浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系（解析版）
2.3三角形的内切圆
【知识重点】
三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
【经典例题】
【例1】依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三角形内心是三角形三条角平分线的交点，
A、由作图痕迹可得作的是BC边的垂直平分线及过点C作的AB边上的垂线，故此选项不符合题意；
B、由作图痕迹可得作的是AB边的垂直平分线及以及∠BAC的角平分线，故此选项不符合题意；
C、由作图痕迹可得作的是BC、AB边的垂直平分线，故此选项不符合题意；
D、由作图痕迹可得作的是∠A及∠B的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【例2】如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【解析】∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【例3】已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】设内切圆的半径为r
：
解得：r=1
故答案为：D.
【例4】如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为 .
【答案】
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8 x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2 AD2＝BC2 CD2，
∴32 x2＝72 （8 x）2，
解得：x＝ ，
∴AD＝ ，
∴BD＝
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵S△ABC＝ AC BD＝ (AC＋BC＋AB) IE，
∴ ，
∴IE＝ ，
∴△ABC的内切圆I的半径为 .
故答案为： .
【例5】如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
【答案】2
【解析】 ， ，
，
，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
【例6】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）解：连接OD，OF
在Rt△ABC，∠C=90 ，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥AC，OF⊥BC
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∵OD=OF，
∴四边形OFCD是正方形
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=(AC+BC AB)；
∴r=(12+9 15)=3
∴⊙O的半径r为3cm
（2）解：当AC=b，BC=a，AB=c时
由（1）的解答过程可知
CD=CF=(AC+BC AB)
即：r=(a+b c).
∴O的半径r为：(a+b c)
【基础训练】
1．如图，等边三角形内接于大，小是等边三角形的内切圆，随意向大内部区域抛一个小球，则小球落在小内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，过O作于D，
依题意，O是的内心和外心，
平分，
又
，
，
，
小球落在小内部（阴影）区域的概率为：
，
故答案为：B.
2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】连接IF，IE，
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠A+∠FIE=360°-∠AFI-∠AEI
∴∠FIE=360°-50°-90°-90°=130°，
∵
∴∠EFD=∠FIE=65°.
故答案为：C.
3．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】D
【解析】如图
设AD=x，则BD=8 x，
∵圆O是△ABC内切圆，
∴AD=AF=x，BD=BE=8 x.
∵∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF，
∴四边形OECF为正方形。
∴CE=CF=1.
∴这个三角形周长：2x+2(8 x)+2=18.
故答案为：D
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
【答案】C
【解析】由CD为AB边上的高，得∠ADC=90°，那么∠DAC+∠ACD=90°；由I为△ACD的内切圆圆心，得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，∴∠IAC+∠ICA=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI，∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°
5．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
【答案】B
【解析】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2倍，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故答案为：B.
6．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ．
【答案】110°
【解析】∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠B＝180° 50° 60°＝70°，
∵E，D是切点，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360° 90° 90° 70°＝110°．
故答案为：110°．
7．一个边长为3cm的正它有一个外接圆⊙O，我们记为第1个圆，它的内切圆记为第2个圆；在第2个圆内作一个内接正△的内切圆，记为第3个圆；在第3个圆内作一个内接正△的内切圆，记为第4个圆，…，如此作下去，那么第2022个圆的半径是 cm
【答案】
【解析】如图，
设第二个三角形为DEF，正三角形ABC中心为O，连接OB，OF，
∵正三角形的中心与内切圆的圆心重合，
∴点D、E、F为边AB、AC、BC的中点，
由三角形的中位线可得：DE=DF=EF=BC，
同理可得：下一个正三角形的边长是上一个正三角形边长的一半；
∴第2022个正三角形的边长为：3×cm，
由图可得cos∠OBF==cos30°=，OB=BF=BC，
∴第2022个正三角形的外接圆半径为：×3×=cm，
故答案为：.
8．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm
【答案】1
【解析】因为斜边= =5，内切圆半径r= =1；
所以r=1.故填1.
会利用勾股定理进行计算.其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.
9．已知△ABC的周长为24，面积为48，则它的内切圆的半径为 ．
【答案】4
【解析】设三角形的内切圆的半径为r，三边长分别为a、b、c．
由题意 ，
解得r=4．
故答案为4；
10．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
11．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
12．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F.
（1）比较EF与AE+BF的大小关系；
（2）若AE=5，BF=3，求EF的长.
【答案】（1）解： 连结OA，OB，∵点O是△ABC的内心，
∴AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF.
（2）解：由AE=5，BF=3，得EF=AE+BF=5+3=8
【培优训练】
13．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故答案为：B．
14．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：
①∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°；②S=l r；③2∠EDF＝∠A＋∠C；④2(AD＋CF＋BE)＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【解析】连接OD、OE、OF、AO、BO、CO
∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，故①正确；
故②正确；
∴在四边形BFOE中有
故③正确；
⊙O是△ABC的内切圆
∴AD=AE，BE=BF，CD=CF
∴2(AD＋CF＋BE)＝l
故④正确.
故答案为：A.
16．等腰三角形的底边长为，腰长为，该等腰三角形内心和外心的距离为 .
【答案】
【解析】作如图所示等腰及底边的中线，
是等腰三角形，
外心E、内心F均在上，垂直平分，
∴，，
连接，
由外心的定义可知，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
由内心的定义，运用等面积法可知，
，
求得，
，
该等腰三角形内心和外心的距离为.
故答案为：.
17．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
【答案】289
【解析】设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为.
故答案为：289.
18．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
【答案】15
【解析】∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x,
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82,
整理得，x2+8x-5=0,
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
19．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BIC=140°，则∠BOC= °．
【答案】160
【解析】∵点I为△ABC的内心，
∴∠IAB+∠IBA= （∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=100°
∵点O为△ABC的外心，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．
∴∠D=180°﹣∠A=80°，
∴∠BOC=2∠D=160°．
故答案为160．
20．如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB= °
【答案】135
【解析】如图．连接CO，并延长AO到BC上一点F，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°；
又∵O为△ACD的内切圆圆心，
∴AO、CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，
∴∠AOC=135°；
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠AOB=∠AOC=135°．
故答案为：135．
21．如图， 中， ， 边上有一点P（不与点 重合），I为 的内心，若 的取值范围为 ，则 .
【答案】265°
【解析】设 ，则 ，
则 ，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：265°.
22．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求证：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．
【答案】解：（1）∵BC与圆相切，∴∠PFD=∠PDC．∵BF、BD分别于圆相切，∴∠BFD=∠BDF=45°．∴∠FPD=45°．∵PC⊥PF，∴∠FPD=∠DPC．故PD平分∠FPC；（2））∵AE、AF与圆相切，∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，∴，∴，∴．∵∠EPD=∠EDC，∴△EPD∽△EDC，∴△EPD也是等腰三角形，∴∠PED=∠EPD=∠EDC，∴PE∥BC．
23．已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
【答案】（1）证明：如图①中，连接BI.
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心.
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴
∵DB＝DI，
∴
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心.
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝ ∠BAC＝60°，
∴IH＝ AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝ ，即直径为 ，
∴AI的最大值为 -8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 .
24．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，点D为优弧上一点（不与B，C重合），连接AD，CD，AD交BC于点E， △ACD的内心F恰好落在BC上．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接AF，求证：AB＝BF；
（3）若BE＝4，CE＝5，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，点F为△ACD的内心，
∴∠B＝∠ACB，∠ACB＝∠DCB，∴∠B＝∠DCB，
∴AB∥CD
（2）证明：∵点F为△ACD的内心，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵，∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＝∠BCA，∴∠BAD+∠DAF＝∠BCA+∠CAF，
即∠BAF＝∠BFA，
∴AB＝BF
（3）解：∵∠BAD＝∠BCA，∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BCA， ∴，
∴，
∵BE＝4，CE＝5，
∴BC＝BE+CE＝4+5=9，∴，∴，（负值舍去）
由（2）知AB＝BF，
∴，
∴．
【直击中考】
25．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【答案】B
【解析】连接OE，OF，
∵点EF分别是切点，∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=120°，
∴∠P=∠EOF=60°.
故答案为：B.
26．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 ．
【答案】70°
【解析】∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系
2.3三角形的内切圆
【知识重点】
三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
【经典例题】
【例1】依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【例3】已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例4】如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为 .
【例5】如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
【例6】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【基础训练】
1．如图，等边三角形内接于大，小是等边三角形的内切圆，随意向大内部区域抛一个小球，则小球落在小内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
5．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
6．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ．
7．一个边长为3cm的正它有一个外接圆⊙O，我们记为第1个圆，它的内切圆记为第2个圆；在第2个圆内作一个内接正△的内切圆，记为第3个圆；在第3个圆内作一个内接正△的内切圆，记为第4个圆，…，如此作下去，那么第2022个圆的半径是 cm
8．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm
9．已知△ABC的周长为24，面积为48，则它的内切圆的半径为 ．
10．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
11．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
12．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F.
（1）比较EF与AE+BF的大小关系；
（2）若AE=5，BF=3，求EF的长.
【培优训练】
13．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，则下列等式：
①∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°；②S=l r；③2∠EDF＝∠A＋∠C；④2(AD＋CF＋BE)＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
16．等腰三角形的底边长为，腰长为，该等腰三角形内心和外心的距离为 .
17．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
18．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
19．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BIC=140°，则∠BOC= °．
20．如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB= °
21．如图， 中， ， 边上有一点P（不与点 重合），I为 的内心，若 的取值范围为 ，则 .
22．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求证：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．
23．已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
24．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，点D为优弧上一点（不与B，C重合），连接AD，CD，AD交BC于点E， △ACD的内心F恰好落在BC上．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接AF，求证：AB＝BF；
（3）若BE＝4，CE＝5，求CF的长．
【直击中考】
25．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
26．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 ．
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