2023-2024学年度第一学期阶段练习
八年级数学
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C． D．没有平方根
2．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．通过估算，估计的值应在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
5．下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若中不含的一次项，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．8或
7．如图，内有一点分别是关于的对称点，交于，交于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知的面积为13，平分，且于点，则的面积是（ ）
A． B． C．6 D．7
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算： ．
10．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
11．若
12．小欢用铁丝围成了一个等腰三角形，两边长分别为和，他至少需要准备的铁丝长度为 ．
13．尺规作角的平分线实际上是依据 来判定两个三角形全等，从而证明作图方法是正确的．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是 ．
三、解答题（共10小题，共78分）
15．计算：
(1)
(2)（要求简便计算）
16．因式分解：
(1)
(2)
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，，点在射线上，观察尺规作图的痕迹，求的度数．
19．已知：如图，四点在同一条直线上，，，．求证：．
20．如图，已知，点是的中点，且，求的面积．
21．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个使它与全等．
(2)在图②中画一个使它与全等．
(3)在图③中不同于（2）一个使它与全等．
22．从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．
A．
B．
C．
(2)若，求的值；
23．问题发现：如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结．填空：
(1)的度数为___________；
(2)线段之间的数量关系是___________．
拓展探究：
(3)如图②，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
24．在中，，点D为边的中点，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒（t>0）．
(1)用含t的代数式表示线段的长．
(2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值．
(3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数为 ．
答案与解析
1．B
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，若一个非负数x的平方等于a，即，则这个数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根为，据此求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是，
故选B．
2．C
【分析】本题考查无理数的识别，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，常见的无理数有非完全平方数的平方根、等．据此逐项判断即可．
【详解】解：A，是有限小数，属于有理数，不合题意；
B，，2是整数，属于有理数，不合题意；
C，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D，是分数，属于有理数，不合题意；
故选C．
3．B
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方、积的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】A. ，该选项错误；
B. ，该选项正确；
C. ，不是同类项，不能合并，该选项错误；
D. ，该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，首先确定的范围，进而得到的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
所以，的值应在之间
故选：D．
5．C
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】是多项式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
，结果不是几个最简整式的乘积，不是因式分解，故B不符合题意；
，符合因式分解得定义，是因式分解，故C符合题意；
，分母中含有字母，不是因式分解，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查判断因式分解．掌握因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式是解题关键．
6．A
【分析】本题考查多项式乘多项式，将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的系数为0即可求出结果．
【详解】解：，
中不含的一次项，
，
，
故选A．
7．B
【分析】本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，；因为的周长已知，则可把其中的两边，代换为，，则根据是相关线段的和即可求出其长．
【详解】解：点关于的对称点是，
．
点关于的对称点是，
．
的周长，，，
，
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于D，利用证明得到，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于D，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
9．##
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知多项式除以单项式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．假
【分析】本题主要考查了命题与定理，先写出原命题的逆命题，再判定逆命题的真假即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么 “，逆命题是假命题，
故答案为：假．
11．12
【分析】根据完全平方公式得到（a-b）2=a2-2ab+b2，再把a-b=1，a2+b2=25整体代入，然后解关于ab的方程即可．
【详解】解：∵（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴1=25-2ab，
∴ab=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了整体思想的运用．
12．17
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为时，当腰长为时，两种情况得到该三角形三边的长，再根据构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为，
∴他至少需要准备的铁丝长度为．
故答案为：．
13．SSS
【分析】由全等三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OC，
连接NE，NF，由作法可知OE=OF，EN=FN，ON=ON，故可得出△ONE≌△ONF（SSS），所以OC就是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS．
【点睛】此题主要考查了基本作图，用到的知识点为：边边边可证得两三角形全等．
14．110°或80°##80°或110°
【分析】分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
15．(1)
(2)1
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先把原式变形为再利用平方差公式进行求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解：
（1）原式直接提取公因式x，即可得到答案；
（2）原式提取公因式a，再运用完全平方公式进行因式分解即可
【详解】（1）
；
（2）
17．，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的尺规作图及定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用三角形内角和定理和平角的概念求出，再利用角平分线的定义解决问题即可．
【详解】解：，
，
，
由作图可知，平分，
，
答：的度数是．
19．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，先证明，再利用证明，得到，由此即可证明．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
．
20．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质求三角形面积，证明，可知，计算出即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴
又
∴
∴，，
∴
∴
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图、全等三角形的判定：
（1）在方格中找到满足，的格点，或满足，的格点即可；
（2）在方格中找到满足，的格点即可；
（3）在方格中找到点B关于的对称点即可．
【详解】（1）解：如图，或即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
22．(1)B
(2)10
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟知平方差公式是解题的关键．
（1）分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据图1和图2中的阴影部分面积相等，即可得到答案；
（2）先利用平方差公式得到，则，再根据，利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
∵图1和图2中的阴影部分面积相等，
∴上述操作能验证的等式是，
故选B．
（2）解：，
∴，
∵，
，
．
23．(1)
(2)相等
(3)，，理由见解析
【分析】（1）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得结果；
（2）由（1）即可求得两线段间的关系；
（3）易证，利用全等三角形的性质、等边三角形的性质即可求得的度数，再由全等三角形的性质及等腰三角形的判定与性质即可得到三线段的关系．
【详解】（1）解：、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
；
，
，
；
故答案为：．
（2），
，
即、间的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（3）解：；
理由如下：
、都是等腰直角三角形，
，，，
即，
在与中，
，
，
；
，，
，，，
，
；
即的度数为．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，其中证明两个三角形全等是关键．
24．(1)或
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况考虑即可；
（2）分及两种情况，利用全等三角形的性质即可求得的值；
（3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成．
【详解】（1）解：由题意知：，
当点P在线段上时，；
当点P在线段的延长线上时，；
综上，线段的长为或；
（2）解：，
；
当时，则有，
即，
解得：；
当时，，
点是的中点，
，
，
解得：，
综上，的值为或；
（3）解：若点P在线段上，分三种情况：
当时，则；
当时，则，
则；
当时，则，
则；
点P在线段的延长线上，当时，则，
，
；
综上，的度数为或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，关键是注意分类讨论．
