2023-2024学年海南省海口市重点中学高一（上）第二次月考数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
3.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
4.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
7.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下与的关系中，其中是关于的函数的有( )
A. B.
C. D.
10.下面选项中所给的不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
12.函数，，，则下列说法正确的有( )
A. 函数有且仅有一个零点
B. 设方程的所有根的乘积为，则
C. 当时，设方程的所有根的乘积为，则
D. 当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ______ ．
14.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为______ ．
15.艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ______
16.已知，则 ______ ， ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
；
．
18.本小题分
已知一元二次不等式的解集为．
求，的值；
为何值时，的解集为．
19.本小题分
已知函数是定义在的偶函数，当时，．
请画出函数图像，并求的解析式；
，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式不需要写解答过程，并求的最小值．
20.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性，并求函数的值域；
若实数满足，求实数的取值范围．
21.本小题分
一种药在病人血液中的含量不低于时，它才能起到有效治疗的作用已知每服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量单位：随着时间单位：变化的函数关系式近似为，其中．
若病人一次服用个单位的药剂，求有效治疗的时间；
若病人第一次服用个单位的药剂，后再服用个单位的药剂，要使接下来的中能够持续有效治疗，求的最小值．
22.本小题分
若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质．
证明：函数具有性质，并求出相应的；
已知函数具有性质，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以，
，
所以．
故选：．
求出集合、，再根据交集运算求解即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：对：在上单调递减不满足，故A错误；
对：定义域为不具有对称性，所以既不是偶函数也不是奇函数，故B错误；
对：定义域为，，故为偶函数；
又在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；
对：，故不是偶函数．
故选：．
根据函数奇偶性与单调性判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对选项，反例，但，故A错误；
对选项，由不等式的基本性质，若，则，故B正确；
对选项，如，，而，故C错误；
对选项，若，，则，故D错误．
故选：．
根据不等式的基本性质和结合举反例分别对四个选项进行判断．
本题考查不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数与在其定义域内均为增函数，
函数在单调递增，
，，则，
根据函数零点存在定理可知函数的零点所在的区间是．
故选：．
判断函数的单调性，由，，结合函数零点存在定理即可求解．
本题考查函数零点的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：考查函数，
知其在上是减函数，故排除，，
又当时，，故函数图象过与两点，可以排除，由此得A正确．
故选：．
考查函数的性质，根据其性质来选取对应的图象，此函数是一个偶函数，由于对数式底数范围为，故在上是减函数，在对称的区间上就是增函数，由表达式可以看出函数的图象过与，根据这些特征选取选项即可．
本题考点是对数函数的图象，考查对数型函数图象的特征，研究此类函数图象的性质需要借助对数函数的图象特征类比研究，做本题时用了排除法，可以看出排除法做选择题是一个很好的方法．
6.【答案】
【解析】解：，
故，
由，可得与一正一负，
和二者中一个为，另一个为，即，
即．
故选：．
运用根式的运算性质即可得出．
本题考查根式的运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，
设，则，
而，则有，
故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：．
根据题意，设，变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，可化为 ，
又函数，可知在上单调递增，
不等式在恒成立，
即不等式在恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立，
即，解得，
故实数的取值范围是．
故选：．
转化为不等式在恒成立即可求解．
本题考查了二次函数的性质、分段函数的性质及转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：满足函数的定义，故A正确；
B.由对应关系可知，满足函数的定义，故B正确；
C.，不满足函数的定义，故C错误；
D.由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确．
故选：．
根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项．
本题主要考查函数的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，故A正确，B错误，
，
，故C错误，D正确．
故选：．
根据换底公式比较，，的大小，进而判断，根据，，与、的大小关系判断．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了换底公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由可得，即，
所以，
解得，当且仅当，，等号成立；即A正确；
由，当且仅当，，等号成立，即B正确；
由可得，
所以，当且仅当，时等号成立，即C正确；
易知
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以D错误．
故选：．
根据对出运算法则可得，利用基本不等式可解得A正确；由完全平方式可知B正确；由基本不等式“”的妙用即可求得C正确；将整理变形可得其最小值为，即D错误．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，令，则，
其中恒过定点，
当时，，
画出，的图象，如下：
可以看出两函数的图象无交点，没有零点，A错误；
选项，画出，的图象，
可以看出两函数的图象有个交点，设交点横坐标分别为，，，
其中，，
由图象可得，且，
故，即，
故，则，B正确；
选项，当时，，方程，即，
时，，时，，
故，C正确；
选项，当时，，画出，的图象，
可以看出，
再画出，的图象，
的最小根为，则，
由于与互为反函数，关于对称，
而也关于对称，
故与相加得，
，解得，D正确．
故选：．
选项，求出恒过定点，当时，无交点；选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，故；选项，当时，，求出，，故，C正确；选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据分段函数代入求值即可．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，得或，
若“”是“”的必要不充分条件，得是或的真子集，
所以，即的最大值为．
故答案为：．
根据条件转化为集合的包含关系，即可求解．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意一个星期后，记忆内容剩余；二个星期后，记忆内容剩余，
个星期后，记忆内容剩余，为使得所记忆的内容不低于，
则有，为增函数，对上式两边取对数有，
所以，，
又因为，
所以，
即，即，
所以最多在个星期之后对所学内容进行复习．
故答案为：．
根据已知条件列出不等式，两边取对数得，根据对数运算性质解不等式求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】 ，
【解析】解：因为，
所以，，
则．
故答案为：；，．
由已知，利用整体代换的思想即可求解函数解析式，进而可求函数值．
本题主要考查了函数解析式及函数值的求解，属于基础题
17.【答案】解：；
．
【解析】结合指数运算及对数运算即可求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为不等式的解集为，
所以，是方程两个根，且，
可得，解得，；
由知，即的解集为，
若，则成立；
若，由的解集为，
可得，解得．
综上所述，时，的解集为．
即．
【解析】利用，是方程两个根可得答案；
分、讨论，根据一元二次不等式的解集为解出答案．
本题主要考查了三个二次转化关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：根据函数的奇偶性，结合题意，画出函数的图像，如图所示：
设，则，则，
又函数是定义在的偶函数，
所以，
则；
函数的图像，如图所示．
因为，
当时，令，解得，
则当时，，
当时，令，解得，
则当时，，
所以，
画出函数的图像，如图所示，
结合图像可知，当时，．
【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得时，解析式，然后画出函数图像即可；
根据题意，由的定义可得其函数解析式，画出其函数图像，结合图像即可得到其最小值．
本题考查了函数的图像与性质应用问题，是基础题．
20.【答案】解：因为，则函数的定义域为，且，
所以，
所以是奇函数，
因为，
因为，所以，则，
所以函数的值域，
因为在定义域上单调递增且是奇函数，
所以，则，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围：．
【解析】先求函数的定义域为与函数，再证明，从而证明是奇函数，最后求函数的值域；
先判断在定义域上单调递增且是奇函数，再转化不等式为，最后求实数的取值范围．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的性质在值域求解，不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，
当时，由得，此时，
当时，由得，此时，
综上所述，，
所以若病人一次服用个单位的药剂，有效治疗的时间为小时；
由若病人一次服用个单位的药剂，有效治疗的时间为小时，
当时，由，
因为对恒成立，
所以对恒成立，等价于，
令，
则函数在上单调递增，
所以时，有最大值，
所以的最小值为．
【解析】由题意可得，则可得的解析式，求解，即可得答案．
求出当时，，若药剂有效，需满足，对恒成立，参变分离求的取值范围肯定答案．
本题主要考查函数的应用，属于中档题．
22.【答案】解：证明：代入得：，
即，解得，
函数具有性质，；
由题知的定义域为，且，
函数具有性质，
存在，使得成立，
代入得：，
，
，，
整理得：有实根，
当时，解得，；
当时，得，
即，解得：，，
综上可得：．
【解析】由新定义，将代入，化简计算即可得证．
由的定义域为，可得，根据函数具有性质，存在，使得成立，代入化简整理得到关于的方程，转化为方程有解的问题，进而求出的取值范围．
本题主要考查函数的方程的综合应用，属于中档题．
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