2023-2024学年度第一学期第二次质量监测
九年级数学试卷
考试时间120分钟试卷满分120分
第一部分选择题（共30分）
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.中国航天取得了举世瞩目的成就.下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是（）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4.已知平面内有和点，，若的半径为，线段，，则直线和的位置关系为（）
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
5.关于的一元二次方程的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心.若，则的度数为（）
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.已知，二次函数的图象如图所示，则所在的象限是（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.用配方法解方程时，配方后正确的是（）
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（）
A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值
10.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线.对于下列说法中，错误的是（）
A. B. C. D.（为实数）
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________.
12.如图，是的直径，是上一点，若，则__________.
13.已知点，，在函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是__________（由大到小排序）
14.如图，在中，，则下列结论中：①；②；③；④.其中正确的是__________（填序号）
15.如图，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是__________（带度数）
三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16.解方程（每题5分，共10分）
（1） （2）
17.（本小题8分）
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，.
（1）将以点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标；
18.（本小题8分）
如图，点，，，都在上，，.
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形.
19.（本小题8分）
为学习贯彻党的“二十大精神”，全国各地积极开展“弘扬红色文化”主题教育学习活动，某市文史研究馆成为了本次学习的重要基地.2023年1月份，该文史馆接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到12.1万人.
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人？
20.（本小题8分）
如图，在等腰三角形中，，是上一点，以为直径的过点，连接，.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径.
21.（本小题9分）
一次足球训练中，小明从球门正前方8m的处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高为2.44m，现以为原点建立如图所示直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少m射门，才能让足球经过点正上方2.25m处？
22.（本小题12分）
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若.求证：.下面是本题的部分解答过程，请补充完整.
证明：如图②，将绕点逆时针旋转60°得到，连接、、，则为等边三角形.完成接下来的证明.
①②③
（2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明.
23.（本小题12分）
如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点.
（1）求直线的函数表达式及点的坐标；
（2）点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为.当时，求的值；
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九年级数学参考答案
一、1-5CACDA 6-10BCCDC
二、11.
12.33°
13.
14.①②③④
15.50°
三、16.（1）解：，，
………………………2分
∴方程有两个不等的实数根
即，…………………………………..5分
（2）解：因式分解得
………………………2分
于是得
，或
解得，……………………………..5分
17.解：（1）如图所示……………………………………….6分
（2）旋转中心坐标为………………………………….8分
18.（1）解∵，，
∴
∵
∴...........................................4分
（2）证明：由（1）得
∴
∵，
∴是等边三角形.
∴
∵
∴
∴四边形是菱形.................................................8分
19.解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为...........................1分
根据题意得：
.......................................3分
解得，（不合题意，舍去）
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%.……………………………..6分
（2）（万人）
答：预计4月份的参观人员有13.31万人.……………………………..8分
20.证明：（1）如图，连接，∵
∴
∵，∴
∴
又∵
∴
∵是的直径，∴
∴
即.
∴是的切线..................................4分
（2）由（1）得
又
∴
∴
∴在中，，
即
解得或（不合题意，舍去）
∴的半径为................................................8分
21.解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为
把的坐标代入，得，
解得
∴抛物线的函数表达式为........................4分
当时，，∴球不能射进球门.......................5分
（2）设小明带球向正后方移动bm，则移动后的抛物线的函数表达式
为...................................7分
把代入得
解得，（舍去）
∴当小明带球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点正上方2.25m处............................................9分
22.（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转60 得到，连接、、，则为等边三角形.
∴，，
又∵，
，即...........................6分
②
（2）.............................7分
证明：如图③，将绕点逆时针旋转90 得到，连接、、，则为等腰三角形.
③
且，
∴，
∵，
∴，.................................12分
23.（1）对于，当时，，
解得，.
点在轴正半轴上，
∴点的坐标为.
设直线的函数表达式为.
将，两点的坐标，分别代入，
得
解得
直线的函数表达式为.............................................4分
将代入，得，
∴点的坐标为................................................6分
（2）由题意可知：点，的坐标分别为，，
点的坐标为，∴.
如图，当点在直线上方时，
∵，
∴解得
∵
∴
如图，当点在直线下方时，
∵，
∴解得，
综上，的值为2，3或...............................12分
（此答案仅供教师参考，如有其他做法，正确均可给分；阅卷过程中，要注意过程.）
