2023-2024年人教版九年级上册数学期末专题复习：二次函数压轴题
1． 如图，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点C，直线经过B，C两点．
(1)直接写出点B，C的坐标并求抛物线的表达式．
(2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标．
(3)在直线上方的抛物线上是否存在点Q，使得的面积有最大值 若存在，求点Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线．
(1)如图，当抛物线经过点时，
①求抛物线的解析式；
②如果是抛物线上两点(点在点的左侧)，且两点之间的水平距离为，请求出这两点纵坐标之和的最大值；
(2)当二次函数的自变量x满足时，函数有最大值为，求的值．
3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
(3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标；
4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点，点，抛物线与y轴交于点，点D为抛物线顶点，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是下方异于点D的抛物线上一动点，若，求此时点P的坐标；
(3)点Q是抛物线上一动点，是否存在以点B、C、Q为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，．
(1)求b，c的值．
(2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上．
①求点P的坐标．
②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值．
7．已知抛物线：与x轴交点为（A在B的左侧），顶点为D．
(1)求点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若直线与抛物线交于点，且关于原点对称，求抛物线的解析式；
(3)如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若，求点的坐标．
8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与y轴负半轴交于点D，且，求证：；
(3)在问题2的条件下，若直线与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．二次函数经过点，，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直线上方有一点D，过点D作轴交直线于点E，过点D作交x 轴于点F，求的值最大值及此时点D的坐标．
(3)将原抛物线向右平移得到经过原点的新抛物线，直线 (m、n为常数，)与抛物线有唯一公共点G，且与抛物线对称轴相交于点P，点P关于x轴的对称点为点，过点G作于点H，求线段的长．
11．如图，抛物线：与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值．
(3)在图2中，将抛物线关于x轴对称，得到新的抛物线：，新的抛物线与y轴交于点E，点M是y轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由．
12．如图,已知二次函数的图像与轴交于A,B两点,且,抛物线的对称轴为直线,点是直线上的点,连结．
(1)求,的值;
(2)过点作交于点,若．
①求的长;
②点是抛物线上的点,连,若时,求点的坐标;
(3)点在直线上且是点的上方的点,,则的最小值为______（直接写出答案）．
13．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
15．若抛物线经过，与轴交另一点．
(1)求的值；
(2)如图1，当点是直线上的动点时，点，若直线平分，求点的坐标；
(3)当点在对称轴右侧的抛物线上运动时，交对称轴于点，且点、关于抛物线顶点对称，连结，若点到直线的距离为，试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值和此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
(3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
17．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．
(1)如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点C的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求a的取值范围．
18．如图1在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为，求面积的最大值；
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．(1)，，
(2)点P的坐标为
(3)在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时的面积为8
2．(1)①；②当m=1时，M，N两点纵坐标之和W的最大值为5
(2)b的值为4或
3．(1)
(2)
(3)，或，
4．(1)
(2)的坐标为
(3)，，，
5．(1)
(2)点E的坐标为
(3)存在；点P的坐标为或或或
6．(1)
(2)①；②的最小值为
7．(1)，
(2)
(3)或
8．(1)
(2)
(3)或或
9．(1)
(3)存在，点P的坐标为或或
10．(1)
(2)的最大值为，此时点
(3)
11．(1)，
(2)，面积最大，最大面积为；
(3)或或或．
12．(1)
(2)①;②点的坐标为,
(3)
13．(1)，
(2)
(3)或或．
14．(1)
(2)顶点坐标为，点D的坐标为
(3)存在，
15．(1)
(2)点的坐标
(3)的最大值为，点N的坐标为．
16．(1)
(2)
(3)
17．(1)，
(2)Q点坐标为
(3)a的取值范围为或
18．(1)
(2)
(3)存在，，
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