2023北京首都师大附中高二（下）期中
数 学
第I卷（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
2. 在等比数列中，已知，，则的值为（ ）
A. B. 4 C. D.
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）
A. 和 B. C. D.
4. 由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A. 24 B. 12 C. 10 D. 6
5. 若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若，则（ ）
A. 40 B. 41 C. D.
9. 首师大附中四月在园博园开展越野跑活动，沿途共设置3个“志愿服务站”.现有4名男同学和3名女同学，分配到这3个“志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 432种 B. 216种 C. 108种 D. 72种
10. 已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（共110分）
二、填空题共8小题，每小题5分，共40分.
11. 在的展开式中，常数项为_____．
12. 随机变量的分布列如下，若，则的值是_______.
-1 0 1
13. 已知为数列的前项和，满足，则的值为____________.
14. 函数的导函数___________.
15. 做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是，则当圆柱底面圆半径__________时，用料最省．
16. 将公差不为零的等差数列，，调整顺序后构成一个新的等比数列，，，其中，则该等比数列的公比为________．
17. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
18. 将数列中的所有项排成如下数阵：
……
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，，，……，成等差数列，且，．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ）
A. B. 位于第列 C. D.
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19. 已知函数.
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若直线是函数的一条切线，求的值.
20. 已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和.
21. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间 只服用药物A 只服用药物B
7天内康复 360人 160人
8至14天康复 228人 200人
14天内未康复 12人 40人
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
22. 已知函数.
（1）若，请直接写出函数的零点的个数；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数,恒成立，求实数的取值范围.
23. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.
（1）若，请直接写出集合和中元素的个数.
（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.
（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.
参考答案
第I卷（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】A
【分析】根据复合函数求导公式求解即可.
【详解】.
故选：A
2. 【答案】B
【分析】利用等比中项性质列式求解
【详解】等比数列中，.
故选：B.
3. 【答案】D
【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.
【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为.
故选：D.
4. 【答案】C
【分析】
分个位数是0和个位数是5两类求解.
【详解】当个位数是0时，有个，
当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，
故选：C
5. 【答案】B
【分析】求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率.
【详解】因为，所以，设切点为，所以 ，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.
故选：B
6. 【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故充分性成立；
若，且，则，
所以由对于任意，，推不出，故必要性不成立；
所以“公比”是“对于任意，”的充分不必要条件.
故选:A
7.【答案】B
【分析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答．
【详解】由得，或，选项A，C不满足，即可排除A，C
由求导得，
当或时，，
当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
所以在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足．
故选：B
8. 【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
9. 【答案】B
【分析】首先将4名男同学分配到3个志愿服务站，再将3名女同学分配到3个志愿服务站，即可得到答案.
【详解】首先将4名男同学分配到3个志愿服务站共有种，
将3名女同学分配到3个志愿服务站共有种，
所以共有种.
故选：B
10. 【答案】A
【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
第II卷（共110分）
二、填空题共8小题，每小题5分，共40分.
11. 【答案】6
【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】的展开式的通项公式为，令，则常数项为，
故答案为：6.
12. 【答案】
【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合，可以求出，最后利用方差的计算公式求出的值.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知中：，因为，所以有，联立（1）（2），可得：，
所以.
【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式，考查了数学运算能力.
13. 【答案】8
【分析】根据已知条件求得，从而求得.
【详解】依题意，，，
当时，，
当时，由得，
两式相减并化简得，
所以数列从第二项起是公比为的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
14. 【答案】
【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
【详解】
故答案为：
15. 【答案】
【分析】设圆柱的高为，半径为则由圆柱的体积公式可得，要使用料最省即求全面积的最小值，而，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
【详解】解：设圆柱的高为，半径为，则由圆柱的体积公式可得
所以
所以
令，，则，
令解得，令可得，
在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值即最小值，
即当时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省；
故答案为：
16. 【答案】或
【分析】设等差数列的公差为 ，分别利用，为等比中项得到公差与首项的等量关系，再运用定义求新数列的公比，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
则，，或，，不成等比数列；
（1）若，，或，，成等比数列，则，即，
解得，
此时等比数列，，的公比为，等比数列，，的公比为；
（2）若，，或，，成等比数列，则，即，
解得，
此时等比数列，，的公比为，等比数列，，的公比为．
综上可得，等比数列的公比为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中分别利用，为等比中项得到公差与首项的等量关系，再运用定义求新数列的公比是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
17. 【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．
当时，；当时，．
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为．
故答案为：．
［方法二］： 等价转化
由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，．
只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得，，当且仅当时取等号，
要满足条件只需，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图．
设切点，因为，于是，解得，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
18. 【答案】ACD
【分析】根据题意，分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A正确；
通过计算可知位于数阵第行第列，故B错误；
分析计算的表达式，比较可得C正确；
位于数阵第行第个数，代入等比数列通项公式可得D正确.
【详解】将等差数列，，，……，记为，则公差，所以，故A正确；
第行的项数，第行的项数，，第行的项数，构成以为首项，为公差的等差数列，即第行有项，前行有项，
因为，而，
则位于第行从左边数第项，即位于第列，故B错误；
因为，
，故C正确；
,所以D正确.
故选：ACD.
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19. 【答案】（1），
（2）或
【分析】（1）求导函数，确定函数在闭区间上的单调性，即可确定函数的最值；
（2）根据导数的几何意义确定函数的切点坐标即可得的值.
【小问1详解】
∵，
∴当时，；当时，；
∴在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
∴，.
【小问2详解】
由（1）知：，令，解得：或3；
当时，切点为，则切线方程为：，∴；
当时，切点为，则切线方程为：，即，∴；
综上所述：或.
20. 【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）设等差数列的d，根据求和公式可得，又，即可得解；
（2）根据为等差数列，为等比数列，则：
，分组求和即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，又因为，
且，所以，故，
所以；
（2）由（1）可知，，又，所以.
若选择条件①，可得，
；
若选择条件②，可得，
；
若选择条件③，可得，
.
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题.
21. 【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为1
（3）2
【分析】（1）结合表格中数据求出概率；
（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望；
（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.
【小问1详解】
只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；
【小问2详解】
只服用药物A的患者7天内康复的概率为，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中X的可能取值为，
，，
，
则分布列为：
0 1 2
数学期望为；
【小问3详解】
只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，
，
令，即，
解得：，因为，所以.
22. 【答案】（1）个
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）当时，直接解方程，可得结论；
（2）求得，令，利用导数分析函数的单调性与极值，根据与的关系，可得出函数的单调性，由此可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数分析函数在上的单调性，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，令可得，解得，
故当时，函数有且仅有一个零点.
【小问2详解】
证明：由，得.
令，则.
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以的最小值为.
当时，，.
又在单调递增，故存在，使得，
当时，，则；当时，，则.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数存在极小值.
【小问3详解】
解：对任意的实数，，即，可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故，
故当时，，则函数在上为增函数，
因此，，
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
23. 【答案】（1）有4个元素，有7个元素
（2）个，11个
（3）13，理由见解析
【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.
（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.
（3）根据已知新定义, 分类讨论、列举进行求解、证明.
【小问1详解】
因为，，
所以有4个元素，有7个元素.
【小问2详解】
最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素.
可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中最大的元素为，
则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同，从而由该数字的所有大于1的因子组成.
最小值：不妨设，显然有，则
，
则至少有11个元素.
可能的构造如下：，等比数列即可.
【小问3详解】
中至少有13个元素，可能的构造如下：
，所以
证明如下：
考虑对集合A进行分类：，，，
设，，，.
设，再对集合B进行分类：
，，，
设，，.分析，，与，，的关系：
对集合中的元素：，则
则①
对集合中的元素：；②
对集合中的元素：，则
则③
①+②+③得到
注意到：当时，
当时，
（均值不等式）
从而元素个数至少为13.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
