．当粒子射入速度不大于v0时，粒子在进场中运动的时间都相同，求：
(1)速度v0的大小；
(2)若粒子射入磁场的速度大小为，其轨迹与x轴交点的横坐标；
(3)调节区域Ⅱ磁场的磁感强度为λB0，使粒子以速度nv0（n＞1）从O点沿x轴射入时，粒子均从O点射出磁场，n与λ满足的关系.
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试卷第1页，共3页
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