人教版2023-2024九年级上期末模拟试题3
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0 B．a+b＝3 C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为 ．
在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），则k= ．
已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22= ．
一个等边三角形绕其旋转中心至少旋转_________度，才能与自身重合．
3 、解答题（本大题共8小题，共78分）
（1）解方程：；（2）计算：.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．
为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为___________度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A．B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.
试证明：AB=DB+AF.
【类比探究】
（1）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由.
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其它条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由.
答案解析
1 、选择题
【考点】轴对称图形，中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．
故选B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
【考点】一次函数图像的性质，反比例函数图像的性质
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
解：当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．
解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【考点】菱形的性质，旋转的性质
【分析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.
解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A．B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD=60°，AD=4，
∴∠OAD=30°，
∴OD=2，
∴AO==OC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选D.
【点评】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.
【考点】反比例函数的应用．
【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），于是得到结论．
解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
解：∵＝，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根的判别式．
【分析】根据题意做出抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
解：由题意作图如下：
由图知，a＞0，
故A选项说法正确，不符合题意，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴a+b+c＝0，c＝﹣3，
∴a+b＝3，
故B选项说法正确，不符合题意，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线不经过（﹣1，0），
故C选项说法错误，符合题意，
由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
故D选项说法正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【考点】概率公式
【分析】根据概率公式得到=，然后利用比例性质求出n即可．
解：根据题意得=，解得n=6，
所以口袋中小球共有6个．
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率PA．=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
解：连接OC，
∵CE是⊙O切线，
∴OC⊥CE，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，
∴sin∠E=sin30°=．
故选A．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，
而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2 、填空题
【考点】勾股定理，圆周角定理
【分析】连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
解：连接BD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB===10．
∵AC=6，
∴BC===8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用中，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
【分析】由平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆和菱形，利用概率公式即可求得答案．
解：既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、菱形，概率是；
故答案为：．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y=求出k的值即可．
解：∵反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），
∴﹣2=，
解得k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【考点】 一元二次方程根与系数的关系
【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=．x1x2=﹣，
∴x12+x22=，
故答案为：
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
【考点】旋转的性质，等边三角形的性质
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
解：，
该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
3 、解答题
【考点】二次根式的混合运算，解一元二次方程
【分析】（1）用十字相乘法将方程左边的式子因式分解，解出x即可；（2）分别对根式，0次幂进行运算，然后进行加减运算即可.
解：（1）（x－6）（x+2）=0，
x－6=0或x+2=0，
x1=6，x2=－2；
（2）原式=3+1－=2+1.
【点评】掌握十字相乘法因式分解的方法以及实数的混合运算.
【考点】切线的性质；勾股定理．
【分析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．
解：连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BE=2BF=2．
【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理及垂径定理的知识，解题的关键是能够利用切线的性质构造矩形形，难度不大．
【考点】平移的作图，中心对称的作图
【分析】（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点，再连接即可；
（2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点，再连接即可.
解：（1）如图，线段即为所求作的线段，
（2）如图，线段即为所求作的线段，
【点评】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键.
【考点】条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，树形图法或列表法求概率
【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；
（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；
（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；
（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%=50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
故答案为：50，72；
（2）B类人数是：50－10－8－20=12名，补全条形统计图如图所示：
（3）名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）所有可能的情况如下表所示：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率．
【点评】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点
【分析】（1）直接利用△=b2﹣4ac，进而利用偶次方的性质得出答案；
（2）首先解方程，进而由|x1﹣x2|=6，求出答案；
（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案．
（1）证明：由题意可得：
△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
=1+25m2﹣10m+20m
=25m2+10m+1
=（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=5，
由|x1﹣x2|=6，
得|﹣﹣5|=6，
解得：m=1或m=﹣；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，
此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，
由题已知，P，Q关于x=2对称，
∴=2，即2a=4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，正确得出方程的根是解题关键．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
解：（1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30） y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由点P的坐标表示出点A．点B的坐标，从而得S△PAB= PA PB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；
（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
解：（1）∵点P（3，4），
∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），
当y=4时，x=，即点B（，4），
则S△PAB= PA PB=（4﹣）（3﹣），
如图，延长PA交x轴于点C，
则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，
∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；
（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，
∴wmax=，
则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，
∴当a=时，Tmin=．
【考点】旋转的性质点，全等三角形的判定与性质
【分析】第一问是个明显的旋转问题，根据旋转的特点，我们能够得出CE=CF，，即是等边三角形； ；，进而：，再有
又由已知DE=CE，知，所以有，这样就能得出
则有AE=BD，所以AB=AE+BE=BD+AF。第(2)问，根据第一问的做法，我们应该像第(1)问那样去证明，全等的条件都是有AF=BE(旋转得出)，DE=EF，这样关键就在于说明。要想说明这两个角相等，我们可以像第(1)问一样去证出，，这样我们就能得出AF∥CD，此时我们需要把BD和EF的交点标示为G点，这样就有，接下来我们可以想办法证明(条件有一个公用角和小角)，这样就得出了，所以就有，也就得出了三角形全等，这样就有AE=BD，所以这时AB=AE-BE=BD-AF。第(3)问画图略过，理由可以参考第(2)问。
【问题提出】证明：由旋转知BE=AF，∠ABC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°. ∴∠AEF+∠BEC=120°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=120°，∴∠AEF=∠BCE.
∵ED=EC，∴∠D=∠ECD. ∴∠AEF=∠D.
∵∠FAC=60°，∠BAC=60°，∴∠EAF=120°.
∵∠ABC=60°，∴∠DBE=120°. ∴∠EAF=∠DBE.
∴△AEF≌△BDE. ∴AE=DB.
∵AB=AE+EB，EB=AF，AE=DB，∴AB=DB+AF.
【类比探究】（1）AB=DB－AF.
解：由旋转知 BE=AF，∠EBC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°，∴∠FEA+∠BEC=60°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=60°，∴∠FEA=∠BCE.
∵DE=CE，∴∠D=∠BCE，∴∠FEA=∠D.
∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°，∠EBC=120°.
∴∠FAC=∠EBC=120°.
∵∠BAC=60°，∴∠FAE=60°.
∴∠FAE=∠DBE.
∵∠FEA=∠D，AF=BE，∴△AEF≌△BDE. ∴AE=DB.
∵AB=AE－BE，AF=BE，
∴AB=DB－AF.
【类比探究】（2）AB=AF－DB.
只画出图3中的一个图即可.
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
A
B
C
DD
E
F
图1
A
B
C
E
D
F
图2
图3
A
B
C
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
图3
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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