武强中学2023-2024学年度上学期期末考试
高二数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若直线与直线平行，则实数的取值为（）
A.1或 B. C.1 D.0
2.设为直线上的动点，过点做圆的切线，则切线长的最小值为（）
A.2 B. C.3 D.
3.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（）
A.9 B.9或1 C.1 D.6
4.已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（）
A. B. C. D.
5.设数列满足，且，则（）
A. B. C. D.3
6.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
8.已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（）
A.8 B.10 C.12 D.16
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知直线，下列说法正确的是（）
A.直线经过点
B.直线与坐标轴围成的三角形面积是
C.直线与直线的距离是1
D.直线与圆相切
10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）
A.的周长为10 B.面积的最大值为
C.椭圆的焦距为6 D.椭圆的离心率为
11.已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（）
A.数列为递减数列 B.
C.的最大值为 D.
12.已知正项等比数列的公比为，前项和为，，，则（）
A. B.
C.数列是递减数列 D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，若，则弦的长为__________.
14.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为__________.
15.数列满足，，则数列的第2023项为_________.
16.已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式_______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知直线，与圆交于，两点，点在圆上运动.
（1）当时，求；
（2）已知点，求的中点的轨迹方程.
18.已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是4，离心率是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在该椭圆上，，为它的左、右焦点，且，求的面积.
19.已知双曲线的焦点为，且渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）在双曲线上找一点，满足，求的值.
20.已知数列是等差数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求及其最小值.
21.已知数列满足：，，数列为等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：.
22.已知递增的等差数列和等比数列满足，，.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的前项和.
高二数学参考答案：
1.B【详解】由已知，若直线与直线平行，则需满足，解得,由于当时，两直线重合，因此
故选：B
2.B【详解】圆心为，半径为，设切点为，
要使得切线长最小，则最小，此时，
所以，所以，故选：B
3.A【详解】因为，所以，
所以，解得，
根据双曲线定义可得，
所以，解得或，
当时，不合题意，故舍去，
当时，，满足题意，综上，.故选：A
4.A【详解】由题意可得，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A
5.A【详解】因为，，
所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此.故选：A.
6.D【详解】如图
依题意，，，，
则，，由椭圆定义可得，，
所以离心率.故选：D.
7.C【详解】抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，
则，且该双曲线的焦点在轴上，∴，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
8.C【详解】依题意，，，解得，因此，
所以.故选：C
9.ABD【详解】对于A，当，时，，所以直线经过点，A对；
对于B，令，；令，，所以直线与坐标轴围成的三角形面积是，B对；
对于C，把化为，则这两直线平行，
所以直线与直线的距离是，C错；
对于D，由圆可知圆心，半径，
又圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，D对.故选：ABD.
10.AB【详解】对A，因为椭圆C：，
∴，，
的周长为，故A正确；
对B，因为，面积最大时高最大，为，
所以面积的最大值为，故B正确；
对C，椭圆C的焦距为，故C错误；
对D，椭圆C的离心率为，故D错误；故选：AB
11.ABC【详解】设等差数列的公差为，
由于，，故，
则，B正确；，则数列为递减数列，A正确，
由以上分析可知，时，，故的最大值为，C正确；
，D错误，故选：ABC
12.AC【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，.
因为，
所以，解得，则.故选项A 正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以，即，
故数列是递减数列，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误.故选：AC
13.6【详解】由椭圆方程可得，
故由椭圆定义有，，
又，所以.
故答案为：
14.4【详解】根据椭圆定义可知，
由勾股定理可得，
所以可得，
因此可得三角形的面积为.故答案为：4
15./【详解】由已知可得，，，，
所以数列为周期数列，且，所以，故答案为：
16..【详解】由，，成等差数列，且，
得，解得或，
又，所以，所以，故答案为：.
17.（1）（2）
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得.
（2）设，
因为点，且为的中点，则，
又因为点在圆上，则，整理得，
所以点的轨迹方程为.
18.（1）（2）【详解】（1）由题可得，，解得，，，
所以椭圆的标准方程是；
（2）
由（1）知，，
在中，由余弦定理得
即.①
由椭圆定义，得，即②
将②代入①解得，
∴.
因此所求的面积是.
19.（1）（2）
【详解】（1）由，得，设双曲线标准方程为，
由渐近线方程知，，则，
则，解得，，故双曲线方程为；
（2）由得，则有①，
又点在双曲线上，则有②，
联立①②消解得，则.故的值为.
20.（1）
（2），最小值为
【详解】（1）设的公差为，则，
解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以当或时，取得最小值，最小值为.
21.（1）（2）
【详解】（1）因为，，数列为等比数列，
所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
（2）
.
22.（1），；（2）.
【详解】（1）由已知，，
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意，解得或（舍去），
所以，；
（2）由（1）.
