湘教版2023-2024八年级上期末模拟试题3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
若＝0，则x的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
下列命题是真命题的是（ ）
A． 两直线平行，同旁内角相等
B． 三角形的一个外角大于任何一个内角
C． 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三边的距离相等
D． 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
下列计算正确的是（）
A．2+4=6 B．=4 C． ÷=3 D．=﹣3
一元一次不等式组的解是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2
若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．5 B． 7 C． 5或7 D． 6
若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1且a≠﹣2
B．a＜0且a≠﹣2
C．a＜﹣2且a≠﹣3
D．a＜﹣1且a≠﹣3
小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于
A． B． C． D．
下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )．
A．① B．② C．③ D．④
如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
1 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
若分式的值为0，则x的值等于_________________．
不等式的解集是______．
要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
如图，在中.是的平分线.为上一点，于点.若，，则的度数为__________．
任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为 ．9
庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1=+++…++…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
先化简，再求值：，其中a=2．
已知关于的方程组的解都为正数，
（1）用含有的式子分别表示；
（2）求的取值范围．
如图，在中，、分别是上两点，且，求证：.
为迎接“七 一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若点的坐标分别是
（1）画出关于轴对称的图形
（2）尺规作图：请在轴上找一点，使它到两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：
(1)求A，B两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.
答案解析
1 、选择题
【考点】非负数的性质：算术平方根,解一元一次方程
【分析】利用算术平方根性质确定出x的值即可.
解：∵＝0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1，
则x的值是1．
故选：C.
【点评】此题考查算术平方根的性质的应用，解一元一次方程，正确理解算术平方根的性质得到x﹣1＝0是解题的关键.
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据三角形外角性质对B进行判断；根据三角形外心的性质对C进行判断；根据三角形全等的判定方法对D进行判断．
解：A．两直线平行，同旁内角互补，所以A选项错误；
B、三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的一个内角，所以B选项错误；
C、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等，所以C选项错误；
D、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键．
【考点】实数的运算．
【分析】A．根据合并二次根式的法则即可判定；
B、根据二次根式的乘法法则即可判定；
C、根据二次根式的除法法则即可判定；
D、根据二次根式的性质即可判定．
解：A．2+4不是同类项不能合并，故A选项错误；
B、=2，故B选项错误；
C、÷=3，故C选项正确；
D、=3，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
【考点】 解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到的原则是解答此题的关键
【考点】三角形三边关系、等腰三角形的性质
【分析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当3为底时，其它两边都为1，
∵1+1＜3，
∴不能构成三角形，故舍去，
当3为腰时，
其它两边为3和1，
3、3、1可以构成三角形，
周长为7．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【考点】分式方程的解，解一元一次不等式．
【分析】求出分式方程的解，按照解为负数列出不等式进行计算即可得出a的取值范围．
解：方程两侧同乘（x+2）得，a＝x+2﹣3，
∴x＝a+1，
∵解为负数，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1，
要是分式有意义，x≠﹣2，即a+1≠﹣2，
∴a≠﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了求分式方程的解以及一次不等式的解集，分式有意义的条件是本题考查的重点．
【考点】三角形的内角和定理，三角形外角性质
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．
解：如图：
，，
，，
，
故选：C．【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．
【考点】分式的加减
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
解：
．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点】角平分线的性质，平行线的性质
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
1 、填空题
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
【考点】解一元一次不等式
【分析】根据不等式的性质移项，合并同类项，系数化为一即可．
解：
故答案为
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
解：由题意知，，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
【考点】三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义
【分析】先求出∠ADB的度数，继而根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAC的度数，进而根据三角形内角和定理求解即可得．
解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD=90°，
又∵∠DEF=15°，
∴∠ADB=90°-∠DEF=90°-15°=75°，
∵∠C=35°，∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠CAD=75°-35°=40°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠CAD=80°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等知识，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】①根据规律依次求出即可；
②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
解：①[]=9，[]=3，[]=1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[]=15，[]=3，[]=1，而[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用,主要考查学生的阅读能力和猜想能力
【考点】角平分线的性质，中线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【分析】根据题意得到，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
由三角形三边关系可知，
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【考点】等腰三角形的性质；解二元一次方程组．
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
解：解方程组得
所以，等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，求得S△ACC1=；进而得到=×，=×（）2，=×（）3，根据规律可知=×（）n﹣1，再根据S△ABC=AC×BC=×2×2=2，即可得到等式．
解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，
∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2，
∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，
∴S△ACC1= AC1 CC1=×1×=；
∵C1C2⊥BC，
∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，
∴CC2=CC1=，C1C2=CC2=，
∴= CC2 C1C2=××=×，
同理可得，
=×（）2，
=×（）3，
…
∴=×（）n﹣1，
又∵S△ABC=AC×BC=×2×2=2，
∴2=+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…
∴2=．
故答案为：2=．
【点评】 本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
1 、解答题
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．
【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
解：原式=﹣+2﹣﹣2
=﹣2﹣
=﹣3
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值的代入进行计
算即可
解：
=
=
=
当a=2时，原式===4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【考点】解二元一次方程组，解一元一次不等式组
【分析】（1）利用加减消元法即可得到的式子分别表示,y；
（2）根据方程组的解为正数得到不等式组，求出其解集即可．
解：（1）由①+②得：
∴
由①-②得：
∴
故用含有的式子分别表示为：，
（2）∵方程组的解为正数，即可得
由③得：
由④得：
解集为：，
∴的取值范围是：．
【点评】此题主要考查二元一次方程组与不等式组的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．
【考点】全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【分析】如图，取DE的中点O，连结AO并延长至点F，使，连结EF、CF，证明，从而可得AD=EF，同理可得AB=CF，延长AE交CF于点G，在中，根据三角形三边关系可得到，在中，，继而通过推导即可得出答案.
解：如图，取DE的中点O，连结AO并延长至点F，使，连结EF、CF，
，，，
，
，
同理可证：，
延长AE交CF于点G，
在中，，即，①
在中，，②
①+②得，，
即，
.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的座位数比小客车多15个以及师生共301人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为310+40，进而得出不等式求出答案．
解：（1）设每辆小客车的座位数是x个，每辆大客车的座位数是y个，根据题意可得：
，
解得：．
答：每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
25a+40（10﹣a）≥310+40，
解得：a≤3，
符合条件的a最大整数为3．
答：最多租用小客车3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．
【考点】作图-轴对称变换，线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据垂直平分线的性质作图即可．
解：（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，点即为所求，
【点评】本题主要考查作图-轴对称变换，线段垂直平分线的尺规作图及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，并据此得出变换后的对应点．
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用
【分析】（1）设B种防疫用品成本x元/箱，A种防疫用品成本元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；
（2）设B种防疫用品生产m箱，A种防疫用品生产箱，根据题意列得不等式解得即可；
（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a，b台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．
解：(1)设B种防疫用品成本x元/箱，A种防疫用品成本元/箱，
由题意，得，
解得x＝1 500，
检验：当x＝1 500时，，所以x＝1500是原分式方程的解，
（元/箱），
答：A种防疫用品2000元/箱，B种防疫用品1500元/箱；
(2)设B种防疫用品生产m箱，A种防疫用品生产箱，
，解得，
∵B种防疫用品不超过25箱，
∴，
∵m为正整数，
∴m＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；
(3)设生产A和B两种防疫用品费用为w，
w=1500m+2000（50-m）=-500m+100000，
∵k<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w取得最小值，此时w=87500，
设购进甲和乙两种设备分别为a，b台，
∴2500a+3500b=87500，
∴，
∵两种设备都买，
∴a，b都为正整数，
∴，，，，
∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．
【点评】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．
解：（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE=AD，
故答案为：CD=AD
（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD，
∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，
∴CD=DE=AD.
（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠FAD=∠BED．
在△DAF和△DEG中，，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED．
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=40+∠EDC，
∴∠EDC=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=CE，
∴AD=CE．
∵BC=BE+CE，
∴BC=BD+AD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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