2023北京汇文中学高二（下）期中
数 学
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 设全集，集合M满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列求导数的运算中错误的是（ ）
A. (3x)′＝3xln3
B. (x2lnx)′＝2xlnx＋x
C. ′＝
D. (sinx·cosx)′＝cos2x
3. 设随机变量，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，且每人参加一项，则不同的报名方法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 设全集为，对于集合，，则“”是“存在集合，使得且”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 已知函数，则（ ）．
A. B. 5 C. D. 1
7. 已知的二项展开式的各项系数和为，则二项展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
8. 设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A. B. C. D.
9. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列叙述：①某人射击次，“射中环”与“射中环”是互斥事件；
②甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；
③抛掷一枚硬币，连续出现次正面向上，则第次出现反面向上的概率大于；
④若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为．则所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②
11. 已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（ ）．
A. M的最小值为 B. 当M最小时，点Q的横坐标为
C. M的最小值为 D. 当M最小时，点Q的横坐标为
12. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共30分）
13. 《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制_________个名字.
14. 已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则___________.
15. 已知函数在处有极大值，则______.
16. 有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球。用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为______.
17. 从集合的非空子集中随机任取两个不同的集合和，则使得的不同取法的概率为________（结果用最简分数表示）.
18. 设集合，则集合中的元素从小到大排列的第 个数是_______
三、解答题（每题12分，共60分）
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
20. 某校组织防控疫情知识竞赛活动，某班经过层层筛选后剩下甲 乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为i的球有i个，2，，甲同学从6个球中随机摸取3个球记下球的标号之和后放回，乙同学再从中摸出3个球记下其标号之和，两人中所取球的标号之和多者获胜.
（1）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（2）求甲获胜的概率.
21. 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
22. 已知函数，其中常数.
（Ⅰ）若函数为单调函数，求实数的最大值；
（Ⅱ）如果函数只有一个零点，求实数的取值范围.
23. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
（1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
（2）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
参考答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 【答案】A
【解析】
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
2. 【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则进行计算后判断各选项．
【详解】由指数函数求导法则得A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查导数的运算法则，掌握导数运算法则是解题关键．
3. 【答案】A
【解析】
【分析】利用二项分布求解即可
【详解】
解得
故选：A
4. 【答案】B
【解析】
【分析】利用分步计数原理直接求得.
【详解】4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，且每人参加一项，有种.
故选：B
5. 【答案】C
【解析】
【分析】通过集合的包含关系,以及充分条件和必要条件的判断,可推出结果.
【详解】由题意,则,当时,,可得;
”能推出“存在集合，使得且.
故选:C
【点睛】本题考查集合与集合间的关系,充分条件和必要条件的判断,考查了对基本知识的掌握能力,做题时要认真审题,属于基础题.
6. 【答案】D
【解析】
【分析】求导得，取代入可得，从而求出．
【详解】，∴，即，
∴，则，
故选：D
7. 【答案】B
【解析】
【分析】令，由各项系数和可求得；根据二项展开式通项公式，由可求得系数.
【详解】令，则，解得：，
展开式通项为：；
令，解得：，的系数为.
故选：B.
8. 【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：由条件概率的计算公式，可得：
故选：B
9. 【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；
【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故选：A
10. 【答案】B
【解析】
【分析】直接利用互斥事件的定义可判断①，对立事件的定义可判断②，由连续抛掷一枚硬币属于独立重复事件，根据概率的的定义可判断③；由方差的性质的公式可判断④.
【详解】对于①. 某人射击次，“射中环”与“射中环”是不可能同时发生的事件，
所以是互斥事件，故①正确.
对于②. 甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”包括：1人射中，1人没有射中和2人都射中.
由对立事件的定义：“至少有人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件. 故②正确.
对于③. 抛掷一枚硬币次，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率为，出现反面向上的概率为，
所以连续出现次正面向上，第次出现反面向上的概率为，故不③正确.
对于④. 设数据，，，的方差为
由样本数据，，，的方差为，即
由，解得，故④正确.
故选：B
11. 【答案】B
【解析】
【分析】先判定与直线平行且与的图象相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标.
【详解】将化为，
即直线l的斜率为，
因为，所以，
令，得，
∴当M最小时，点P的坐标为，
此时点P到直线的距离为，
所以M的最小值为；
过点P且垂直于的直线方程为，
联立，得，
即点Q的横坐标为.
故选:B．
12. 【答案】B
【解析】
【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围．
【详解】解：在定义域内单调递增，
，
即，
即是方程的两个不同根，
∴，
设，
∴时，；时，，
∴是的极小值点，
的极小值为：，
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
∴实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
二、填空题（每题5分，共30分）
13. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有种不同命名分式，即可求解.
【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有种不同命名分式，
所以还可以命制个名字.
故答案为：.
14. 【答案】12
【解析】
【分析】由的二项展开式的通项，可知展开式的二项式系数为，当时，二项式系数的最大值为，展开式的系数为，当满足时，系数的最大值为，求解即可.
【详解】由题意可知
展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值
展开式的系数为，
当满足时，系数最大.
即
，即解得
又
时，系数的最大值为
则
故答案为：12
【点睛】本题考查二项式定理，求二项式系数最大值时，列出不等式组是解决本题的关键.属于一道较难的题.
15. 【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可．
【详解】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极大值点．
综上．
故答案为：．
16. 【答案】##
【解析】
【分析】由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.
【详解】由已知可得随机变量的取值有，
因为一个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列如下：
所以随机变量的数学期望.
故答案为：.
17. 【答案】
【解析】
【分析】首先求出集合的非空子集个数，依题意对集合、中元素的个数分类讨论，最后利用古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：集合的非空子集有个，
从中任取两个不同的集合和共有种，
要使，
①中含有个元素，中也含有个元素，有种，
②中含有个元素，中含有个元素，有种，
③中含有个元素，中含有个元素，有种，
即满足的集合、的取法有种；
故概率；
故答案为：
18. 【答案】135
【解析】
【分析】利用分析中集合包含所有正奇数，所有4的整数倍的正整数，而所有被4除余2的正整数都不属于，由此可得出结论．
【详解】，则，因此所有正奇数都属于集合，
又，，
因此所有4的整数倍的正整数也属于，
若，，
则和中一定是一个取奇数，一个取偶数，但是时，与同奇偶，
所以此时无解，即所有被4除余2的正整数都不属于，
前130个正整数中属于集合的数的个数是，以后依次为131,132,133,135，
第101个数是135．
故答案为：135．
三、解答题（每题12分，共60分）
19. 【答案】（1）；（2）最大值是 1，最小值是．
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可求解；
（2）先求函数的单调性，进而求出极值，比较极值和端点值最大的为最大值，最小的为最小值．
【详解】解：（1）函数的定义域为，
求导得，
因为曲线在点，处的切线斜率为，
所以，
即，
解得．
（2）令，即，
解得，或，
因为，，
当变化时，，的变化情况如表所示：
1
0 0
1 单调递减 单调递增 1
所以在区间，上的最大值是 1，最小值是．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）假设标号为1的球为，标号为2的球为，，标号为3的球为，，，利用列举法能求出甲所取球的标号之和为7的概率．
（2）每人标号之和为、、、、的概率，再利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的概率公式求出甲获胜的概率．
【小问1详解】
解：记标号为1的球为，标号为2的球为，，标号为3的球为，，，
则每位同学取球标号的所有情况为：，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共20种，
甲所取球的标号之和为7的情况为：，，，，，共6种，
所以甲所取球的标号之和为7的概率．
【小问2详解】
解：由（1）知，每人标号之和为5的概率，
标号之和为6的概率，标号之和为8的概率，标号之和为9的概率为，标号之和为7的概率，
则甲获胜的概率．
21. 【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型结合组合公式求解；（2）写出的可能取值，利用超几何分布求得分布列，利用数学期望公式求得期望；（3）先计算得小明同学一轮测试得“优秀”的概率，再利用二项分布的期望公式列不等式求解.
【小问1详解】
记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，
随机选择3所学校共种，所以.
【小问2详解】
的所有可能取值为，
参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：
所以.
【小问3详解】
记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，
则，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，
因为，所以的最小值为，
故至少要进行轮测试.
【点睛】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
22. 【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，函数为单调函数等价于或对成立，分离参数即可求得实数的最大值；（Ⅱ）对进行和分类讨论，时，由（Ⅰ）可得函数是单调递增函数，而，可得函数只有一个零点，时，利用导数研究函数的单调性，求得极值点，通过判断可得，函数在区间上没有零点，从而函数在区间上有一个零点，再对进行分类讨论，从而可求得的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）因为，其中
因为是单调函数，所以或对成立
当对成立时，，
即对成立
所以，根据二次函数的性质得到
当对成立时，，
即对成立
所以，根据二次函数的性质这种情形不成立综上，，所以实数的最大值为.
（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，函数是单调递增函数，而，
（或者说：当时，，时，）
所以函数只有一个零点.
当时，令，得，
当时，
所以的变化情况如下表
0 0
极大 极小
因为
而，
所以
注意到
所以，
所以
所以在时，，
(或者说：注意到，因为时，，
所以）
所以函数在区间上没有零点，
而当时，，
所以函数在区间上有一个零点
当，
其中（舍）
所以的变化情况如下表
0
极小
当时，即时，
函数的唯一的一个极小值，即最小值为，符合题意，
当时，即时，
则，而当时，，
所以函数在区间上还有一个零点，矛盾
当，即时
则，而此时时，，
所以函数在区间上还有一个零点，矛盾
综上，实数的取值范围是或
点睛：本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．
23. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.．
（2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即．
（3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5．
【小问1详解】
①不是的一个二元基底.
理由是；
②是的一个二元基底.
理由是，
.
【小问2详解】
不妨设，则
形如 的正整数共有个；
形如 的正整数共有个；
形如 的正整数至多有个；
形如 的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即.
【小问3详解】
由（2）可知，所以.
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *
假设为的一个4元基底，
不妨设，则.
当时，有，这时或.
如果，则由，与结论*矛盾.
如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，均不可能是的4元基底.
当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.
综上，的最小可能值为5.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
