九年级数学试卷
（本试卷共23道题 满分120分 时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2.下列命题中，不正确的是（ ）
A.对角线相等的矩形是正方形
B.对角线垂直平分的四边形是菱形
C.矩形的对角线平分且相等
D顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
3.反比例函数的图象在（ ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第四象限
4.关于x的一元二次方程的解的情况（ ）
A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.不能确定
5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）
A.③②①④ B.③①④② C.②④①③ D.③④①②
6.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕O点旋转到位置，已知，，垂足分别为B，D，，，，则栏杆C端应下降的垂直距离为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
7.某校初一年级开展了一班一特色活动，一班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动，试验园的形状是长16米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为120平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
第7题图
A. B.
C. D.
8.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
第9题图
A. B. C. D.
10.如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接.有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④.其中正确的是（ ）
第10题图
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.若关于x的一元二次方程的一个实数根是a，则的值为______.
12.在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为______.
13.在一个暗箱里放有n个除颜色外其他完全相同的球，这n个球中红球只有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出n大约是为______.
14.如图，有一正方形，边长为，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A，B，F的三角形与顶点为D，E，F的三角形相似时，的值为是______.
第14题图
15.如图，在四边形中，，对角线，相交于点O.若，，，则的长为______.
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
16.计算与画图（每个题5分，共10分）
（1）解方程：；
（2）添线补全下列几何体的三种视图.
17.（本小题8分）
如图：公路旁有两个高度相等的路灯，.小颖上午上学时发现路灯B在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处.晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处.
第17题图
（1）在图中画出小颖的位置（用线段表示，点F在x轴上），并画出光线；
（2）若上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小颖身高为1.5米，他离里程碑E恰5米，求路灯高.
18.（本小题9分）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形. 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁（Varingnon，Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切. ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形. ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系. ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点P，Q，过点D作于点M，交于点N. ∵H，G分别为，的中点，∴，.（依据1） ∴.∵，∴ ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即. ∵，即， ∴四边形是平行四边形，（依据2）∴. ∵，∴.同理，… 图1 图2 图3
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指：______；
材料中的依据2是指：______.
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形.（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论.
19.（本小题8分）
我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同。
（1）求该公司投递快递总件数的月增长率：
（2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？
20.（本小题8分）
关于x一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根.
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
21.（本小题8分）
为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动，活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会，抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖，同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？并说明你的理由.
22.（本小题12分）
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流I与电阻R，之间的关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 a 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 b …
（1）______；______.
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直向坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是什么
③【拓展】结合（2）中的函数图象分析，当时，写出的解集.
第22题图
23.（本小题12分）
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图（1）中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，.将和按图（2）所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）.当时，延长DE交AC于点G.试判断四边形的形状，并说明理由.
【数学思考】
（1）请你解答老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图（2）中的绕点B沿逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图（3），当时，过点A作交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图（4），当时，过点A作于点H，若，，求AH的长.
图1 图2 图3 图4
九年级数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D C B C A D
二、填空题
11. 12. 13.16
14.3或4 15.
三、解答题
16.（1），；
（2）
17.解：（1）
（2）∵上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小颖身高为1.5米.
∴小颖的影长为3米，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得.
答：路灯高为2.4米。
18.解：（1）材料1依据：三角形中位线定理；
材料2依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）如图，画四边形，且于O，点E，H，G，F分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形为所求。
（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于，理由如下：
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，H，G，F分别是边，，，的中点，
∴，，，，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长
.
19.解答：
解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%.
（2）（万件），
∵，
∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件.
20.解答：（1）证明：∵在方程中，
，
∴方程总有两个实数根.
（2）解：∵，
∴，.
∵方程有一根小于1，
∴，解得：，
∴k的取值范围为.
21.解答：
解答：解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件A,则事件A发生的结果只有1种，
∴，
∴顾客首次摸球中奖的概率为.
(2)他应往袋中加入黄球；理由如下.
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，② 新，黄③
共有20种等可能结果，
(i)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率
；
(ii)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
∵，
∴，
∴他应往袋中加入黄球.
22.解答：
解：（1）根据题意，，
∴，；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或.
23.解：（1）结论：四边形为正方形.理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形.
∵，
∴.
∴矩形为正方形：
（2）①结论：.
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴.由（1）得，
∴.
②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作于G，
∵.
∴，，，，
∴.
∵.
∴.
∴，
∵.
∴点G是的中点.
由勾股定种青.
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，，
∴.
∴，
∴，的比为 .
图4
