2023北京北师大二附中高一 6月月考
数 学
一、选择题（每小题 4分，共 10小题）
1．sin ＝（ ）
A． B． C． D．
2．“直线 l不在平面 α 内”用数学符号表示为（ ）
A．l α B．l α C．l∈α D．l α
3．在复平面内，复数 z对应的点 Z如图所示，则复数 ＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
4．若 a和 b是异面直线，a和 c是平行直线，则 b和 c的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．异面或相交 D．相交、平行或异面
5．已知复数 z＝2+i，则|z|＝（ ）
A． B． C．3 D．5
6．下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
7．在△ABC中，若 b＝2acosC，且 ，则 A＝（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，记| |＝c，| |＝a， |＝b，将等式 2＝（ + ）2右边展开，整理得（ ）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B．b2＝a2+c2﹣2accosB
C．c2＝a2+b2﹣2abcosC D．b2＝a2+c2﹣2acsinB
9．在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．对 24 小时内降水在平地上积水厚度（mm）进行如下定义．
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0～10 10～25 25～50 50～100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
二、填空题（每小题 5分，共 6小题）
11．（5 分）cos15°＝ ．
12．（5 分）在复数范围内方程 x2﹣2x+3＝0 的解集是 ．
13．（5 分）向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 cos＜ ， ＞＝ ．
14．（5 分）已知正四棱锥的高为 4，侧面积为 4 ，则该棱锥的侧棱长为 ．
15．（5 分）在平面直角坐标系 xOy中，A（1，0），B（0，2），点 P在线段 AB上运动，则 的取值范
围为 ．
16．（5 分）若四面体各棱的长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能
是 ．（只需写出一个可能的值）
三、解答题（共 2小题）
17．（15 分）已知向量 ＝（sinx，cosx）， ＝（cosx，﹣cosx），设函数 f（x）＝ （ + ）．
（1）求 f（x）的最小正周期；
（2）求 f（x）的单调增区间；
（3）若函数 g（x）＝f（x）﹣k， ，其中 k∈R，试讨论函数 g（x）的零点个数．
18．（15 分）在△ABC中，三内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ，A＝60°．
（1）若 ，求 BC边上的高；
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（2）若 b+c＝5，求△ABC的面积；
（3）求△ABC周长的最大值．
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参考答案
一、选择题（每小题 4分，共 10小题）
1．【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可．
【解答】解： ．
故选：B．
2．【答案】B
【分析】利用直线与平面的位置关系的数学符号直接表示．
【解答】解：“直线 l不在平面 α 内”用数学符号表示为：l α．
故选：B．
3．【答案】B
【分析】由图可得 z，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由图可知，点 Z对应的复数 z＝2+i，
则 ，
故选：B．
4．【答案】C
【分析】借助正方体模型，找出三条直线 a，b，c，符合题意，判断 b，c的位置关系．
【解答】解：考虑正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中，直线 AB看作直线 a，直线 B'C'看作直线 b，
即直线 a和直线 b是异面直线，
若直线 CD看作直线 c，可得 a，c平行，则 b，c异面；
若直线 A'B'看作直线 c，可得 a，c平行，则 b，c相交．
若 b，c平行，由 a，c平行，可得 a，b平行，这与 a，b异面矛盾，故 b，c不平行．
故选：C．
5．【答案】B
【分析】根据已知条件，直接求出 z的模．
【解答】解：∵复数 z＝2+i，
∴|z|＝ ．
故选：B．
6．【答案】B
【分析】根据两边和大于第三边定理可判断选项 A不构成三角形；根据大角对大边和余弦定理可判断出
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B 选项正确，D 选项的三边构成锐角三角形；选项 C 的三边构成直角三角形，然后即可得出正确的选项．
【解答】解：∵1+2＝3，∴这三边不能构成三角形，A错误；
∵22+32﹣42＝﹣3＜0，∴这三边能构成钝角三角形，B正确；
∵32+42＝52，∴这三边构成直角三角形，C错误；
∵42+52﹣62＝16+25﹣36＝5＞0，∴这三边构成锐角三角形，D错误．
故选：B．
7．【答案】B
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，若 b＝2acosC，
利用正弦定理：sinB＝2sinAcosC，
整理得：sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC，
化简得：sin（A﹣C）＝0，
故 A＝C或 A＝π+C（舍去），
由于 ，
所以 A＝C＝ ．
故选：B．
8．【答案】B
【分析】将等式 2＝（ + ）2 右边展开，则 （π﹣B），化简即
可得解．
【解答】解：在△ABC中，记| |＝c，| |＝a， |＝b，
将等式 2＝（ + ）2右边展开，
则 （π﹣B），
即 b2＝a2+c2﹣2accosB，
故选：B．
9．【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．
【解答】解：若 B为钝角，A为锐角，则 sinA＞0，cosB＜0，
则满足 sinA＞cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，
若△ABC为锐角三角形，则 A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即 π﹣A﹣B＜ ，即 A+B＞ ，B＞ ﹣A，
则 cosB＜cos（ ﹣A），
即 cosB＜sinA，
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故“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，
故选：B．
10．【答案】B
【分析】由圆锥的体积公式求出雨水的体积，再除以圆面的面积，即可求解．
【解答】解：设圆锥形容器中积水水面半径为 r，
则 ，解得 r＝50，
所以积水厚度为 ∈（10，25），
故这一天的雨水属于中雨．
故选：B．
二、填空题（每小题 5分，共 6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】把所求式子中的 15°角变形为 45°﹣30°，然后利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角
函数值即可求出值．
【解答】解：cos15°＝cos（45°﹣30°）
＝cos45°cos30°+sin45°sin30°
＝ × + ×
＝ ．
故答案为：
12．【答案】 ．
【分析】化简方程为（x﹣1）2＝﹣2，得到 ，即可求解．
【解答】解：由方程 x2﹣2x+3＝0，可得（x﹣1）2＝﹣2，所以 ，
所以在复数范围内方程 x2﹣2x+3＝0 的解集为 ．
故答案为： ．
13．【答案】﹣ ．
【分析】根据题意，设正方形网格的边长为 1，建立坐标系，表示出 、 的坐标，进而求出 、 的模
以及 的值，由此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设正方形网格的边长为 1，如图建立坐标系，
则 ＝（3，1）， ＝（﹣1，﹣2），
故| |＝ ＝ ，| |＝ ＝ ， ＝﹣3﹣2＝﹣5，
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故 cos＜ ， ＞＝ ＝﹣ ；
故答案为：﹣ ．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为 a，由侧面积列式求得 a值，进一步求得侧棱长．
【解答】解：如图，
设正四棱锥 P﹣ABCD的底面边长为 a，底面中心为 O，取 BC的中点 M，
连接 OM，PM，则 OM＝ ，斜高 PM＝ ＝ ．
∴该棱锥的侧面积 S＝ ，
解得 a2＝4．
又 OB＝ ，∴该棱锥的侧棱长为 ．
故答案为： ．
15．【答案】[﹣ ，4]．
【分析】画出图形，设出 P的坐标，表示出向量的数量积，然后求解范围即可．
【解答】解：由题意可知，线段 AB满足 ，x∈[0，1]，
设 P（x，y），所以 y＝2（1﹣x），
则 ＝（x，y） （x﹣1，y）＝x2﹣x+y2＝x2﹣x+4x2﹣8x+4
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＝5x2﹣9x+4，二次函数的对称轴为 x＝ ∈[0，1]，
所以 5x2﹣9x+4 在[0，1]的最大值为：f（0）＝4，
最小值为：f（ ）＝5（ ）2﹣9× +4＝﹣ ．
所以 的取值范围为：[﹣ ，4]．
故答案为：[﹣ ，4]．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意画出一种满足条件的图形，求解表面积即可得答案．
【解答】解：由四面体各棱的长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，
如图，可取三条侧棱长均为 2，底面边长 BC＝BD＝2，CD＝1．
其表面积为 ＝ ．
故其表面积的一个可能值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（共 2小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角
的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期．
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（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．
（3）求出函数在 时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个
数．
【解答】解：（1）函数 f（x）＝ （ + ）＝（sinx，cosx） （sinx+cosx，0）
＝sin2x+sinxcosx＝ + ＝ ．
所以函数的最小正周期为：π．
（2） 因 为 函 数 ， 由 ， 即
，
所以函数的单调增区间为： ．
（3） ， ，所以 ，
，
函数 g（x）＝f（x）﹣k＝ ﹣k， ，其中 k∈R，
当 k＜0 或 时，零点为 0 个；
当 时函数有两个零点，
当 或 0≤k＜1 时，函数有一个零点；
18．【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【分析】（1）先求得三角形 ABC的面积，然后利用等面积法求得 BC边上的高．
（2）结合余弦定理求得 bc，由此求得三角形 ABC的面积．
（3）结合余弦定理以及基本不等式求得 b+c的最大值，由此求得三角形 ABC周长的最大值．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ，
设 BC边上的高为 h，则 ，
∴ ．
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（2）∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝7，
∵b+c＝5，∴b2+c2+2bc＝25，
∴3bc＝18，∴bc＝6，
∴ ＝ ＝ ．
（3）∵ ，A＝60°，∴ ，∴b2+c2﹣bc＝7，
∴（b+c）2﹣3bc＝7，∴（b+c）2＝3bc+7，
∵b＞0，c＞0，
∴ ，当且仅当 b＝c时，等号成立．
则 ，∴ ，∴ ，
当且仅当 时， ，
此时周长 a+b+c的最大值等于 ．
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