2023-2024学年第一学期浙江省温州市九年级期末数学预考练习卷 解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的顶点式，即可得出答案．
【详解】解：∵为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
3 . 如图，已知，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得，CE=4，
故选B．
暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
5．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】过点B作，利用面积法求出BD的长，再由勾股定理求出AD的长，即可求出tanA的值．
【详解】解：如图，过点B作，
，，，
根据面积法，，
根据勾股定理，，
∴．
故选：D．
6．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得．
故答案为：C
7.某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），
则求拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，可得半径，
根据垂径定理，可知，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
8 .如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
9．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
如图，在中，，，以点为圆心，
以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；
由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，
得到，即可判断B；证明，得到，
设，则，求出x，即可判断C；
过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，
即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为_______
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
12 .如图，在Rt中，，，，则sinA的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故答案为：
13．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
【答案】28°
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABD=62°，
∴∠ACD=∠ABD=62°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°．
故答案为28°．
14．若抛物线的顶点在轴上，则______
【答案】
【分析】先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出的值即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的顶点在轴上，
，
解得：，
故答案为：．
15.如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，则旗杆的高为 米．
【答案】6
【分析】结合题意，得，则有，得，通过计算即可得到答案
【详解】竹竿和旗杆均垂直于地面，
∴
∴
∴，
∵米，米，，
∴，
米
故答案为：6．
16 .如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作Rt△PBQ，
使得∠BPQ＝90°，BP＝2PQ，连接CQ，则CQ长的最小值为 ．
【答案】．
解：过点Q作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，
则∠A＝∠PMQ＝∠CNQ＝90°，AB＝MN＝3，
∵∠BPQ＝90°，
∴∠APB+∠MPQ＝∠MPQ+∠PQM＝90°，
∴∠APB＝∠MQP，
∴△APB∽△MQP，
∴＝＝，
设MQ＝x，则NQ＝3﹣x，
∵BP＝2PQ，
∴＝＝2，
∴AP＝2x，MP＝，
∴CN＝DM＝AD﹣MP﹣AP＝4﹣﹣2x＝﹣2x，
∴CQ2＝QN2+CN2＝，
＝，
当x＝时，CQ2的最小值为，
∴CQ长的最小值为＝．
故答案为：．
二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③m为任意实数，则；
④；⑤若且，则．
其中正确的有
【答案】
【分析】根据抛物线图象开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，据此即可判定①②；根据二次函数的性质知：当时，函数有最大值，据此即可判定③；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，据此即可判定④；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算，即可判定⑤．
【详解】解：∵抛物线图象开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，即，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为，
，即，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
，所以④错误；
，
，
，
，
，
，即，
，
，所以⑤正确，
综上所述，正确的有．
故答案为：．
18．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可求出，，则有点为的中点，是的中线，再证，根据三角形相似的性质可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：∵正方形中，为的中点，为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的中点，即，，，
∴，
∴，
∴点为的中点，
在，中，是的中线，
∴，
∵，即，，
∴，且，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球
（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．
若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，
摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，
求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
【答案】
【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可．
【详解】解：根据题意，可作树状图如下，
由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，
所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
20. 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．
小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），
然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，
又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．
你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
解：这种测量方法可行．
理由如下：
设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．
∴△AGF∽△EHF．
∵FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
∴EH=3.5﹣1.5=2，AG=x﹣1.5．
∵△AGF∽△EHF，
得，
即，
∴x﹣1.5=20，
解得x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米．
21. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？
【分析】（1）由花圃的宽AB为x米，篱笆长为24米，得出长BC的值，
再利用矩形的面积等于长乘以宽列出函数关系式并化成一般式即可；
将S与x的函数关系式写成顶点式，
根据二次函数的性质及x的取值范围即可得出答案．
【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，篱笆长为24米，
∴BC＝（24﹣3x）米，
∴S＝x（24﹣3x）
＝﹣3x2+24x（3≤x＜8）．
∴S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x（3≤x＜8）．
（2）S＝﹣3x2+24x
＝﹣3（x﹣4）2+48．
∵3≤x＜8，
∴当x＝4时，S有最大值，最大值为48．
∴当AB的长为4米时，花圃的面积最大，最大值是48平方米．
22 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
23 .如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）65°；（3）．
【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；
根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，
所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；
设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
根据射影定理知：BD2＝BF AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．
【详解】（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°．
∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
（3）∵BC＝8，BD＝CD，
∴BD＝4．
设半径OD＝x．则AB＝2x．
由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴BD2＝BF AB，即42＝x 2x．
解得x＝4．
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°．
∴弧BD的长是：＝．
24. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4，
又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，
∴对称轴方程为：x=3．
（2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y= x+4．
∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，
点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年第一学期浙江省温州市九年级期末数学预考练习卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3 . 如图，已知，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
6．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），
则求拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，
如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，以点为圆心，
以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为_______
12 .如图，在Rt中，，，，则sinA的值为_______
13．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
14．若抛物线的顶点在轴上，则______
15.如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，
移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，
则旗杆的高为 米．
16 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作Rt△PBQ，
使得∠BPQ＝90°，BP＝2PQ，连接CQ，则CQ长的最小值为 ．
二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③m为任意实数，则；
④；⑤若且，则．
其中正确的有
如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，
与相交于点．若，则的长为 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球
（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．
若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，
摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，
求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
20. 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．
小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），
然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，
又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．
你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？
22 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
23 .如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
24. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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