2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第二部分 29套单元达标检测试卷
24 圆单元达标检测试卷
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. （2023湖北宜昌）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
∵
∴点为的中点，
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
2.（2023河南） 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接根据圆周角定理即可得．
∵，
∴由圆周角定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
3. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
【答案】C
【解析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
4. 如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A B. 4 C. 6 D.
【答案】A
【解析】【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
5. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．
∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则，故选B．
【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．
6. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7. （2023湖北十堰） 如图，已知点C为圆锥母线中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】连接，如图所示，
∵为底面圆的直径，，
设半径为r,
∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，
∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，
解得：，
∴，
∵半径，
∴是等边三角形，
在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
8. （2023山东滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答.
【详解】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和；
故选：C.
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.
9.（2023湖北鄂州） 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】如图所示，连接，，作交于点
∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10. （2023湖北十堰）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为( )
A. B. 7 C. 8 D.
【答案】B
【解析】【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长．
【详解】作于点M，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠，
∴， ，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.（2023山东东营） “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是________寸．
【答案】26
【解析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．
【详解】连接，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
（寸）．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
2. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
【答案】7
【解析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
如图，连接，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
3. （2023深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则______°．
【答案】35
【解析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为35．
【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
4.（2023湖南株洲） 如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则_______度．
【答案】
【解析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．
在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．
5.（2023河南） 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可．
如图，连接，
∵与相切于点A，
∴；
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得，
故的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
6. （2023黑龙江绥化） 如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）
【答案】
【解析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解．
如图所示，连接，设交于点
∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，
∴，
又
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴,
∴阴影部分面积
故答案为：．
7. （2023湖南永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．
【答案】60
【解析】根据扇形的面积公式即可求出答案．
设扇形圆心角的度数为，
，
扇形的半径为6，
．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ．
8. （2023湖南邵阳）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________．
【答案】
【解析】证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．
9. （2023湖南邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为_____．（结果保留）
【答案】
【解析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．
【详解】帽子底面圆周长为：，
则扇形弧长为， 扇形面积
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键．
10. （2023山东菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
由题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （10分） （2023贵州省） 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）、、、；；
（2）证明见详解； （3）四边形是菱形；
【解析】【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案；
（2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明；
（3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明；
【详解】（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴是的角平分线，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴的角有：、、、，
∵是的角平分线，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
故答案为：、、、，；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．
2. （10分）（2023黑龙江绥化） 已知：点是外一点．
（1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）如图所示，
①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3. （10分）如图，⊙中，直径与弦相交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求⊙的半径．
【答案】（1）证明见解析 （2）⊙的半径为3
【解析】【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明；
（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．
【详解】（1）证明：在⊙中，
∵，
∴，
又∵,
∴．
（2）解：∵，
由（1）可知，，
∵直径，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
即⊙的半径为3．
【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
4.（10分）（2023湖北随州）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，①求的半径；②求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①3；②2
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径；
②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）①如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．
5.（10分）（2023湖北黄冈） 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；
（2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵以为直径的交于点，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6.（10分）（2023湖北荆州） 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：
①是切线；
②；
（2）若，，求．
【答案】（1）①见解析，②见解析 （2）
【解析】【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证；
②连接，根据等弧所对圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证；
（2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解．
【详解】（1）证明：①四边形是菱形，
，
，则
又为的半径的外端点，
是的切线．
②连接，
∵
∴
为直径，
，
而
，
又
．
（2）连接交于．
菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
由得：，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第二部分 29套单元达标检测试卷
24 圆单元达标检测试卷
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. （2023湖北宜昌）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2.（2023河南） 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
4. 如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A B. 4 C. 6 D.
5. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. C. 3 D.
7. （2023湖北十堰） 如图，已知点C为圆锥母线中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A. 5 B. C. D.
8. （2023山东滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
9.（2023湖北鄂州） 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. （2023湖北十堰）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为( )
A. B. 7 C. 8 D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.（2023山东东营） “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是________寸．
2. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
3. （2023深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则______°．
4.（2023湖南株洲） 如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则_______度．
5.（2023河南） 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______．
6. （2023黑龙江绥化） 如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）
7. （2023湖南永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．
8. （2023湖南邵阳）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________．
9. （2023湖南邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为_____．（结果保留）
10. （2023山东菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （10分） （2023贵州省） 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
2. （10分）（2023黑龙江绥化） 已知：点是外一点．
（1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
3. （10分）如图，⊙中，直径与弦相交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求⊙的半径．
4.（10分）（2023湖北随州）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，①求的半径；②求线段的长．
5.（10分）（2023湖北黄冈） 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
6.（10分）（2023湖北荆州） 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：
①是切线；
②；
（2）若，，求．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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