2022-2023学年辽宁省大连八中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点是角的终边上一点，则( )
A. B. C. D.
2.复数对应的点在第四象限，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
5.方程在区间上的解的个数是( )
A. B. C. D.
6.足球是一项很受欢迎的体育运动如图，某标准足球场底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置当攻方球员甲位于边线上的点处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可选择，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为( )
A. 码 B. 码 C. 码 D. 码
7.知均为锐角，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角、、所对的边为、、，已知，，设的平分线与交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数图像的对称中心为
C. 函数的单调递增区间为
D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位长度得到
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是( )
A. ，，，有两解
B. ，，，有两解
C. ，，，只有一解
D. ，，，只有一解
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
12.在中，，，，为内任意一点含边界，且，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ______ ．
15.设向量的夹角的余弦值为，且，则 ______ ．
16.关于方程的一个解 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
为虚数单位．
已知复数，求的虚部．
在复数范围内解方程．
18.本小题分
已知非零向量，满足，且．
求与的夹角；
若，求
19.本小题分
如图所示，为测算某自然水域的最大宽度即、两点间的距离，取相距米的、两点作为观测点、、、四点在同一平面内测得，，测绘人员根据以上数据，先推算出、两点间的距离，然后就可以测算出、两点间的距离请你完成以下运算．
求的长单位：米；
求水域的最大宽度的长单位：米．
20.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
令，把函数的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半纵坐标不变，再把所得的图像沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值．
21.本小题分
设函数．
求的最小正周期和值域；
在锐角中，角、、的对边长分别为、、若，，求周长的取值范围．
22.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作．
求函数的最大值；
若函数在内恰有个零点，求、的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为点是角的终边上一点，
所以，
所以．
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为复数对应的点在第四象限，则，
因此，角是第二象限角．
故选：．
利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论．
本题考查了复数的几何意义，考查三角函数，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以在方向上的投影向量为．
故选：．
利用平面向量数量积的坐标运算，结合投影向量公式可求得结果．
本题考查投影向量的坐标表示，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，角，，的对边分别为，，，，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于、，
所以．
故该三角形为等腰三角形；
故选：．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：方程，
，，
，；
，，，，
求得方程在区间上的解为，，，；共个．
故选：．
求出方程在区间上的解，即可得出正确的结论．
本题考查了三角函数方程的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：若甲选择线路，设，
因为，，，
，，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，
因此，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为码．
故选：．
选择线路，设，利用基本不等式结合两角差的正切公式求出正切值的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了两角差的余弦公式及同角三角函数基本关系，解题的关键是利用了凑角的技巧：，要注意一些常用的凑角变换．
由已知可求，，而，再利用两角差的余弦公式可求，结合已知的范围可求答案．
【解答】
解：，
，
，，
，，
，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：由得，即，
故，结合，，得，，
则，即为锐角，
所以，，
由，
得，
即，
解得．
故选：．
根据正弦定理角化边结合余弦定理化简可求得，进而求得，，由二倍角余弦公式求出，再根据即可求得答案．
本题考查了正弦定理与余弦定理、方程的解法、三角形角平分线的性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于函数，对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：令，，整理得，，故B正确；
对于：令，，整理得，故函数的单调递增区间为，故C错误；
对于：函数的图像可由函数的图像向左平移个单位长度得到，故D错误．
故选：．
直接利用正弦型函数的图象和性质求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，，则，
由正弦定理，
可得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；
对于，，，，
由正弦定理得，无解，B错误；
对于，，，，，，
由正弦定理得，有唯一解，C正确；
对于，，，，，，
此时，有唯一解，D正确．
故选：．
利用正弦定理，逐项计算判断作答．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，先证明出当时，，如下图所示：
设点，设，其中，设点在轴上的射影点为，
过点作轴的垂线交射线于点，则，，，
由图可知，，即即，
故当时，，
因为、，则，因为，则，
因为，则．
故选：．
证明出当时，，利用该不等式以及二倍角的余弦公式可得出、、的大小关系．
本题考查三角函数线的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：在中，，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
因为为内任意一点含边界，且，
设点，
则，，
所以，为锐角，且，
因为，
则，
由可得，
由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，
则，
故选：．
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用三角函数诱导公式化简求值，是基础题．
利用诱导公式直接化简为，然后求出它的值即可．
【解答】
解：
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，三角形的面积为，
即，解得．
故答案为：．
根据三角形的面积公式计算直接得出结果．
本题考查了三角形的面积公式应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：已知向量的夹角的余弦值为，且，
则，
则．
故答案为：．
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，其中，则，
所以，函数为偶函数，
由，可得，
则原方程的一个解满足，
可解得．
故答案为：．
令，推导出该函数为偶函数，由原方程可得，由偶函数的基本性质可得出原方程的一个解．
本题考查了函数零点与方程根的关系，考查了构造函数解决问题的能力，考查了函数思想，属于中档题．
17.【答案】解：，故的虚部为．
设，则，
由可得，
所以，解得，
故或．
【解析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果；
设，则，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
18.【答案】解：，，
，
，，
，，，
，，
向量夹角，与的夹角为．
，，
，又由知，，
，．
【解析】由，得数量积为，再结数量积的公式和，可求得夹角；
由，两边平方，将此式展开，把代入可求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：在中，，
因为，所以，，
所以，，，
则，
在中，由正弦定理得，
得米．
解：在中，由余弦定理得：，
，
所以，，故水域的最大宽度为米．
【解析】分析可知为等腰三角形，可得出，求出、的大小，然后利用正弦定理可求得的长；
在中，直接利用余弦定理可求得的长，即为所求．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
20.【答案】解：，，
，；
，
根据题意得，
又，，
的最大值为，
的最小值为．
【解析】根据向量垂直的性质建立方程即可求解；
根据向量数量积的坐标运算，函数的图像变换，三角函数的值域即可求解．
本题考查向量垂直的性质，方程思想，向量数量积的坐标运算，函数的图像变换，三角函数的值域，属中档题．
21.【答案】解：，
所以的最小正周期为：，值域为：．
由题意可知，，
解得，所以，
，，，
在三角形中，由正弦定理可得，
，即，同理，，
所以三角形的周长为：，又，
所以三角形的周长范围为：
【解析】利用二倍角公式和辅助角公式，可以直接解出．
利用解三角形知识，，可以解出角，表示出三角形的周长，进而可以直接解出．
本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于基础题．
22.【答案】解：由函数图象可得，且，解得，
所以，所以可得，，而，解得：，
所以，
所以函数的单调递增区间满足，，解得，，
所以函数的单调递增区间为：，；
由及函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，
把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变可得，
，
所以的最大值为，这时，，即，．
由题意可得，所以，
令，可得，令，
即，易知，方程由两个不同的实数解，，由，则，异号，
当且，或且时，
则方程和在区间上均有偶数个根，不合题意，舍去；
当且时，
则方程和在区间上均有偶数个根，不合题意，舍去；
当且时，
时，方程只有一根，方程有两根，
所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
因为方程在区间上只有一根，在区间上无根；
方程在区间上无根，在区间上有两个根，
因此，不合题意，舍去；
当且时，
时，方程只有一根，方程有两根，
所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
因为方程在区间上无根，方程在区间上有两个根，
因此，当时，满足题意，
此时，解得，
综上，．
【解析】根据三角函数的图象与性质解出参数，，即可；
先通过图象的变换得到函数的表达式，从而求出函数，再结合三角函数的有界性即可求函数的最大值；
由先求出函数的表达式，令，将转化为，再根据方程两个根的所在区间进行分类讨论即可得出答案．
本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的平移伸缩变换，三角函数单调性以及最值的求法，方程的根与函数零点的关系，难点在于最后一问的分类讨论，属于难题．
第1页，共1页
