九年级数学独立作业
亲爱的同学：
欢迎你参加考试！现在，请仔细阅读以下注意事项：
1．本试卷共4页，共有24小题．
2．本试卷满分120分．考试时间120分钟，请安排好时间．
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在试卷和草稿纸上均无效．
做题时，请认真审题，细心答题．祝你成功！
卷 Ⅰ
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．一个不透明的袋子里装有3个红球2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的半径为4，点在内，则的长可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．如图，已知中，，以点为中心，按顺时针旋转得到，点恰好在上．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知圆心角为的扇形面积为，那么扇形的弧长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
6．如图，点在的边上，．则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ）
… 0.6 0.7 0.8 0.9 1 …
… 0.24 0.61 1 …
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，对角线交于点，延长交于点．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线与轴交于点，点的横坐标1，点，点是该抛物线上一点，则下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②；③若，则；④若，则或．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，是的直径，，点是圆上不与重合的点，平分，交于平分，交于点．则以下说法：①点是的中点；②；③的最大值为18；④的最大值为．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
卷 Ⅱ
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．掷一枚均匀的硬币，前6次朝上的面次数为：反4次，正2次，则接下来第7次反面朝上的概率是 ．
12．如图，点在以为直径的半圆上，若，则的长是 ．
13．将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到新的二次函数表达式为 ．
14．如图，在中，点分别在边上，．若，则 ．
15．如图，在中，，将绕点按逆顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则的度数为 度．
16．如图，在以为直径的中，，弦，D是的中点．则的周长为 ．
三、解答题：本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知：线段，根据以下条件回答问题．
(1)若是的比例中项线段，求的长．
(2)若，求的长．
18．将分别标有数字的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
(1)随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
(2)随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是3的倍数的概率．
19．已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．
(1)求证：．
(2)若的面积为15，求的面积．
20．已知二次函数的图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)当时，求的取值范围．
21．如图，在中，，矩形的顶点在边上，点分别在边上．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
22．如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知．
(1)求的半径．
(2)若，求的长．
23．已知二次函数（是常数）．
(1)用含的代数式表示该二次函数的顶点坐标．
(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围．
(3)当时，该函数有最小值，求的值．
24．如图，在中，，过点作，连接，的外接圆交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，记．
①请写出关于的函数表达式．
②当，则面积的取值范围是______．
答案与解析
1．A
【分析】将x=0代入抛物线解析式，求出相应的y的值，即可得到抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标．
【详解】解：∵抛物线y=x2-1，
∴当x=0时，y=-1，
即抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是（0，-1），
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是x=0时y的值．
2．A
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用黑球的数量除以球的总数即可得到答案．
【详解】解；∵一个不透明的袋子里装有3个红球2个黑球且每个球被摸出的概率相同，
∴从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为，
故选A．
3．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为4，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点A在外；当时，点A在上；当时，点A在内，然后对各选项进行判断．
【详解】解：的半径为4，
A.，点A在内，故选项A符合题意；
B. ，点A在上，故选项B不符合题意；
C.，点A在外，故选项C不符合题意；
D.，点A在外，故选项C不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质，由勾股定理可得，由旋转的性质可得：，即可得出答案，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，，，
，
由旋转的性质可得：，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，弧长公式，设扇形半径为，根据扇形面积公式得出，求出，再利用弧长公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：设扇形半径为，
由题意得：，
解得：，
扇形的弧长为，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，根据可推出，，则，再由可得，即可推出，则，，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
根据现有条件无法证明，，
∴四个选项中，只有D选项中的结论正确，
故选D．
7．B
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
【详解】解：解：由表格知，当时，；
当时，；
∴一元二次方程的一个近似解的范围为．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理可得出结论．
【详解】解：A．∵，∴，故选项A不符合题意；
B．∵，∴，故选项B不符合题意；
C. ∵
∴，
又
∴,故选项C不符合题意；
D.无法证明，故选项D符合题意．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可得抛物线的对称轴为，即可判断①；将代入得：，即可判断②；由抛物线的开口方向及对称轴即可判断③；由抛物线的对称性及增减性即可判断④，从而得到答案，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意；
点的横坐标1，
，
将代入得：，
解得：，故②正确，符合题意；
由图象可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，二次函数有最小值，此时，
抛物线与轴交于点，点的横坐标1，
由抛物线的对称性可得：点的横坐标为，
，
若，则，故③错误，不符合题意；
，
由对称性可得：关于对称轴对称的点为，
由图象可得，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
若，则或，故④正确，符合题意；
综上所述，说法正确的有①②④，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，由平分可得，再由圆周角定理即可判断①；由①可得，由角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明，得到，即可判断②；由是的直径，得到，由勾股定理得到，再由，即可判断③；由即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：平分，
，
，
点是的中点，故①正确，符合题意；
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，故②正确，符合题意；
是的直径，
，
，
，，
，
，
，即的最大值为18，故③正确，符合题意；
，
，即的最大值为，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③④，共个，
故选：D．
11．##
【分析】本题考查了概率公式求概率，投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：反面朝上或者反面朝下，而且机会相同．
【详解】掷一枚均匀的硬币，反面朝上的概率是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了弧长公式、圆周角定理，由圆周角定理可得，再根据弧长公式计算即可，熟练掌握弧长公式、圆周角定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
的长是，
故答案为：．
13．##
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】解：将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，，得到的抛物线的表达式为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由可得，由得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．50
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，则，由三角形内角和定理可得．
【详解】解：根据旋转有：，
∴，，
∵，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：50．
16．
【分析】本题考查了垂直平分线及勾股定理的运用,构造直角三角形是解题的关键．
连接半径、，根据D是的中点得，根据全等三角形定理判定，得平分,延长，交于点Ｅ，根据是等腰三角形可得是的垂直平分线，根据勾股定理在中可证长度、可证长度,根据为半径，得出的长度，在可证，根据即可求出的周长．
【详解】解：如图所示，
连接、并延长交于点E，
D是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是直径，
，
在中，
，
,
，
在中，
，
，
在中，
，
，
的周长为：
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查比例的性质：
（1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段c的长．
（2）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值；
【详解】（1）解：
的长是．
（2）解：设．
，
，
解得
．
18．(1)
(2)见解析，
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：中，奇数有，共个，
随机抽取一张，抽到奇数的概率；
（2）解：画树状图如下：
，
共有6种等可能出现的结果，分别为：、、、、、，其中所抽取的两位数恰好是3的倍数有、，共种，
（是3的倍数的概率）．
19．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定，
（1）由于点，可得出，结合，利用等角的余角相等，可得出，则可得出；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出的面积．
【详解】（1），
．
，
．
，
．
（2）由（1）
∴
∴
∴，
的面积为15，
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质：
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据该抛物线的开口向下，即可求解．
【详解】（1）解：将和代入解析式，
得，
解得：，
该二次函数的表达式是．
（2）解：当时，，
解得：或
该抛物线的开口向下，
当时，的取值范围．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，得到，再由，即可得证；
（2）由（1）得，得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：，四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
．
22．(1)5
(2)6
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由（1）得：直径，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
设半径，
是的直径，
，，
，
解得，
的半径为；
（2）解：由（1）得：直径，
，
，
，
．
23．(1)
(2)
(3)或2
【分析】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到的取值；
（3）分三种情况讨论，关键题意得到关于的方程，解方程即可求得．
【详解】（1）解：，
该二次函数的顶点坐标是．
（2）该二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
（3）①若，当时，．
②若，当时，，
解得（舍去）．
③若，当时，，
解得（舍去）．
综合以上得：当时，该函数有最小值，此时的值是或2．
24．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得是直径，，从而得到，再由等边对等角可得；
（2）①连接，则，由（1）得：，从而得到，证明得到，最后由勾股定理即可得出关于的函数表达式；②由得出，再根据面积，进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的外接圆，，
是直径，，
，
；
（2）解：①连接，则，
由（1）得：，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
②，
，即，
，
面积，
当时，．
