苏科版八年级上册期末测试卷
（满分120）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022上·四川乐山·八年级统考期末）已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）
A．1或9 B．3 C．1 D．81
2．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
3．（2022上·山东济南·八年级校考期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（ ）.
A． B． C． D．
4．（2022上·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
5．（2023上·江苏·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点的坐标分别是，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）如图，已知点，，点为轴上一点当最大值时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
7．（2022上·安徽合肥·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组，的解是
8．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，或或
9．（2022上·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点C在的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（2022上·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD=1，则；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD=a，AB+BC+CA＝2b，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022下·江西南昌·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根是 ．
12．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）已知点，则点P不可能在第 象限．
13．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在中，，点是斜边的中点，若，则 ．
14．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是 ．
15．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的中点M的坐标为．若一次函数的图像经过点M，且将分成的两个部分面积之比为，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）（2022上·江苏·八年级期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）求x的值：；
（4）求x的值：．
17．（6分）（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，，；是______三角形；
（2）画出关于x轴对称的；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（8分）（2022上·江苏盐城·八年级统考期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
19．（8分）（2023上·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题：
（1）甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是___________米/分钟；
（2）求图①中的值；
（3）求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？
20．（9分）（2023上·江苏·八年级期末）如图，在中．是边上的中线，交于点．
（1）如下图，延长到点，使，连接． 求证：．
（2）如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由．
（3）如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
21．（12分）（2023上·河南安阳·八年级校考期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A，点B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在第二象限，且，，点 B 的坐标为，点 C的纵坐标为n，满足．
（1）求点A的坐标；
（2）如图②，点D是的中点，点E，F分别是边，上的动点，且，在点E，F移动过程中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点P的坐标.
22．（12分）（2022上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知直线分别与，轴交于点A、，与直线相交于点，点为直线上一点．
（1）______，______；
（2）若点在射线上，且，求点的坐标．
（3）若的面积为1，求点的坐标．
（4）点在函数的图像上，若的面积为（为常数且），试确定满足条件的点的个数（直接写出结果）．
23．（12分）（2023上·江苏南通·八年级统考期末）如图，在中，，，点是直线上一动点（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，．
（1）如图①，当点为线段的中点时，请判断的形状，并说明理由；
（2）连接，．若，求的长；
（3）设，记的面积为，的面积为．请用含的式子表示（直接写出答案）．
苏科版八年级上册期末测试卷
（满分120）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022上·四川乐山·八年级统考期末）已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）
A．1或9 B．3 C．1 D．81
【思路点拨】
首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可．
【解题过程】
解：由题意得：当两数互为相反数时，，
解得：，
，，
则这个正数为9．
当两数相等时，
这个正数是1．
故这个正数为1或9
故选：A．
2．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）已知的三边a，b，c满足，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
【思路点拨】
先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得的值，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【解题过程】
解：，
，
解得，
，
是直角三角形，
故选：A．
3．（2022上·山东济南·八年级校考期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（ ）.
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据一次函数图像与系数的关系确定m的正负，据此即可解答．
【解题过程】
解：A.由函数图像可得中的，函数中的，且y随x的增大而减小，故不符合题意；
B.由函数图像可得中的，函数中的，故符合题意；
C.由函数图像可得中的，函数中的，故不符合题意；
D.函数图像找不到正比例函数的图像，故不符合题意．
故选B．
4．（2022上·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
【思路点拨】
设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案.
【解题过程】
解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是m；
故选：A.
5．（2023上·江苏·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点的坐标分别是，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
过点作于点，与轴交于点，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理可以得出，从而即可得到答案．
【解题过程】
解：如图所示，过点作于点，与轴交于点，
点的坐标分别是，，
，，
，，
，
，
，，
点的坐标为：，
故选：D．
6．（2023上·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）如图，已知点，，点为轴上一点当最大值时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查了轴对称，待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．作关于轴对称点，连接并延长，的延长线与轴的交点即为所求的点；首先利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标．
【解题过程】
解：作关于轴对称点，连接并延长交轴于点，
，
的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为：，，
当，，不共线时，根据三角形三边的关系可得：，
此时取得最大值．
故选：B．
7．（2022上·安徽合肥·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组，的解是
【思路点拨】
由图象交点坐标可得方程组的解，根据图象及点坐标可得不等式和的解，由点坐标可得的值，从而可得直线与轴的交点，从而可得的解集．
【解题过程】
解：由图象可得直线与直线相交于点，
方程的解是，
故选项A正确；
由图象可得当时，，
和的解都是，
故选项B正确；
将代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
时，直线在轴下方且在直线上方，
的解集是．
故选项C正确；
直线与直线相交于点，
方程组的解为，
选项D错误．
故选：D．
8．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，或或
【思路点拨】
本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【解题过程】
解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300千米，故A正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
∴，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得，解得，
∴，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时，故C正确；
乙的速度：，
乙的时间：，
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故B正确；
甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
乙还未出发，甲在时前进了40千米，
乙在甲后面时，，可得，解得，
乙车在甲车前面时，或，解得或．
即在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时， 或或或，故D错误．
故选：D．
9．（2022上·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点C在的平分线上，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拨】
由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；由， 可得，可得 故⑤正确，角边角证明得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定两线，结论②正确；反证法证明命题，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在的平分线上，结论⑦正确．
【解题过程】
解：如图1所示：
∵和是正三角形，
∴，，，
又∵，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴， 故结论①正确；
∵，
∴，
，
，故⑤正确，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，， 故③正确，
∴是等边三角形，故⑥正确
∴，
∴，
∴， 故②正确；
若，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误；
过点C分别作，于点M、N两点， 如图2所示：
∵，，，
∴，
又∵在的内部，
∴点C在的平分线上，故结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：D．
10．（2022上·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD=1，则；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD=a，AB+BC+CA＝2b，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由角平分线的定义结合三角形的内角和可求出∠AOB与∠C的关系，进而判断出①；过点O作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解出OP=1，再根据三角形的面积公式即可判断出②；在AB上取一点H，使BH=BE，证明△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证明△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证明得出④错误．
【解题过程】
解：∵和平分线相交于点O，
∴，，
∴
故①错误；
过O点作于P，
∵BF平分，
∴OP=OD=1
∵AB=4
∴，
故②正确；
∵
∴
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线
∴
∴
∴
∴，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是的角平分线，
∴,
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
作于N，于M，
∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
，
故④错误
故选B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022下·江西南昌·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根是 ．
【思路点拨】
根据根式的非负性可求出，的值，进而可求出答案．
【解题过程】
解：∵，且根号下不能为负，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
12．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）已知点，则点P不可能在第 象限．
【思路点拨】
分别根据四个象限内点的坐标特点建立不等式组，如果不等式组有解则可以在对应的象限，如果不等式组无解则不在对应的象限．
【解题过程】
解：当时，解得，
∴当时，点在第一象限；
当时，解得，
∴当时，点在第四象限；
当时，解得，
∴当时，点在第二象限；
当时，此时不等式组无解，
∴点不在第三象限；
故答案为：三．
13．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在中，，点是斜边的中点，若，则 ．
【思路点拨】
根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形全等的判定与性质得到即可得到答案．
【解题过程】
解：根据题意，作出，连接并延长，使，连接，如图所示：
点是斜边的中点，
，
在和中，
,
，
，
，
，
，
在和中，
,
，
,
,
，
故答案为：．
14．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是 ．
【思路点拨】
连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当三点共线时，最小，在中，勾股定理即可求解．
【解题过程】
解：连接，过点F作交延长线于点，
将绕点顺时针旋转到，
，且，
∴,
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
即点在的角平分线上运动，
点在的延长线上，
当三点共线时，最小，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
15．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的中点M的坐标为．若一次函数的图像经过点M，且将分成的两个部分面积之比为，则k的值为 ．
【思路点拨】
连接，先求出，再根据条件得出，由题意分两种情况讨论：当点C在OB边上，求出点，然后利用待定系数法即可求出k；当点C在OA边上，作辅助线如图，则有，，易求出直线的解析式为，于是设点，求出，然后根据构建方程求出n，进而可得点C坐标，再利用待定系数法即可求出结果．
【解题过程】
解：连接，
∵，点M为AB的中点，
∴，
设满足条件的直线与的另一边边交于点C，由题意分两种情况：
当点C在OB边上，且时，可得，
可得：，
∴，
∴，
∴，
将，代入，
得出：，
解得：；
当点C在OA边上，可得，，如图，则有，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
∴直线的解析式为，
连接，作于点D，于点E，
则，
∴，
∴设点，
则，，
∵，
∴，即，
解得（负值已舍去），
∴点C的坐标是，
把、C代入，
得出：，
解得：；
故答案为：1或．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（2022上·江苏·八年级期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）求x的值：；
（4）求x的值：．
【思路点拨】
（1）根据立方根、算术平方根、乘方的定义解答；
（2）根据零指数幂、立方根的定义解答；
（3）利用平方根解方程；
（4）根据立方根的定义解答．
【解题过程】
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）方程整理得：，
开方得：；
（4）方程整理得：，
开立方得：，
解得：．
17．（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，，；是______三角形；
（2）画出关于x轴对称的；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了坐标系中描点，利用勾股定理的逆定理判定三角形的性质，画对称图形，计算存在性问题．
（1）根据坐标描点，利用两点间的距离公式计算线段的长度，结合勾股定理的逆定理判断即可．
（2）根据对称点的特征量，确定对称点的坐标，再画图即可．
（3）根据坐标描点，利用两点间的距离公式计算线段的长度，结合勾股定理的逆定理判断即可．
【解题过程】
（1）∵，，，画图如下：
∴，，
，
∵，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
（2）∵，，，
∴，，，
画图如上，
则即为所求．
（3）存在这样的点P，且点或点．理由如下：
设点，
∵，，
∴，，
∴，
解得或，
故点或点．
18．（2022上·江苏盐城·八年级统考期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
【思路点拨】
（1）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，再根据时间路程速度即可求得答案；
（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，AD⊥BC，
在中，，
∴，
，
∵BC＝125km，
，
，
∴（小时），
∴从岛返回港所需的时间为3小时；
（2），，
，
，
，
岛在港的北偏西．
19．（2023上·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题：
（1）甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是___________米/分钟；
（2）求图①中的值；
（3）求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？
【思路点拨】
（1）结合图①和图②可知1分钟~2分钟之间，甲运动的距离为米，从而即可求出甲机器人的速度；
（2）利用待定系数法可直接求出直线的解析式．再结合图②求出图①中直线的解析式，最后联立两个直线解析式，求解，其x的值即为a的值；
（3）根据速度=路程÷时间即得出答案．
【解题过程】
解：（1）由图①可知1分钟~2分钟之间，甲机器人运动，乙处于静止，
由图②可知1分钟~2分钟之间，甲运动的距离为米，
∴甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是米/分钟．
故答案为：30；
（2）∵甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30米/分钟，
∴运动5分钟甲机器人的路程为米．
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵运动2分钟甲机器人的路程为米，且此时甲、乙运动的路程差d为40米，
∴运动2分钟乙机器人的路程为米．
∵5分钟时甲、乙运动的路程差d为米，
∴运动5分钟乙机器人的路程为米．
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
由题意可知点C表示，两机器人相遇，
∴联立，解得：，
∴图①中的值为；
（3）由（2）可知乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米/分．
∵运动2分钟乙机器人的路程为20米，且1分钟~2分钟之间，乙处于静止，
∴0分钟~1分钟之间乙机器人的路程为20米，
∴乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米/分．
20．（2023上·江苏·八年级期末）如图，在中．是边上的中线，交于点．
（1）如下图，延长到点，使，连接． 求证：．
（2）如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由．
（3）如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（）利用可得；
（）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可；
（）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到，
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【解题过程】
（1）证明：在和中，
∴；
（2）解：，理由如下：
延长到点，使，连接，如图
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中
∴
∴，
∴；
（3），理由如下：
延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图，
由（）得，，
∴，，，
∴，，
∴ ，
在和中，
，
∴
∴，
∴．
21．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A，点B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在第二象限，且，，点 B 的坐标为，点 C的纵坐标为n，满足．
（1）求点A的坐标；
（2）如图②，点D是的中点，点E，F分别是边，上的动点，且，在点E，F移动过程中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点P的坐标.
【思路点拨】
（1）过点A作x轴垂线，过点C作y轴垂线，延长，与交于M，证明，得出，求出，即可求出结果；
（2）连接，证明即可得出结论；
（3）过A作垂线，使 延长,使分别过向x轴作垂线，垂足为G，K，证明，，得出，，求出，，得出，即可．
【解题过程】
（1）解：，
，
∴点，
过点A作x轴垂线，过点C作y轴垂线，延长，与交于M，则，
∴，，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
，
∴点A的坐标为；
（2）解：四边形的面积是定值；理由如下：
连接，
∵，D为的中点，，
∴，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴；
（3）解：过A作垂线，使 延长,使分别过向x轴作垂线，垂足为G，K，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴满足条件的点的坐标为或．
22．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知直线分别与，轴交于点A、，与直线相交于点，点为直线上一点．
（1）______，______；
（2）若点在射线上，且，求点的坐标．
（3）若的面积为1，求点的坐标．
（4）点在函数的图像上，若的面积为（为常数且），试确定满足条件的点的个数（直接写出结果）．
【思路点拨】
（1）根据题意，将点代入到，通过计算得n，再根据一次函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；
（2）根据题意，推导得，根据坐标和一次函数的性质，得点P纵坐标绝对值，设，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；
（3）根据三角形面积关系、一次函数的性质，分点在BC上、点在AC上、在x轴下侧、y轴左侧四种情况分析，即可得到答案；
（4）过点A作轴，根据一次函数图象和绝对值的性质，得函数的图象关于直线对称；结合（3）的结论，分、、三种情况， 结合函数的图象的性质分析，即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：∵直线与直线相交于点
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图，
∵，，
∴，
∴点P和点C的纵坐标绝对值相等，符号相反，
∵，点P和点C均在直线上，
∴点P纵坐标绝对值，
设，
∴，
∴，
∴；
（3）当点在BC上，如图：
∵直线与轴交于点，
∴当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点横坐标为，
∴，
∴，
把代入直线，
得，
∴；
若点在AC上，如图，
∵直线与轴交于点A，
∴当时，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点纵坐标为，
∴，
∴，
把代入直线，
得，
∴；
∵，
∴点在x轴下侧、或y轴左侧时，的面积为1不成立，
∴或；
（4）根据（3）的结论，得：，
如图，过点A作轴，
函数的图像关于直线对称，
当时，，
∴点分别在线段BC和线段AC上，
如下图：
∵函数的图像关于直线对称，
∴点有4个；
当时，得：，
∴点在线段BC上或点和点重合，
如下图：
∵函数的图像关于直线对称，
∴点有3个；
当时，得：，
∴点在点C左侧，
∵函数的图像关于直线对称，
∴点有2个，
综上，当时，点有4个，当时，点有3个；当时，点有2个．
23．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）如图，在中，，，点是直线上一动点（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，．
（1）如图①，当点为线段的中点时，请判断的形状，并说明理由；
（2）连接，．若，求的长；
（3）设，记的面积为，的面积为．请用含的式子表示（直接写出答案）．
【思路点拨】
（1）由已知可得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据轴对称的性质可得，，得出，可得结论；
（2）分两种情况解答；
（3）分三种情况解答．
【解题过程】
（1）证明：为等腰直角三角形，
∵在中，，，
又∵为线段中点，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴有以下两种情况：
①当在上时，如图，
∵，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，
在中，；
②当在延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
在中，．
综上所述，的长为或．
（3）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴有以下三种情况：
①当在上时，
如图，过点作于点，
∴是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，
∴，
∴的面积：
，
的面积，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积：
，
∴；
②当在延长线上时，
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，
∴的面积：
，
的面积，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积：
，
∴；
③当点在线段延长线上时，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，
∴，
∴的面积：
，
的面积，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积：
，
∴．
综上所述：当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段延长线上时，．
