盐城市四校联考2023-2024学年第一学期12月阶段检测
高三数学试卷
2023年12月
注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求，
1.本试卷共4页，包含单项选择题【第1题~第8题，共40分】 多项选择题【第9题~第12题，共20分】，填空题【第13题第16题，共20分】，解答题【第17题~第22题，共70分】四部分本次考试时间为120分钟，满分150分.考试结束后，请将答题卡交回
2.答题前，请考生务必将自己的学校 班级 姓名 准考证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置.
3.选择题每小题选出答案后，请用2铅笔在答题卡指定区域填涂如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案非选择题请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效.
4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（ ）
A.-1 B.1 C. D.
3.已知，若，则（ ）
A.4 B. C. D.-4
4.已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为，则（ ）
A.-4 B.-6 C.-8 D.-9
6.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ）
A.24 B.36 C.60 D.96
7.已知公比不为1的等比数列的前项和为，记：为等差数列；：对任意自然数为等差数列，则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（ ）
A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差
10.关于函数有下列4个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的图象经过点；
③函数的图象关于点对称；
④函数的图象关于直线对称
若这4个结论中恰有3个是正确的，则这3个结论的序号可以是（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
11.已知圆，过点作两条互相垂直的弦，则（ ）
A.弦长的最小值为1
B.四边形的面积的最大值为5
C.弦长的最大值为
D.的最大值为
12.下列物体，能够被半径为的球体完全容纳的有（ ）
A.所有棱长均为的四面体
B.底面棱长为，高为的正六棱锥
C.底面直径为，高为的圆柱
D.上 下底面的边长分别为，高为的正四棱台
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中，含项的系数为__________.
14.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的“曼哈顿距离”为，已知动点在圆上，定点，则两点的“曼哈顿距离”的最大值为__________.
15.定义在上的可导函数满足：①；②值域为；③对任意，有及，请写出同时满足上述所有条件的一个函数解析式：__________.
16如图，在平面凸四边形中，为钝角，则对角线的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知的内角的对边分别为，
且的面积为
（1）求；
（2）求周长的最小值.
18.（12分）已知数列满足，且数列是等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
19.（12分）如图，在四棱台中，已知，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.
20.（12分）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的取值范围.
21.（12分）某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
22.（12分）设函数，其中为自然对数的底数，
（1）若为上的单调增函数，求实数的取值范围；
（2）讨论的零点的个数.
盐城市四校联考2023-2024学年第一学期12月阶段检测高三数学试卷2023年12月
参考答案与解析
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.【答案】B
【解析】，选B.
2.【答案】A
【解析】，虚部-1.
3.【答案】D
【解析】，
，选D.
4.【答案】D
【解析】，
，选.
5.【答案】B
【解析】
，选B.
6.【答案】C
【解析】两种情形：①社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有；
②社区还有另一个志愿者，此时有，选C.
7.【答案】C
【解析】成等差数列，，则，
成等差数列，
是的充要条件.
8.【答案】B
【解析】，
，
，选B.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】BC
【解析】的极差是极差的3倍，错.，有可能有，对.
中位数有解，C对；的标准差是标准差的3倍，D错，选BC.
10.【答案】AB
【解析】
①正确，则；
②正确，则或；
③正确，则；
④正确，则
若①②③正确，则，④不成立，满足条件，A要选；
若①②④正确，则，③不成立，满足条件，B要选；
若①③④正确，则不可能成立，C不选.
若②③④正确，则
或不可能，选.
11.【答案】BCD
【解析】，A错.
到的距离为到的距离，则
，B对.
，D对.
，
对，选BCD.
12.【答案】ABD
【解析】所有棱长均为的四面体的外接球半径选.
设球心到底面外接圆圆心距离为，则
选.
圆柱外接球半径不选.
如图选，选ABD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】10
【解析】展开式第项
.
14.【答案】
【解析】15【答案】
【解析】的值域为，可设，
则的周期为，
，满足
16.【答案】
【解析】方法一：设，
中，
.
方法二：设
，当且仅当时取"
方法三：瓜豆原理
过作于点且
且，
，秒杀.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【解析】
（1）
.
（2），
周长，当且仅当时取".
18.【解析】
（1）是等差数列，记其公差为，
（2）①，
②，
①②
.
19.【解析】
（1）证明：在四边形中，
，
又平面
又平面.
（2），
，
如图建系，
，
，设平面的一个法向量
平面的一个法向量，设二面角的平面角为，
显然为锐角，
20.【解析】
（1）双曲线的一条渐近线方程为，
由题意知双曲线的方程为
（2），设直线的方程为
且
而
21.【解析】
（1）的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，
（2）设第位员工取出红球的概率为
，且
成首项为，公比为的等比数列.
第位员工取出白球的概率为
的所有可能取值为的分布列如下：
1000 500
关于单调递减，第1位员工获得奖金额的数学期望最大.
22.【解析】
（1）对恒成立，
时，显然符合，时，当时，舍
时，令在上上
综上：实数的取值范围为.
（2）
①当时，有且仅有一个零点；
②当时，若，则无零点，当时，
注意到在上有唯一的零点.
③当时，令在上上
时，时，，注意到
在上有唯一的零点，且当时，；
当时，，
注意到，在和上各有一个零点
综上：当时，有两个零点；当时，有唯一的零点.
