2022级高二上学期第二次阶段性考试
数学试题 2023.12
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则z的虚部为（ ）
A．2 B． C．-2 D．
2．若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．140种 B．420种 C．80种 D．70种
4．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，则PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则四面体的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A．z的虚部是-2 B．z的共轭复数是
C．z的模是 D．z在复平面内对应的点是
10．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若、则 D．若，则
11．箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品，从中不放回地依次抽取2件，用A表示“第一次取到正品”，用B表示“第二饮取到正品”，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的焦点在圆O：上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点满足（O为坐标原点），下列说法正确的有（ ）
A．双曲线C的虚轴长为4 B．双曲线的离心率为
C．双曲线C的一条渐近线方程为 D．三角形OMN的面积为8
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法．（用数字作答）
15．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望______．（结果用最简分数表示）
16．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，设，，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中的常数项．
18．（本小题满分12分）
已知两条不重合的直线：和：，．
（Ⅰ）若，求a的值；
（Ⅱ）若，求a的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值．
20．（本小题测分12分）
甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，均为等边三角形，．
（Ⅰ）求证：平面平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
22．（体小题满分12分）
设椭圆的左顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为．证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标．
