一元函数的导数及其应用 检测卷
1.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
2.已知a,b为正实数,直线与曲线相切,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数若函数有三个零点，则( )
A. B. C. D.
4.已知m是方程的一个根，则( )
A.1 B.2 C.3 D.5
5.已知函数及其导函数的定义域均为R,且是奇函数,记,若是奇函数,则( )
A.2 B.0 C. D.
6.若函数有两个极值点,,且,则( )
A. B. C. D.
7.（多选）下列求导运算错误的是( )
A. B.
C. D.
8.（多选）已知函数,则下列说法正确的是( )
A.方程恰有3个不同的实数解
B.函数有两个极值点
C.若关于x的方程恰有1个解,则
D.若,且,则存在最大值
9.过点与曲线相切切线方程为___________.
10.已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是______.
11.已知在函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是______.
12.已知函数.
（1）求函数的极值;
（2）若函数的最小值为0,,为函数的两个零点,证明:;
（3）证明:对于任意,.
答案以及解析
1.答案：D
解析：,,
,的单调递增区间为
2.答案：D
解析：函数的导函数为,令,解得,所以切点为,代入,得,
a、b为正实数,,
则,
令,,则,
则函数在上单调递增,所以,即,
.
故选：D.
3.答案：C
解析：由题意，与图象有三个交点，
当时，，则，
在上，递增，在上，递减，
时，有最大值，
且在上，在上.
当时，单调递增，
图象如下
由图知：要使函数有三个零点，则.
故选：C.
4.答案：B
解析：，
设，则恒成立，故单调递增，
由得，即.
因为m是方程的一个根，所以，所以，所以，故选B.
5.答案：B
解析:因为是奇函数,所以,
两边求导得,
即,
又,
所以,即,
令,可得,
因为是定义域为R的奇函数,所以,即.
因为是奇函数,
所以,又,
所以,则,,
所以4是函数的一个周期,
所以.
故选:B.
6.答案：C
解析:因为函数有两个极值点,,
又函数的定义域为,导函数为,
所以方程由两个不同的正根,且,为其根,
所以,,,
所以,
则
,
又,即,可得,
所以或(舍去),
故选:C.
7.答案：ABC
解析：对于A,,A不正确;
对于B,,B不正确;
对于C,,C不正确;
对于D,,D正确.
故选:ABC
8.答案：ABD
解析：由已知
由方程得或或,
由图可知,无解,无解,有3个解,故A正确;
由图可知,和是函数的两个极值点,故B正确;
若方程数恰有1个零点,即函数与的图象仅有一个交点,可得或,故C错误;
由,
则,,,则,
设,则,
设,显然在上单调递增,且,,
所以存在,使,且当时,,单调递增,
当时,,单调递减,所以存在最大值,故D正确.
故选ABD.
9.答案：
解析：设切点为,则,
得,则切点为,
切线方程为,即.
故答案为:.
10.答案：
解析：求导函数，可得，，，，
在上单调递增，
，
对任意的，，都有成立，
，
，
故答案为：.
11.答案：.
解析：设上一点坐标,
则其关于y轴对称的点为,
若该点在函数上,则有,
故有,
令,则,
令,,所以在上单调递减,
又时,,,即此时单调递减,
时,,,即此时单调递增,
所以,所以.
故答案为:.
12.答案：（1）有极小值为,无极大值
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）(),,
若时,则恒成立,
在上单调递增,故没有极值;
若,则当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
有极小值,极小值为,无极大值.
（2）由（1）可知,当时,有最小值,,
由函数的最小值为0,得,
由题知,
,,
,
,,
,(),
令,则,
令,则在上单调递增,
又,在上,,,单调递减,
在上,,,单调递增,
,
得证.
（3）由（1）,最小值为,
所以,
令,,可得,又在时,单调递增,
所以当时,
对于任意,可得,
,
,
,
,
以上各式相加可得,
可得成立.
