2023-2024高一年级12月学情检测
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则，，大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列结论中错误的是（ ）
A. 终边经过点角的集合是
B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
C. ，，则；
D. 若是第三象限角，则是第二象限角．
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A. B. C. D.
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 函数的零点有2个
C. 用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1
D. 函数在上只有一个零点，且该零点在区间上
6. “碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：，）
A. 13年 B. 14年 C. 15年 D. 16年
7. 已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若关于的方程有 个不等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每题4分，共16分，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，有错选的得0分，部分选对得2分）
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
11. 若正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知奇函数是定义在R上的减函数，且，若，则下列结论成立的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13. 计算：______.
14. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是___________________．
15. 已知函数，若且，则的取值范围是___________．
16. 已知函数，（，a为常数）有3个零点，则实数a的取值范围是_________.
四、解答题（本大题共4小题，共36分）
17. 已知α为第一象限角，且tanα＝.
(1)求的值；
(2)求2sinα－cosα的值.
18. 已知函数（）的最大值与最小值分别为3和．求a的取值范围．
19. 已知函数是奇函数.
（1）求的值，判断的单调性并用定义证明之﹔
（2）解不等式：.
20. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足．
（1）求函数和解析式；
（2）求函数，的最小值．
2023-2024高一年级12月学情检测
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义可得.
【详解】因为，又，
所以.
故选：B
2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,即可比较大小.
【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知
所以
故选:D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数值大小的比较,属于基础题.
3. 下列结论中错误的是（ ）
A. 终边经过点的角的集合是
B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
C. ，，则；
D. 若是第三象限角，则是第二象限角．
【答案】D
【解析】
【分析】根据终边相同的角的集合的概念以及特征可判断AC；定义根据角的概念可判断B；由象限角的概念可判断D.
【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线，
即角的集合是，故A正确；
将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故B正确；
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，故C正确；
由于为第三象限角，所以，
故，所以是第二或第四象限角，故D错误；
故选：D
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ，选B.
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 函数的零点有2个
C. 用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1
D. 函数在上只有一个零点，且该零点在区间上
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定判断A，根据指数函数和二次函数的图象判断B，根据二分法的性质判断C，根据零点存在性定理及函数单调性判断D.
【详解】选项A：命题“，都有”的否定是“，使得”，选项A错误；
选项B：函数的零点的个数即与图象交点的个数，
根据图象可知函数的零点有3个，选项B错误；
选项C：因为区间的长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，
次二分后长度为，次二分后长度为，
所以至少需要次二分后，才能使精确度达到，选项C错误；
选项D：由对数函数和反比例函数的单调性可知在上单调递增，
又，，
所以由零点存在性定理可知函数在上只有一个零点，且该零点在区间上，选项D正确；
故选：D
6. “碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：，）
A. 13年 B. 14年 C. 15年 D. 16年
【答案】D
【解析】
【分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程.
【详解】由题意可得，即，所以，
令，即，故，即，
可得，即．
故选：D
7. 已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对任意的，存在，使得，只需要即可.
【详解】对任意的，存在，使得，则，
因为当时，单调递增，所以，
又因当时，单调递减，所以，
所以由解得，
故选：A.
8. 已知函数，若关于的方程有 个不等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
画出的图象，如图，设，原方程化为，①
由图知，要使方程 个不等的实数根方程，
只需在有上有两个不等的根，则，
解得，故选C.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
二、多选题（本大题共4小题，每题4分，共16分，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，有错选的得0分，部分选对得2分）
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】直接用幂函数，对数函数的性质即可.
【详解】对于A，因为，所以幂函数在上是增函数，
又，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，所以幂函数在上是减函数，
又，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，故C错误；
对于D，由选项C可知，又，
所以，所以，故D错误；
故选：AB
10. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】分类讨论求出不等式的解集，进而确定出的取值范围即可．
【详解】不等式可化为，显然，
当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得，
当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则，解得，
因此的取值范围是,,，
故选：BCD．
11. 若正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质判断四个选项即可.
【详解】A选项：由，所以当且仅当时等号成立，所以，故A正确；
B选项：因为，故B正确；
C选项：，当且仅当时等号成立，故C错误；
D选项：因为，所以，所以，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知奇函数是定义在R上的减函数，且，若，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据为奇函数且单调递减，得到，即可判定AC，代入结合函数的奇偶性即可判定B,根据奇函数的性质即可判断D．
【详解】为奇函数，则，
所以，
因为在R上单调递减，，故，
所以，A错误，C正确；
,B正确；
因为为R上的奇函数，所以，即，D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13. 计算：______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解.
【详解】
，
故答案为：
14. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数复合函数的单调性即可求解.
【详解】为开口向上，且对称轴为的二次函数，要使（且）在上是减函数，则需满足：
或，解得，
故答案为：
15. 已知函数，若且，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
分析】
【详解】作出函数的图象，如图所示．
∵时，，∴，即，则，∴，且，∴，即的取值范围是，故答案为.
16. 已知函数，（，a为常数）有3个零点，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】确定函数解析式，当时有1个零点，当时有2个零点，解得答案.
【详解】，函数有3个零点，
当时有1个零点，故或，
解得或；
当时有2个零点，，故，解得；
综上所述：.
故答案为：.
四、解答题（本大题共4小题，共36分）
17. 已知α为第一象限角，且tanα＝.
(1)求的值；
(2)求2sinα－cosα的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分子分母同除以，利用同角三角函数的商数关系化弦为切，代入计算即得；
（2）根据利用商数关系得到，结合平方关系，并注意到角所在的象限，解方程组求得α的正余弦，进而得解.
【详解】（1）原式.
（2）因为，所以.
又，所以.
因为为第一象限角，所以，，
故
18. 已知函数（）的最大值与最小值分别为3和．求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】应用对数运算性质得，换元法令，结合二次函数性质求最值对应的，进而求参数范围.
【详解】，
令，则可化为，
函数的最大值与最小值分别为和，
所以或时；时，
又，则，故，
∴，解得，
∴的取值范围为
19. 已知函数是奇函数.
（1）求的值，判断的单调性并用定义证明之﹔
（2）解不等式：.
【答案】（1），是上的递增函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的定义域是和奇函数的定义得，可解得，得出函数的解析式，先将函数的解析式变形为，判断出的单调性.再取，且，作差，并判断其符号，可得证函数的单调性；
即，故是上的递增函数.
（2）利用对数函数的单调性解得不等式为，再由绝对值不等式，指数不等式求得原不等式的解集．
【详解】（1）由已知得函数定义域是，则有，所以，解得，即，此时满足题意.
，由此可判断出是上的递增函数.
以下用定义证明：，且，则，
所以，
即，故是上的递增函数.
（2）由得，所以或，
即：或或或，
所以不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，单调性，指数函数，对数函数的综合应用，解决的关键在于运用函数的单调性，奇偶性，层层转化不等式求解．
20. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足．
（1）求函数和的解析式；
（2）求函数，的最小值．
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题意可求出函数和的解析式；
（2）求出的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值.
【小问1详解】
由定义在R上的奇函数和偶函数，则，，
∵①，
∴，即②，
联立①②解得：，.
【小问2详解】
，
令，可知在上单调递增，则，
又，
令，
当，即时，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，在时单调递增，
则；
当，即时，在时单调递减，则；
综上，当时，的最小值为0；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为．
