2023北京顺义高二（下）期中
数 学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．计算3！＝（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
2．函数y＝的导数是（ ）
A．y'＝ex B．y'＝lnx C．y′＝ D．y'＝﹣x﹣2
3．已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝an+2（n∈N*），则a5＝（ ）
A．7 B．11 C．13 D．2n+1
4．乘积（a1+a2+a3+a4）（b1+b2+b3）展开后的项数有（ ）
A．7项 B．9项 C．12项 D．16项
5．某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门课程中选择4门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这2门课程同时入选的不同选法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．20种
6．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．已知函数f（x）的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ）
A．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0 B．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0
C．f′（3）＜f′（2）＜f′（1）＜0 D．f′（3）＞f′（2）＞f′（1）＞0
8．如果﹣2、a、b、c、﹣8成等比数列，那么（ ）
A．b＝4，ac＝16 B．b＝﹣4，ac＝16
C．b＝4，ac＝﹣16 D．b＝﹣4，ac＝﹣16
9．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，下列说法中正确的是（ ）
A．1既是y＝f（x）的一个零点，又是y＝f（x）的一个极小值点
B．1既是y＝f（x）的一个零点，又是y＝f（x）的一个极大值点
C．1是y＝f（x）的一个零点，不是y＝f（x）的极值点
D．1既不是y＝f（x）的一个零点，也不是y＝f（x）的极值点．
10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…则这个数列中第2023个数是（ ）
A．3978 B．3980 C．3982 D．3984
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11．（5分）在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
12．（5分）一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝2t2+1，则质点A在t＝1时的瞬时速度是 （单位：m/s）．
13．（5分）＝ .（用数字作答）
14．（5分）能说明“若函数f（x）在[0，2]上的最大值为f（0），则函数f（x）在[0，2]上单调递减”为假命题的一个函数是 ．
15．（5分）对函数f（x），满足f（c）＝c的实数c称为f（x）的不动点．设f（x）＝ax，其中a＞0且a≠1．有下列四个结论（e≈2.71828 ）：
①当0＜a＜1时，函数f（x）＝a2仅有一个不动点；
②当时，函数f（x）＝ax仅有一个不动点；
③当1＜a＜2时函数f（x）＝ax有两个不动点；
④当2＜a＜e时函数f（x）＝ax有两个不动点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知（x+m）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（m≠0）满足a2＝a3．
（Ⅰ）求实数m；
（Ⅱ）求a4，a5．
17．（14分）已知{an}为等差数列，且a2＝3，a6＝7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{bn}满足，求数列{bn}的前n项和公式．
18．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0）在点（2，f（2））处的切线的方程为y＝﹣8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
19．（15分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝2an+1，n＝1，2，3， ．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）求{an}的通项公式；
（Ⅲ）设Tn＝a2+a4+a6+ +a2n，求Tn的表达式．
20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
21．（15分）已知无穷数列{an}满足a1＝1．
（Ⅰ）若对于任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1．
①当a4＝4时，求a2，a3；
②求证：“a2023＝2023”是“a1，a2，a3， ，a2023为等差数列”的充分不必要条件．
（Ⅱ）若，对于任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝an+2，求证：数列{an}不含等于零的项．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．【答案】C
【解答】解：3！＝3×2×1＝6．
故选：C．
2．【答案】D
【解答】解：∵y＝，
∴y'＝﹣x﹣2，
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：在数列{an}中，由a1＝3，an+1＝an+2（n∈N*），
可知数列{an}是公差为2的等差数列，
则a5＝a1+4d＝3+4×2＝11．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：依题意从第一个括号中选一个字母有4种方法，从第二个括号中选一个字母有3种方法，
按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为4×3＝12项．
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门课程中选择4门报名参加合格性考试，
若语文、数学这2门课程同时入选，则只需从剩余4门课程中选择2门即可，
故不同选法共有＝6种．
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：由于q＝2，
∴
∴；
故选：C．
7．【答案】A
【解答】解：结合图像，f（x）在（0，+∞）单调递减，
故f′（x）＜0，且f′（x）递增，
故f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0，
故选：A．
8．【答案】B
【解答】解：由﹣2、a、b、c、﹣8成等比数列，
得到b2＝ac＝（﹣2）×（﹣8）＝16，
解得：b＝4或﹣4，
又a2＝﹣2b＞0，∴b＜0，
则b＝﹣4，ac＝16．
故选：B．
9．【答案】A
【解答】解：已知f（x）＝（x﹣1）lnx，函数定义域为（0，+∞），
可得，
易知函数y＝lnx和在（0，+∞）上都是增函数，
所以f'（x）在（0，+∞）上是增函数，
又f'（1）＝0，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取到极小值f（1）＝0，没有极大值，
因为f（1）＝0，
所以x＝1为函数f（x）的零点，
综上，1既是y＝f（x）的一个零点，又是y＝f（x）的一个极小值点．
故选：A．
10．【答案】C
【解答】解：由题意可得：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，
前n次共取了个数，且第n次的最后一个数为n2，
当n＝63时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为632＝3969，
∴n＝64时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，3982，…，
∴第2023个数为3982．
故选：C．
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：．
令6﹣2k＝0得，k＝3．
常数项为T4＝．
故答案为：20．
12．【答案】4．
【解答】解：y（t）＝2t2+1，
则y'（t）＝4t，
当t＝1时，y'（1）＝4m/s．
故答案为：4．
13．【答案】4．
【解答】解：＝﹣＝4．
故答案为：4．
14．【答案】f（x）＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
【解答】解：例如函数f（x）＝（x﹣1）2在[0，2]上先减后增，在x＝0处取得最大值f（0）．
故答案为：f（x）＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
15．【答案】②．
【解答】解：令f（x）＝x，得ax＝x，即xlna＝lnx，
所以lna＝，
令g（x）＝，
g′（x）＝＝，
令g′（x）＝0得x＝e，
所以在（0，e）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在（e，+∞）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝，
当x→0时，g（x）→﹣∞；x→+∞时，g（x）→+∞，
当lna≤0，即0＜a≤1时，函数y＝g（x）与y＝lna只有一个交点，
所以方程lna＝只有一个根，
所以方程ax＝x只有一个根，
所以函数f（x）＝ax只有一个不动点，故①错误；
当lna＝，即a＝时，函数y＝g（x）与y＝lna只有一个交点，
所以方程lna＝只有一个根，
所以方程ax＝x只有一个根，
所以函数f（x）＝ax只有一个不动点，故②正确；
当0＜lna＜，即1＜a＜时，函数y＝g（x）与y＝lna有两个交点，
所以方程lna＝有两个根，
所以方程ax＝x有两个根，
所以函数f（x）＝ax有两个不动点，
当lna＞，即a＞时，函数y＝g（x）与y＝lna没有交点，
所以方程lna＝没有根，
所以方程ax＝x没有个根，
所以函数f（x）＝ax没有不动点，
所以当1＜a＜2时，f（x）＝ax可能有两个不动点，也可能没有不动点，故③错误；
当2＜a＜e时函数f（x）＝ax可能有两个不动点，也可能没有不动点，故④错误，
故答案为：②．
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．【答案】（Ⅰ）1．
（Ⅱ）5；1．
【解答】解：（Ⅰ）∵（x+m）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（m≠0）满足a2＝a3，
通项公式为Tr+1＝ mrx5﹣r，
∴ m3＝ m2，
∴实数m＝1．
（Ⅱ）根据通项公式为Tr+1＝ mrx5﹣r，
可得当r＝1时，a4＝5m＝5，当r＝0时，a5＝1．
17．【答案】（Ⅰ）an＝n+1；
（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）{an}为等差数列，且a2＝3，a6＝7．
∴4d＝4，∴d＝1，
∴an＝a2+（n﹣2） 1＝3+n﹣2＝n+1；
∴{an}的通项公式an＝n+1；
（Ⅱ）＝＝﹣，
∴Tn＝b1+b2+b3+ +bn＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+ +（﹣）
＝﹣＝．
18．【答案】（Ⅰ）a＝4，b＝8．
（Ⅱ）x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值24；x＝2时，函数f（x）取得极小值﹣8．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0），f（2）＝8﹣6a+b，
f′（x）＝3x2﹣3a，
∵函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的方程为y＝﹣8，
∴f′（2）＝12﹣3a＝0，f（2）＝8﹣6a+b＝﹣8，
解得a＝4，b＝8．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）＝x3﹣12x+8，
f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），
令f′（x）＝0，
解得x＝±2，
x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，f（﹣2）＝24；x＝2时，函数f（x）取得极小值，f（2）＝﹣8．
19．【答案】（Ⅰ），，；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）Tn＝．
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，Sn＝2an+1，得a1＝2a2，即；
a1+a2＝2a3，则；
a1+a2+a3＝2a4，则；
（Ⅱ）由Sn＝2an+1，得Sn﹣1＝2an（n≥2），
∴an＝2an+1﹣2an，得（n≥2），
由（Ⅰ）得，，不适合上式，
∴数列{an}从第二项起构成以为公比的等比数列，
则{an}的通项公式；
（Ⅲ）数列{a2n}是以为首项，以为公比的等比数列，
则Tn＝a2+a4+a6+ +a2n＝．
20．【答案】（Ⅰ）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）（0，）．
【解答】解：（Ⅰ）已知f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，函数定义域为（0，+∞），
可得f'（x）＝﹣2ax＝，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在定义域上单调递增；
当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝，
当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）由（I）得，当a≤0时，f（x）在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
当→+∞时，f（x）→﹣∞，x→0时，f（x）→﹣∞，
若函数有两个零点，则f（）＝ln﹣＞0，
解得0＜a＜，
故a的取值范围为（0，）．
21．【答案】（Ⅰ）①a2＝2，a3＝3；②见证明；
（Ⅱ）见证明．
【解答】解：（Ⅰ）①因为a4﹣a1＝3，所以当1≤n≤4，
数列{an}为递增数列，且公差为1，不能存在降低的部分，
所以a2＝a1+1＝2，a3＝a1+1×2＝3；
②若a2023＝2023，由于2023﹣1＝2022，
所以当1≤n≤2023，数列{an}为递增数列，且公差为1，不能存在降低的部分，
否则a2023达不到2023，所以其是充分条件，
若数列的公差为﹣1，a2023＝﹣2021，可见其是不必要条件，
所以”a2023＝2023”是“a1，a2，a3， ，a2023为等差数列”的充分不必要条件；
（Ⅱ）证明：假设ak＝0，k＞2，是数列第一个为0项，则ak﹣1﹣ak﹣2＝0，
所以ak﹣3＝2ak﹣2，ak﹣4＝ak﹣2或3ak﹣2，以此类推，可得（p，q为整数），显然与已知矛盾！
所以数列{an}不含等于零的项．
