第三章 函数 章末检测练习
一、单选题
1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（ ）.
A． B． C． D．
2．函数的单调递增区间是
A．（-∞，0] B．（0，+∞） C．（-∞，+∞） D．[1，+∞）
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
6．已知函数，在定义域上单调递减，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数，若函数在区间（，+1）上单调递增，则实数
的取值范围是
A．（-，1 B．[1, 4]
C．4, +） D．(-,1∪[4, +）
8．已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于函数，下面几个结论中正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数的值域为 D．函数在上是增函数
11．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上有5个零点
C． D．直线是函数图象的一条对称轴
三、填空题
13．已知函数 （ ， ）在上的值域为 ，且函数 在 上是减函数，则 ．
14．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式的解集为 ．
15．若函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
16．已知，则 ．
四、解答题
17．已知函数，.
(1)当时，，则不等式的解集；
(2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
18．求值：
（1）；
（2）；
（3）函数,求满足=2的的值.
19．若不等式的解集为全体实数，求实数的求值范围.
20．若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.
(1)若在上是封闭的，求实数的取值范围；
(2)若在上是封闭的，求实数的最大值.
21．求值域(用区间表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
22．若函数
（1）化简函数的解析式，并写出它的定义域
（2）判断函数的奇偶性
（3）画出函数的图像，并写出函数的单调区间
参考答案：
1．B
【分析】利用函数的奇偶性，，即可求解，
【详解】∵是定义在R上的偶函数，∴，
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.
2．A
【详解】试题分析：二次函数对称轴为，开口向下，所以增区间为（-∞，0]
考点：二次函数性质
3．D
【分析】从函数的形式以及偶函数的定义判断函数是否是偶函数，结合函数的性质，排除选项，得到正确选项.
【详解】四个选项中的函数的定义域均为，它关于原点对称.
对于A，因为，为奇函数，故A错；
对于B，因为是偶函数，但在区间上单调递减，故B错；
对于C，因为关于对称，是非奇非偶函数，故C错；
对于D， ，所以函数是偶函数，当时，，此时函数单调递减，满足条件.
故选：D
【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的性质，属于基础题型.
4．C
【分析】根据定义域和解析式是否同时相同来判断.
【详解】A.的定于域为，的定义域为，不是同一函数；
B.的定义域为，的定于域为，不是同一函数；
C.与的定义域和解析式都相同，是同一函数；
D. 的定于域为，的定义域为，不是同一函数.
故选：C.
5．B
【解析】由已知条件分析出函数是奇函数，和是以4为周期的周期函数，再根据函数的性质将所求的函数值转化到所已知的区间内，代入可得所求的函数值.
【详解】, ,∴函数 是奇函数，
，
令 ， 则 ，，
所以函数是以4为周期的周期函数，
，
又当时，， ，
，
故选：B.
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，以及对数函数求值，关键在于根据函数的性质将所求的函数值的自变量转化到所已知的区间内，属于中档题.
6．C
【分析】先利用二次函数得出的范围，再利用分段函数的单调性求解即可.
【详解】，
在定义域上单调递减，
当时，，
对称轴为，开口向上，
则，
则实数的范围为：.
故选：C.
7．D
【详解】试题分析：由题意可知，函数在，上为单调递增，所以有或，即实数的取值范围为.故正确答案为D
考点：分段函数单调性的应用.
8．C
【详解】试题分析：由于二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值，因此函数在区间上是单调函数，二次函数对称轴为，因此；
考点：二次函数的单调性；
9．CD
【分析】根据奇函数性质判断在R上的单增，将函数不等式恒成立转化为自变量大小恒成立，分离参数，构造新函数，研究新函数的最大值，从而求得参数取值范围，再根据充分不必要条件的定义判断选项即可.
【详解】奇函数在上单调递增，则在上也单调递增，即是R上的单增函数；
，
则，，即在上恒成立；
令，
则
，
记，恒成立，即单减，
又，，
则必有，使，
故，，，，
因此，，单增，，，单减，
因此，
由代入得
，
故若使在上恒成立，则，
根据充分不必要条件的定义可以判断C、D正确，A、B错误；
故选：CD.
【点睛】方法点睛：根据单调性把函数不等式转化为自变量大小比较，分离参数，借助导数研究函数最大值，从而求得参数取值范围.
10．ACD
【分析】利用函数奇偶性的定义判断AB，利用不等式的性质判断C，利用复合函数的单调性，结合奇函数的对称性判断D，从而得解.
【详解】因为的定义域是R，
又，所以是奇函数，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确；
因为函数在上可化为，
所以奇函数在上是增函数，且在处连续，
则在其定义域内是增函数，故D正确，
故选：ACD．
11．ABC
【分析】对于A，在表达式中令结合已知即可验证；对于B，在表达式中令结合A选项分析即可验证；对于C，在表达式中令结合已知即可验证；对于D，结合B、C选项的分析即可验证.
【详解】对于A，在中令，可得，
又，所以，故A选项正确；
对于B，在中令，可得，
又由A选项分析可知，所以，
所以，由实数具有任意性，所以，故B选项正确；
对于C，在中令，结合，
故可得，所以，
由于实数具有任意性，所以，故C选项正确；
对于D，由C选项分析可知，而由B选项分析可知，
所以，故D选项错误.
故选：ABC.
12．ABC
【分析】根据条件判断出函数的周期和单调性，从而对选项一一分析即可.
【详解】对都有成立，则是以2为周期的周期函数．
当且时，有，
则在上单调递减．
由函数是定义在上的奇函数得①，又是以2为周期的周期函数，
所以②，
由①②可得，所以A正确．
由，得，为奇函数，则，
又是以2为周期的周期函数，则．
又在上单调递减且，则当时．
由为奇函数，得当时．
由是以2为周期的周期函数，
得当时，，时，
所以在上有有5个零点，故B正确；
由是以2为周期的周期函数得，故C正确；
由上可知，当时，时，
则的图象不可能关于直线对称，故D不正确．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：要把条件转化为函数的周期性，单调性，借助奇函数性质来解决问题.
13．1
【详解】分类讨论：
(1)当时，函数在区间上单调递增，则：，此时.
(2)当时，函数在区间上单调递减，
则：，此时.
则的值可能为或.
而函数在区间上单调递减，
由反比例函数的性质可得：，
据此可知：.故答案为：1
14．
【分析】依题意得到，结合的单调性求得不等式的解集.
【详解】由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，所以不等式，即为f(0)
【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
15．
【分析】由以及复合函数的单调性可得，再根据可求出结果.
【详解】因为在区间上单调递增，
所以，即，
因为，所以的最小值为.
故答案为：.
16．
【分析】先求出，从而，由此能求出结果．
【详解】，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，然后结合函数的单调性解不等式即可；
（2）先令，再根据，得到，再将有四个不同的实根可转化为有两个不等正根，再根据根与系数的关系列出不等式即可解出实数的取值范围.
【详解】（1）根据题意，当时，所以.
令，解得，
所以的定义域为，
因为 在单调递增，在单调递减，
函数为增函数，
根据复合函数的单调性可知在单调递增，在单调递减，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
（2）令，因为，
所以，当且仅当时等号成立.
因为，所以，
即有四个不同的实根，
令，可知为偶函数，图象关于轴对称，
所以有四个不同的实根可转化为有两个不等正根，
所以，即，
由可得，
因为，
即存在，使不等式成立，
故，即，解得或，
故实数的取值范围为.
18．（1）12（2）（3）或
【分析】（1）利用指数的运算性质可直接求解；
（2）利用对数的运算性质可直接求解．
（3）换元法求函数的解析式，然后根据函数值求出自变量的值．
【详解】解：（1）
（2）
（3）设，则，得
从而，解得或.
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
19．
【分析】利用绝对值不等式分段求解的方法求得的最小值，再利用恒成立问题求得实数的取值范围即可.
【详解】设,故，故.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了去绝对值求解绝对值函数的最值问题，属于基础题.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想可得结果；
（2）根据新的定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.
【详解】（1）函数开口向上，对称轴是，
当时，，
因为在上是封闭的，
则有，解得；
当时，在上为减函数，则有，解得，又，故无解；
综上，的取值范围是
（2）函数开口向上，对称轴是，
当时，，
因为在上是封闭的，则有，解得，
依题意有，解得，
所以，
当时，在上为减函数，则有，
所以，即（舍去）
综上，的最大值是.
21．(1)①[7，28]；②[3，12]
(2)
(3)(∞，1)∪(1，+∞)
【分析】（1）①②,配方后利用二次函数的性质求解即可，
（2）利用换元法求解，
（3）利用分离常数法求解
【详解】（1），
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
（2）令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（3），
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
22．（1），定义域为；（2）是奇函数；
（3）函数单调递增区间是，无单调递减区间.
【分析】（1）分类讨论去绝对值，求出分段函数的解析式，根据解析式的限制条件，可求出定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，即可得出结论；
（3）做出函数图像，即可写出函数的单调区间.
【详解】（1），
定义域为；
（2），
是奇函数；
（3）做出函数图像如下图所示：
函数单调递增区间是，无单调递减区间.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数解析式的化简、函数的定义域、函数奇偶性判断、函数的图像以及函数的单调区间，是一道较为综合的题目.
