云南省（人教版）2023-2024学年九年级数学上册期末模拟考试卷
满分100分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4x+3 B．2x2+y﹣1＝0
C．2x2﹣1＝3 D．ax2+bx+c＝0
3．在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．确定性事件
4．如果点P1（a，3）和P2（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
5．已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
6．若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜2 D．k＞2
7．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
8．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米
9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
10．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
11．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0）上，连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）
A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
14．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为 ．
15．方程ax2+x+1＝0有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转一个锐角度数得到OP，若△ACP恰好是轴对称图形，这个旋转角度为 ．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．（6分）解方程：（1）2x2﹣3x﹣2＝0；
（2）x（x﹣4）＝2（4﹣x）．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣2，2）．
（1）画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出B2的坐标．
19．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
20．（7分）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
21．（7分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与双曲线交于A、B两点，已知点B的横坐标为﹣5．
（1）求k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，过点C作CG⊥AF，交AF延长线于点G，且CG＝CE．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝12，求图中阴影部分的面积．
24．（8分）如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
云南省（人教版）2023-2024学年九年级数学上册期末模拟考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4x+3 B．2x2+y﹣1＝0
C．2x2﹣1＝3 D．ax2+bx+c＝0
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、2x﹣1＝4x+3，是一元一次方程，不符合题意；
B、2x2+y﹣1＝0，方程中含有两个未知数，不符合题意；
C、2x2﹣1＝3，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；
故选：C．
3．在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．确定性事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：对方出“剪刀”．这个事件是随机事件，
故选：B．
4．如果点P1（a，3）和P2（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列式求出a、b的值，再相加即可解得．
【解答】解：∵点P1（a，3）和P2（﹣4，b）关于原点对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
∴a+b＝4+（﹣3）＝1．
故选：A．
5．已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可．
【解答】解：∵⊙O的直径为12，
∴⊙O的半径为6，
∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与⊙O的位置关系，
故选：D．
6．若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜2 D．k＞2
【分析】先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在其每一象限内，y随x的增大而减小，
∴k+2＞0，解得k＞﹣2．
故选：B．
7．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
【分析】根据直径得出∠ACB＝90°，进而得出∠CAB＝25°，进而解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝65°，
∴∠CAB＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB＝25°，
故选：A．
8．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
∴，
∴＝，
∴BC＝×5＝3.2米．
故选：B．
9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
10．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【分析】由一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2可得x12﹣4x1＝﹣3，x1x2＝3，代入可得结果．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，
∴x1x2＝3、x12﹣4x1+3＝0即x12﹣4x1＝﹣3，
则原式＝﹣3+3＝0，
故选：A．
11．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0）上，连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）
A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
【分析】过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，依据S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，即可得到k的值．
【解答】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，
设A（k，1），B（2，k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，
∵S△ABO＝8，
∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，
即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2＝8，
解得k＝±6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：C．
12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤
【分析】根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．
【解答】解：根据图象可知：
①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；
③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；
④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；
⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．
正确的有①②⑤．故选：B．
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 9 个．
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
30×0.3＝9（个），
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
14．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为 y＝﹣2（x﹣5）2+3 ．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2先向上平移3个单位，再向右平移5个单位后，得到新的抛物线的解析式是：y＝﹣2（x﹣5）2+3；
故答案为：y＝﹣2（x﹣5）2+3．
15．方程ax2+x+1＝0有两个不等的实数根，则a的取值范围是 a＜且a≠0 ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵方程ax2+x+1＝0有两个不等的实数根，
∴，
解得：a＜且a≠0．
16．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转一个锐角度数得到OP，若△ACP恰好是轴对称图形，这个旋转角度为 50°或65°或80° ．
【分析】分三种情形讨论①如图1中，当AC＝AP时，②如图2中，当PC＝PA时，③如图3中，当CA＝CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可．
【解答】解：设旋转角为α，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠OAC＝∠ACO＝25°，∠COB＝50°，∠AOC＝130°．
①如图1中，
当AC＝AP时，
在△AOC和△AOP中，
，
∴△AOC≌△AOP（SSS），
∴∠AOC＝∠AOP＝130°，
∴α＝∠POB＝50°．
②如图2中，当PC＝PA时，同理可证△OPA≌△OPC，
∴∠POA＝∠POC＝（360°﹣∠AOC）＝115°，
∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝65°．
③如图3中，当CA＝CP时，同理可证△COA≌△COB，
∴∠COP＝∠AOC＝130°，
∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝80°
故答案为：50°或65°或80°．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．（6分）解方程：（1）2x2﹣3x﹣2＝0；
（2）x（x﹣4）＝2（4﹣x）．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵2x2﹣3x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（2x+1）＝0，
则x﹣2＝0或2x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣0.5；
（2）∵x（x﹣4）＝2（4﹣x），
∴x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣2，2）．
（1）画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出B2的坐标．
【分析】（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求：
（2）如图2，△A2B2C2即为所求，B2（3，4）．
19．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中点，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
20．（7分）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．
【解答】解：
（1）画树状图如下：
或列表如下：
1 2 3 4
0 0 0 0 0
1 1 2 3 4
3 3 6 9 12
由图（表）知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，所以，积为0的概率为．
（2）不公平．
因为由图（表）知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种．所以，积为奇数的概率为，
积为偶数的概率为．
因为，所以，该游戏不公平．
游戏规则可修改为：若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢．
21．（7分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
【分析】（1）设销售价格为x元，根据“单件利润×销售量＝总利润”列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据（1）中所列相等关系列出总利润y关于x的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，
则（x﹣20） [250﹣10（x﹣25）]＝2000，
整理，得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30，x2＝40（舍去），
答：该商品销售价是30元/件；
（2）设该商品每天的销售利润为y，
则y＝（x﹣20） [250﹣10（x﹣25）]
＝﹣10x2﹣700x+10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与双曲线交于A、B两点，已知点B的横坐标为﹣5．
（1）求k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
【分析】（1）根据点B的横坐标代入一次函数y＝x+3确定B点坐标值，再代入反比例函数即可求得；
（2）利用等面积法将△OAB的面积换为S△OAC+S△OBC，再结合点到轴的距离求得面积．
（3）利用数形结合，将不等式转化为图象交点问题，但注意反比例函数的x取值范围；
【解答】解：（1）∵B在一次函数y＝x+3上，
∴y＝﹣5+3＝﹣2，即B（﹣5，﹣2），
将点B（﹣5，﹣2）代入得：k＝﹣5×（﹣2）＝10；
（2）由（1）可知，反比例函数的解析式为，
联立，解得或，则A（2，5），
设一次函数与y轴的交点为C，则，
＝，
＝；
（3）不等式表示一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
结合函数图象得：不等式的解集为﹣5＜x＜0或x＞2．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，过点C作CG⊥AF，交AF延长线于点G，且CG＝CE．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝12，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，连接OC，先证明AC平分∠BAF得到∠BAC＝∠CAF，再证明OC∥AF，所以OC⊥CG，然后根据切线的判定方法可得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，∠CAB＝30°，则∠OCE＝30°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出CE＝3，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OAC+S扇形BOC进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB，CG⊥AG，且CE＝CG，
∴点C在∠BAF的平分线上，
即AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴OC⊥CG，
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；
（2）解：∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠OCE＝30°，
∵AB＝12，
∴OA＝OC＝6，
∴在Rt△OCE中，OE＝OC＝3，
∴CE＝OE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△OAC+S扇形BOC
＝×3×6+
＝9+6π．
24．（8分）如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），进而表示出PQ的长度，利用二次函数的最值求出即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），
则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
此时PQ的最大值为2．
