2024年广东省普通高中合格性考试数学模拟冲刺卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，则的虚部是（ ）
A． B． C．2 D．
4．设向量，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
5．函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）
A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶
C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶
8．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
12．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的最小正周期为 ．
14．正方体外接球的表面积为，则该正方体的表面积为 ．
15．一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是 ．
16．已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ．
17．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为 .
18．已知函数，若，则实数 .
三、解答题
19．在中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
20．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)估计月平均用电量的中位数；
(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
21．已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率（不考虑其他因素）．
（1）若经过年该城市人口总数为万，试写出关于的函数关系式；
（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？
22．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
参考答案：
1．B【分析】由交集的性质计算即可得.
【详解】由集合及，所以.
2．D【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意；
对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意；
对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意；
对于D，，所以函数为奇函数，
又函数在区间上又是增函数，故D符合题意.
3．C【分析】利用复数的除法求出复数，可得复数的虚部.
【详解】复数，
则的虚部是2.故选：C
4．B【分析】根据，可得，再根据共线向量的坐标公式即可得解.
【详解】因为向量，，所以，
所以，解得.故选：B.
5．A【分析】根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.
【详解】当时，，故排除B、D.
当时，，故A正确.故选A.
6．C【分析】根据诱导公式可得，由求出，结合计算即可求解.【详解】由，得，
又，所以，所以.故选：C
7．A【分析】根据对立事件的定义即可得解.
【详解】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”.故选：A.
8．B【分析】根据异面直线的定义判断即可.
【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.故选：B.
9．C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正实数满足，
由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立.故选：C
10．C【分析】解一元二次不等式即可.【详解】因为的根为或，
所以的图象如图所示，所以解集为，即.
11．D【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.
【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数的图象向右平移个单位长度所得图象的解析式为.故选：D
12．D【分析】先利用对数函数的性质求得的大小关系和所在范围，再利用指数函数的性质求得b的范围，即可得到的大小关系.
【详解】由在上单调递增，且，
可得，则，由在上单调递减，且，
则，则，的大小关系为.故选：D
13．/【分析】直接根据周期公式计算得到答案.【详解】函数的最小正周期为.故答案为：.
14．32【分析】由正方体的体对角线的长就是外接球的直径，可求出正方体棱长，从而求解.
【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线的长就是外接球的直径，
外接球的半径为：，∵正方体外接球表面积是，∴，
解得 ，所以正方体的表面积为6a2＝32，故答案为：32．
15．50【分析】由百分位数的概念求解即可.
【详解】先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．
共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为．
16．/0.5【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.故答案为：
17．【分析】写出基本事件空间，利用古典概型公式求概率.
【详解】从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所有可能情况为，，，，，，共6种情况，两个数之和不小于5的情况有，，，，共4种，所以概率为.故答案为：.
18．【分析】由分段函数的分段情况分类讨论，列式求解即可，注意满足前提条件.
【详解】当时，，解得，与冲突，故舍去，
当时，，解得，满足，故实数，
19．【详解】（1）由，得，
在中，，在中，.
（2），
由余弦定理得，
，，的周长为.
20．【详解】（1）由，
得，所以直方图中x的值是0.0075
（2）因为，所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，由，得，
所以月平均用电量的中位数是224
（3）月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有 (户)，抽取比例，
所以月平均用电量在用户中应抽取户
21．【详解】（1）；
（2）令，即在R上单调递增 ，所以．故至少要经过5年该城市人口总数达到210万．
22．【分析】（1）由线面垂直的判定证明；
（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.
【详解】（1）∵底面，底面，
∴．
又，，平面，
∴平面．
（2）由题意易知四边形为直角梯形，
∴．
∴．
