宁波近几年中考压轴题汇编
1.已知二次函数，下列说法正确的是( )
A. 点在该函数的图象上
B. 当且时，
C. 该函数的图象与轴一定有交点
D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
2.如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，，设，，的面积分别为，，，若要求出的值，只需知道( )
A. 的面积
B. 的面积
C. 的面积
D. 矩形的面积
3.如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点．若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A. 正方形纸片的面积 B. 四边形的面积
C. 的面积 D. 的面积
6.如图是一个由张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点当，，，的面积相等时，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D. 当为实数时，
8.和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若求五边形的周长，则只需知道( )
A. 的周长
B. 的周长
C. 四边形的周长
D. 四边形的周长
9.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于
( )
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
10.如图，在中，，为边上一点，以为直径的半圆与相切于点，连结，，是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为______ ．
11.如图，点，分别在函数图象的两支上在第一象限，连结交轴于点点，在函数图象上，轴，轴，连结，若，的面积为，四边形的面积为，则的值为______ ，的值为______ ．
12.如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点是边上的动点，当为直角三角形时，的长为______．
13.如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为______，点的坐标为______．
14.如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结分别与，交于，两点若，，则的长为 ，的值为 ．
15.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点的“倒数点”如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为 ．
16.如图，的半径，是上的动点不与点重合，过点作的切线，，连结，当是直角三角形时，其斜边长为______．
17.如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点点在第一象限，点，，在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为 ，的值为 ．
18.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结若，的面积为，则的值为______．
19.如图，中，，，点在边上，，点是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为______．
20.本小题分
如图，锐角内接于，为的中点，连结并延长交于点，连结，，过作的垂线交于点，点在上，连结，，若平分且．
求的度数．
求证：．
若，求的值，
如图，当点恰好在上且时，求的长．
21.本小题分
定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
如图，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形．
如图，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点．
如图，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连结，过作交的延长线于点若，，求四边形的周长．
22.本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
【尝试应用】
如图，在的条件下，连结，若，，，求的值．
【拓展提高】
如图，在 中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点若，平分，，求的长．
23.本小题分
如图，为锐角三角形的外接圆，点在上，交于点，点在上，满足，交于点，，连结，设．
用含的代数式表示．
求证：≌．
如图，为的直径．
当的长为时，求的长．
当：：时，求的值．
24.本小题分
【证明体验】
如图，为的角平分线，，点在上，求证：平分．
【思考探究】
如图，在的条件下，为上一点，连接交于点若，，，求的长．
【拓展延伸】
如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，若，，，求的长．
25.本小题分
如图，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点．
若，请用含的代数式表示．
如图，连结，求证：．
如图，在的条件下，连结，．
若，求的周长．
求的最小值．
26.本小题分
，两地相距千米．早上：货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开各自出发地的路程千米与时间小时的函数关系如图所示．通话等其他时间忽略不计
求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式．
因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间最多晚个小时，问货车乙返回地的速度至少为每小时多少千米？
27.本小题分
【基础巩固】
如图，在中，为上一点，求证：．
【尝试应用】
如图，在 中，为上一点，为延长线上一点，若，，求的长．
【拓展提高】
如图，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，求菱形的边长．
28.本小题分
定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角．
如图，在的条件下，连结，，若是的直径．
求的度数；
若，，求的面积．
29.本小题分
如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
求证：；
若为中点，，求菱形的周长．
30.本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点．
求的值和图象的顶点坐标；
点在该二次函数图象上．
当时，求的值；
若点到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围．
31.本小题分
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
如图，在的条件下，取中点，连结并延长交于点，延长交于点若为的中点，，，求邻余线的长．
32.本小题分
如图，经过等边的顶点，圆心在内，分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．
求证：．
当：：，时，求的长．
设，．
求关于的函数表达式；
如图，连结，，若的面积是面积的倍，求的值．
33.本小题分
某风景区内的公路如图所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林上下车时间忽略不计第一班车上午点发车，以后每隔分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午：到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行分钟后到达塔林．离入口处的路程米与时间分的函数关系如图所示．
求第一班车离入口处的路程米与时间分的函数表达式．
求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
小聪在塔林游玩分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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宁波近几年中考压轴题汇编
1.已知二次函数，下列说法正确的是( )
A. 点在该函数的图象上
B. 当且时，
C. 该函数的图象与轴一定有交点
D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【解析】解：对于，当时，
，
，
点不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
当时，抛物线的解析式为：，
抛物线的顶点坐标为，
即当时，，
故得选项B不正确；
令，则，
，
该函数的图象与轴一定有交点，
故选项C正确；
该抛物线的对称轴为：，
又，
，
该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：．
将点代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将代入抛物线的解析式求出顶点坐标为，据此可对选项B进行判断；令，则，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据得，据此可对选项C进行判断．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与轴有无交点的方法．
2.如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，，设，，的面积分别为，，，若要求出的值，只需知道( )
A. 的面积
B. 的面积
C. 的面积
D. 矩形的面积
【答案】C
【解析】解：作于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
四边形是矩形，，
，，
，
只需知道，就可求出的值，
故选：．
作于点，交于点，可证明四边形是矩形，，可推导出，所以只需知道，就可求出的值，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3.如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点．若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：为斜边的中点，为中点，，
，
，
，
在中，为斜边的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线可以求得的长，再根据，可以得到的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得的长．
本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出的长．
4.点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】
解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
．
5.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A. 正方形纸片的面积 B. 四边形的面积
C. 的面积 D. 的面积
【答案】C
【解析】解：设，，则，
矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
，
，
图中阴影部分的面积
，
A、正方形纸片的面积，故A不符合题意；
B、四边形的面积，故B不符合题意；
C、的面积，故C符合题意；
D、的面积，故D不符合题意；
故选：．
根据题意设设，，则，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．
本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积和正方形的性质，解题的关键是根据用字母表示各图形的线段长和面积．
6.如图是一个由张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点当，，，的面积相等时，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
如图，连接，，过点作于证明，，可得结论．
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明，．
【解答】
解：如图，连接，，过点作于．
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
同法可证，
，
，
，，，
，
，
，
故选：．
7.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D. 当为实数时，
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据二次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；当为实数时，代入解析式得到，于是得到，故D正确．
【解答】
解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故A错误；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，故B错误；
，
，
当时，，
，
，故C错误；
当为实数时，，
，，，
，故D正确，
故选：．
8.和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若求五边形的周长，则只需知道( )
A. 的周长
B. 的周长
C. 四边形的周长
D. 四边形的周长
【答案】A
【解析】解：为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
≌，
．
和是两个全等的等边三角形，
，
五边形的周长，
，
．
只需知道的周长即可．
故选：．
证明≌，得出由题意可知，则得出五边形的周长，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于
( )
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解答】
解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
阴影部分的面积，
较小两个正方形重叠部分的宽，长，
则较小两个正方形重叠部分的面积，
图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积．
故选：．
10.如图，在中，，为边上一点，以为直径的半圆与相切于点，连结，，是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为______ ．
【答案】或
【解析】解：如图，连接，，
半圆与相切于点，
，
在中，，．
，
，
解得，
，
当时，此时与重合，
；
如图，当时，
在中，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
；
如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
过点作于点，
，，
，
≌，
，
，
为边上一点，不符合题意，舍去，
综上所述：当为等腰三角形时，的长为或．
故答案为：或．
连接，，根据切线的性质和勾股定理求出，然后分三种情况讨论：当时，此时与重合，如图，当时，如图，当时，分别进行求解即可．
此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
11.如图，点，分别在函数图象的两支上在第一象限，连结交轴于点点，在函数图象上，轴，轴，连结，若，的面积为，四边形的面积为，则的值为______ ，的值为______ ．
【答案】
【解析】解：设，
轴，且点在函数上，
，且点在函数上，
轴，点在函数上，
的面积为，
．
．
的面积为，四边形的面积为，
．
．
又．
．
故答案为：，．
依据题意，设，再由轴，轴，，可得，，，再结合的面积为，四边形的面积为，即可得解．
本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
12.如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点是边上的动点，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】或
【解析】解：连接，过点作于点，
圆与相切于点．
，
由题意可知：点位置分为两种情况，
当为时，此时点与点重合，设圆的半径，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，
即；
当时，，
，，，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
13.如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为______，点的坐标为______．
【答案】
【解析】解：如图，
作轴于，连接，设和交于，
设点，，
由对称性可得：≌≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，舍去，
，
即：，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出，的等式，将其分解因式，从而得出，的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得，的坐标，进一步可求得结果．
本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
14.如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结分别与，交于，两点若，，则的长为 ，的值为 ．
【答案】；
【解析】【分析】
连接，，由翻折及可得四边形为菱形，再由菱形对角线的性质可得先证明≌得，再证明∽可得，进而求解．
本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．
【解答】
解：，
，
，
，
又，
，
，
为中点，
．
连接，，
由翻折可得，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
平分，
，
≌，
．
，，，
≌，
，
设，
则，，
，
∽，
，
即，
解得舍或，
，
．
故答案为：；．
15.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点的“倒数点”如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为 ．
【答案】或
【解析】【分析】
设点的坐标为，由“倒数点”的定义，得点坐标为，分析出点在某个反比例函数上，分两种情况：点在上，由轴，得，解出，舍去，得点纵坐标为，此时，；点在上，得点横坐标为，即，求出点纵坐标为：，此时，．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
【解答】
解：设点的坐标为，
点是点的“倒数点”，
点坐标为，
点的横纵坐标满足，
点在某个反比例函数上，
点不可能在，上，
分两种情况：
点在上，
由轴，
点、点的纵坐标相等，即，
，舍去，
点纵坐标为：，
此时，；
点在上，
由轴，
点、点的横坐标相等，即，
，
点纵坐标为：，
此时，；
故答案为：或．
16.如图，的半径，是上的动点不与点重合，过点作的切线，，连结，当是直角三角形时，其斜边长为______．
【答案】或
【解析】解：连结，是的切线，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当是直角三角形时，
，如图，
，
；
当时，如图，
，
综上所述，其斜边长为或，
故答案为：或．
连接，根据切线的性质得到，当时，根据勾股定理得到；当时，易求得．
本题考查了切线的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
17.如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点点在第一象限，点，，在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为 ，的值为 ．
【答案】
【解析】解：如图，连接，，，，延长交的延长线于，设交轴于．
由题意，关于原点对称，
，的纵坐标的绝对值相等，
，
，的纵坐标的绝对值相等，
，在反比例函数的图象上，
，关于原点对称，
，，共线，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
：：：，
：：，
：：，设，则，，，
：：，
，
．
故答案为，．
如图，连接，，，，延长交的延长线于，设交轴于求出证明四边形是平行四边形，推出，推出，可得，推出再证明，证明，推出，再证明即可解决问题．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结若，的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，
过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，的面积为，
，
设点，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
；
故答案为；
连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线，
可得，进而可得；设点，由已知条件，，可得，则点，证明∽，得到，所以；即可求解；
本题考查反比例函数的意义；借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键．
19.如图，中，，，点在边上，，点是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为______．
【答案】或
【解析】【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用切线的性质是解题的关键．
根据勾股定理得到，，当于相切时，点到的距离，过作于，则，当于相切时，点到的距离，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
当与相切时，点到的距离为，
过作于，则，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当与相切时，点到的距离为，
过作于，则，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
半径为的不与的边相切，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
20.本小题分
如图，锐角内接于，为的中点，连结并延长交于点，连结，，过作的垂线交于点，点在上，连结，，若平分且．
求的度数．
求证：．
若，求的值，
如图，当点恰好在上且时，求的长．
【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：，为中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：如图，过点作于点，
设，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
的值为；
解：如图，过点作于点，连结交于点，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
设，
，
∽，
，
，
解得或舍去，
．
的长为．
【解析】根据同弧圆周角相等得，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
证明≌，即可解决问题；
过点作于点，设，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
过点作于点，连结交于点，分别证明≌，≌，得，设，然后由∽，对应边成比例，求出的值，进而可求的长．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
21.本小题分
定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
如图，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形．
如图，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点．
如图，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连结，过作交的延长线于点若，，求四边形的周长．
【答案】证明：在四边形中，，，
，
对角线平分，
，
，
，
，
，
四边形为邻等四边形；
解：如图，，点、即为所求；
解：如图，四边形是邻等四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，
，
，
过点作于点，得矩形，
，，
，
在和中，根据勾股定理得：
，，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
，
四边形的周长．
【解析】根据邻等四边形定义证明即可；
根据邻等四边形定义利用网格即可画图；
先证明四边形是平行四边形，得，设，得，过点作于点，得矩形，得，，所以，根据勾股定理得，求出的值，进而可得四边形的周长．
本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义．
22.本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
【尝试应用】
如图，在的条件下，连结，若，，，求的值．
【拓展提高】
如图，在 中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点若，平分，，求的长．
【答案】证明：，
∽，∽，
，，
，
，
；
解：，，
，
，
∽，
；
解：延长交于，连接，过点作于，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】证明∽，∽，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论；
根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.本小题分
如图，为锐角三角形的外接圆，点在上，交于点，点在上，满足，交于点，，连结，设．
用含的代数式表示．
求证：≌．
如图，为的直径．
当的长为时，求的长．
当：：时，求的值．
【答案】解：，
又，
，得，
；
由得，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
与所对的圆心角度数之比为：，
与的长度之比为：，
，
；
如图，连接，
，
，
，
，
，
，
∽，
设与的相似比为，
，
，
设，则，，
，，
，
由，得，
解得或舍去，
，，
，
在中，，
．
【解析】联立，，即可得出的度数；
根据角的关系得出，推出，又，即可根据证两三角形全等；
用表示出的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；
证∽，设相似比为，，则可得出，，的长度，根据比例关系得出方程求出的值，在用的代数式分别表示出和，即可得出结论．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
24.本小题分
【证明体验】
如图，为的角平分线，，点在上，求证：平分．
【思考探究】
如图，在的条件下，为上一点，连接交于点若，，，求的长．
【拓展延伸】
如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，若，，，求的长．
【答案】证明：如图
平分，
，
在≌中，
≌，
，
，
，
平分；
解：如图，
，
；
，
∽，
；
≌，
，
，
；
解：如图，在上取一点，使，连接．
平分，
，
在和中
≌，
，，，
，
，即，
，即，
∽，
，，
，，
；
，，
，
公共角，
∽，
，
，，
．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角的平分线等知识，解第题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题．
由≌得，因而，所以平分；
先证明∽，其中，再由相似三角形的对应边成比例求出的长；
根据角平分线的特点，在上截取，连接，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长．
25.本小题分
如图，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点．
若，请用含的代数式表示．
如图，连结，求证：．
如图，在的条件下，连结，．
若，求的周长．
求的最小值．
【答案】解：为的直径，
，
，
，
；
为的直径，
，
，
，
，，
，
又，，
≌，
；
如图，连接，
为的直径，
，
在中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，，
在中，，
，
的周长为；
如图，过点作于，
≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，
，
在中，，
，
当时，的最小值为，
的最小值为．
【解析】利用直径所对的圆周角为和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果．
证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得≌可得结论，
连接，，由弧相等得出弧所对的弦相等，在中，，得，在中，，可得，，
在中，由勾股定理得，即可求得周长的值．如图，过点作于，可得≌，得，由相似三角形的判定可得∽，设，由相似的性质得，在中，由勾股定理知，即可得最小值．
本题考查圆的综合应用，解本题的关键要熟练掌握圆的性质．全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等基本知识点．
26.本小题分
，两地相距千米．早上：货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开各自出发地的路程千米与时间小时的函数关系如图所示．通话等其他时间忽略不计
求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式．
因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间最多晚个小时，问货车乙返回地的速度至少为每小时多少千米？
【答案】解：设函数表达式为，
把，代入，得，
解得：，
关于的函数表达式为；
当时，
，
解得，
由图可知，甲的速度为千米时，
货车甲正常到达地的时间为小时，
小时，小时，小时，
设货车乙返回地的车速为千米小时，
，
解得．
答：货车乙返回地的车速至少为千米小时．
【解析】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．
由待定系数法可求出函数解析式；
根据图中的信息求出乙返回地所需的时间，由题意可列出不等式，解不等式即可得出答案．
27.本小题分
【基础巩固】
如图，在中，为上一点，求证：．
【尝试应用】
如图，在 中，为上一点，为延长线上一点，若，，求的长．
【拓展提高】
如图，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，求菱形的边长．
【答案】解：证明：，，
∽，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
又，
∽，
，
，
，
．
如图，分别延长，相交于点，
四边形是菱形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
又，
，
，
又，
，
．
【解析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
证明∽，得出，则可得出结论；
证明∽，得出比例线段，则，求出，则可求出．
分别延长，相交于点，证得四边形为平行四边形，得出，，，证明∽，得出比例线段，则，可求出，则答案可求出．
28.本小题分
定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角．
如图，在的条件下，连结，，若是的直径．
求的度数；
若，，求的面积．
【答案】解：平分，平分，
，
如图，延长到点，
四边形内接于，
，
又，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的遥望角．
如图，连接，
是中的遥望角，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
是的直径，
，
，
，
如图，过点作于点，过点作于点，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
设，，则有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由角平分线的定义可得出结论；
由圆内接四边形的性质得出，得出，证得，证出，则是的外角平分线，可得出结论；
连接，由条件得出，则，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则，得出，则可求出答案；
过点作于点，过点作于点，证得∽，得出，求出，设，，则有，解得，求出，的长，求出，由等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案．
29.本小题分
如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
求证：；
若为中点，，求菱形的周长．
【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
≌，
；
连接，
四边形是菱形，
，，
为中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
菱形的周长．
【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确利用好各个几何性质是解题的关键．
30.本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点．
求的值和图象的顶点坐标；
点在该二次函数图象上．
当时，求的值；
若点到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围．
【答案】解：由题意，把代入中，
得，解得．
所以．
所以图像的顶点坐标为．
因为点在二次函数的图像上，
所以把代入中，解得，
所以当时，的值为．
的取值范围是．
【解析】此题主要考查二次函数的图像与性质
把代入二次函数求得，利用配方法把解析式写成顶点式，写出顶点坐标
把代入解析式求得，
由题意，得，解得或．
当时，当时，．
又函数图像的顶点坐标为．
所以的取值范围是．
31.本小题分
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
如图，在的条件下，取中点，连结并延长交于点，延长交于点若为的中点，，，求邻余线的长．
【答案】解：，是的角平分线，
，，，
与互余，
四边形是邻余四边形；
如图所示答案不唯一，
四边形为所求；
，是的角平分线，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题为四边形综合题，涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点，这种新定义类题目，通常按照题设顺序逐次求解，较为容易．
，是的角平分线，又，则，则与互余，即可求解；
如图所示答案不唯一，四边形为所求；
证明∽，即可求解．
32.本小题分
如图，经过等边的顶点，圆心在内，分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．
求证：．
当：：，时，求的长．
设，．
求关于的函数表达式；
如图，连结，，若的面积是面积的倍，求的值．
【答案】证明：是等边三角形，
，
，，
，
；
如图，过点作于点，
是等边三角形，，
，
在中，，
，
，
，
：：，
，
，
在中，；
如图，过点作于点，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
在中，，
；
如图，过点作于点，
设，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的面积，
的面积，
的面积是的面积的倍，
，
，
解得：，
，
【解析】根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
过点作于点，根据三角函数和函数解析式解得即可；
过点作于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质解答．
33.本小题分
某风景区内的公路如图所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林上下车时间忽略不计第一班车上午点发车，以后每隔分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午：到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行分钟后到达塔林．离入口处的路程米与时间分的函数关系如图所示．
求第一班车离入口处的路程米与时间分的函数表达式．
求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
小聪在塔林游玩分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变
【答案】解：由题意得，可设函数表达式为：，
把，代入，得，
解得，
第一班车离入口处的路程米与时间分的函数表达为；
把代入，解得，
分，
第一班车从入口处到达塔林所需时间分钟；
设小聪坐上了第班车，则
，解得，
小聪坐上了第班车，
等车的时间为分钟，坐班车所需时间为：分，
步行所需时间：分，
分，
比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了分钟．
【解析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
设，运用待定系数法求解即可；
把代入的结论即可；
设小聪坐上了第班车，，解得，可得小聪坐上了第班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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