2023北京铁二中高二（上）期中
数 学
2023.11
（试卷满分150分 考试时长120分钟）
第一部分（选择题共50分）
一 选择题（每题5分，计50分）
1. 直线的倾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
2. 若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交
3. 在正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ）
A. B. 3 C. D.
5. 若点与的中点为，则直线必定经过点（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A.共线 B. 共线
C. 共面 D. 不共面
7. 点关于直线的对称点坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体，点E是的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆上存在点，使得，则实数的值不可能是（ ）
A. B. 0 C. D.
第二部分（非选择题共100分）
二 填空题（每题5分，计30分）
11. 以为直径的两个端点的圆的方程是__________.
12. 到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________.
13. 已知向量，，且，则实数m的值为______．
14. 设，已知直线与直线，当和垂直时，__________；当和平行时，__________.
15. 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则实数m的值为___________.
16. 如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点，使得；
③三棱锥的体积的最大值为；
④设直线与平面所成角为，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三 解答题（共5个大题，共计70分）
17. 已知直线经过两直线与的交点，且垂直于直线.
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S.
18. 如图，在直三棱柱中，是中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且，
①求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
②求点到平面的距离.
19. 已知圆过三点.
（1）求圆的方程；
（2）设直线的斜率为，且与圆相切，求直线的方程.
20. 如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
参考答案
第一部分（选择题共50分）
一 选择题（每题5分，计50分）
1. 【答案】B
【分析】利用直线斜率与倾斜角关系计算即可.
【详解】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为.
故选：B
2. 【答案】D
【分析】
通过反证法的思想，可以判断出选项正误.
【详解】若a，b是异面直线，直线，则c与b不可能是平行直线．否则，若，则有，得出a， b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，
故选：D
3. 【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值．
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以异面直线和所成角的余弦值为．
故选：A
4. 【答案】C
【分析】根据相切，由勾股定理即可求解.
【详解】设圆心为半径为，
所以,
故，
故选：C
5. 【答案】A
【分析】根据中点公式可得，即可代入求解定点.
【详解】由题意可得，则，
所以直线方程为，
所以经过定点，
故选：A
6. 【答案】C
【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理.
【详解】若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.
故选：C
7. 【答案】B
【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可．
【详解】设点关于直线的对称点坐标为，
可得，①
斜率，②．
由①②解得：．
则点关于直线的对称点坐标为．
故选：B．
8. 【答案】D
【分析】根据空间向量的分解，线性表示方法可求解.
【详解】因为
,
所以.
故选:D.
9. 【答案】A
【分析】求出,,,设,，点到直线的距离：，由此能求出面积的取值范围．
【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，则，
点在圆上，设，，
点到直线的距离：
，
， ，
面积为：
所以面积的范围为．
故选：A．
10. 【答案】D
【分析】根据条件及两点距离公式计算M的轨迹，利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】设，由题意可知，
即是圆与圆的交点，
由两圆位置关系可知圆心距满足：，
即.
故选：D
第二部分（非选择题共100分）
二 填空题（每题5分，计30分）
11. 【答案】
【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可.
【详解】易知该圆圆心为的中点，半径，
所以该圆方程为：.
故答案为：.
12. 【答案】
【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.
【详解】因为到直线的距离不超过，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
13. 【答案】
【分析】利用向量共线的性质，直接计算求解即可.
【详解】由题意得
故答案为：
14. 【答案】 ①. ②. 1或-2
【分析】当时，有两种情况：①一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0；②两直线斜率均存在时，满足两直线斜率之积为-1；
当时，有两种情况：①两条直线斜率均不存在；②两直线斜率相等；
【详解】由题意得，
当时，或不满足题意，
所以，所以；
当时，或不满足题意，
所以，所以或
经检验，或时两直线不会重合；
故答案为：；或.
15. 【答案】9
【分析】由圆心距等于半径之和求解．
【详解】解析：圆C2的标准方程为(x3)2+（y4）2=25-m.圆C1：x2+y2=1，∴|C1C2|=5.
又∵两圆外切，∴5=1+，解得m=9.
故答案为：9．
16. 【答案】②③④
【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹；
对于②，利用垂直的性质的可判断；
对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；
对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；
【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，
由正方体性质知，，平面，平面，所以平面,又平面，，所以平面平面，
当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误；
对于②，当为线段中点时，，，
又，，故②正确；
对于③，三棱锥的体积，
又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；
对于④，连接，则与平面所成角，则，
又，所以的取值范围是，故④正确；
故正确结论的序号是①③④，
故答案为：②③④
三 解答题（共5个大题，共计70分）
17. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求两直线的交点P，再利用直线垂直的关系计算求的方程即可；
（2）根据直线方程及三角形面积公式计算即可
【小问1详解】
联立，则，
由题意可知的斜率为，所以直线的斜率为，
故直线的方程为：；
【小问2详解】
由上可知，，
即直线与坐标轴的交点分别为，
故.
18. 【答案】（1）证明见解析；
（2）；.
【分析】（1）连接交，利用中位线的性质判定线线平行，再证线面平行即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角及点面距离即可.
【小问1详解】
如图所示，连接交于F点，连接，
由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形，则是的中点，
又是中点.
则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面
【小问2详解】
由已知可得底面，，所以可以为中心建立空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，即，
①易知是平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
则；
②易知，则点到平面的距离.
19. 【答案】（1）
（2）或．
【分析】（1）利用三点坐标可根据待定系数法求解圆方程；
（2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解．
【小问1详解】
设圆的方程为，其中，
因为圆过三点，
所以，解得，
圆的方程为．
【小问2详解】
由（1）知圆是以为圆心，以为半径的圆，
设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得或，所以切线方程为或．
20. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．
【分析】（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点.
【详解】解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，
所以．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．
因为，所以两两垂直．
分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，，
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，
所以．
设直线与平面所成角为，
则．
（Ⅲ）设，
设，则，
所以，所以，
所以．
设平面的一个法向量为，则
因为，所以
令，则，所以．
在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．
因为，由，
所以，
解得，
所以线段上存在点，使得平面，且．
【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求解线面所成角的正弦值，考查线面平行的向量表示，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21.【答案】（1）（2）或（3）证明见解析，定点
【分析】
（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；
（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；
（3）设直线：，，，利用
得到的关系，从而证得结论.
【详解】（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：，，满足题意；
②存在时，设直线的方程为：，
，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
【点睛】本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.
