浏阳市2024届高三12月份联考数学试卷
学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数．已知，则下列数是的同部复数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．任取实数，使得
C．是的充分条件
D．命题“”的否定为“”
4．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。在1895年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（素数即为质数，，计算结果取整数）（ ）
A．768 B．668 C．445 D．145
5．已知定义在R上的偶函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
6．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，（ ）
A．2017 B． C．4034 D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为
11．若函数的部分图象如图，则（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数
C．在上单调递减
D．的图象的对称中心为
12．已知函数．数列满足函数的图像在点处的切线与轴交于点，且，则下列结论正确是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．定义在R上的函数满足，且当，则______．
14．在的展开式中，项的系数为______．
15．设数列的前项和为，已知，则______．
16．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知向量．
（1）若，求的值；
（2）记函数，求函数的最大值和最小值以及相应的值．
18．（本小题12分）
为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进入物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生、学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告．
（1）若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B，求，；
（2）根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天分别为高一、高二、高三学生和全体教师做4场事迹报告，记这4场事迹报告中做报告的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（本小题12分）
某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题12分）
已知数列的前项和为，满足．数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围．
21．（本小题12分）
已知在中，角所对的边分别为，其中为钝角，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为6，求的周长．
22．（本小题12分）
已知．
（1）讨论的単调性：
（2）当时，证明对于任意的成立．
浏阳市2024届高三12月份联考数学试卷参考答案
1．D 2．B 3．D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．C 9．AC 10．AC 11．AC 12．ABD
13． 14．32 15．960 16．
17．解：（1）因为，
所以．
若，
则，与矛盾，
故．
于是，
又，所以．
（2）
．
因为，
所以，
从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
18．解：（1）根据题意可知，．
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率，则．
根据条件概率公式可知，．
（2）被抽取的4次中男生人数的可能取值为0，1，2，3，4，且，
故对应概率为；
；
；
；
．
故的分布列：
0 1 2 3 4
根据二项分布的期望公式可知，．
19．解：（1）取的中点，连接，如图所示，
四边形是矩形，且，
为线段与的中点，，且，
由图1可知，且，且，
在图2中，且，
且，
四边形是平行四边形，，
又平面平面，
平面．
（2）由图1可知，，折起后在图2中仍有，
即为二面角的平面角，
，
以为坐标原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，
则，
又，
平面点在平面上，
为平面的一个法向量，
又，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，取得，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）数列的前项和为．
当时，，所以．
当时，，两式相减得，
则数列为首项，公比的等比数列，
故．
由，两边同除以，得，
从而数列为首项为1，公差的等差数列，则，
故．
（2）由（1）得，
于是，
所以，
两式相减得，
所以，8分
由（1）得，
因为任意的，都有，即恒成立，所以恒成立，
记，所以，
因为，
从而数列为递增数列，
所以当时取最小值，
于是．
21．解：（1）依题意，有，
由正弦定理，得，
则．
，
为钝角，（舍去），
，
即，
为钝角，为锐角，（舍去），即．
（2）；
，
．
由正弦定理，得
的面积，解得，
由正弦定理，得，
的周长为．
22．解：（1），
由，可得或，
①当时，，
或时，时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，
时，在单调递增．
③当时，，
或时，时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由（1）知，时，，
记，
①当时，，
记，
在上单调递增，
又，
存在使得，即，
当时，单调递减
当时，单调递增
，
在上单调递减，，
，
，又，
，即，
②当时，令，
，
于是，
，
又，
设，则在上单调递减，又，
存在，使得，且时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减
又，
．
综上①②，故，即对于任意的成立．
