安宁河联盟 2023～2024学年度上期高中 2022级期末联考
数 学
考试时间共 120分钟，满分 150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用 0.5毫米黑
色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，
超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知点 B是点 A(1,6,2)在坐标平面 yoz内的射影，则OB =
A．(1,0,2) B．(1,0,0)
C．(0,6,2) D．(1,6,0)
2．设一组样本数据 x1, x2 , , xn 的平均数为 1，则数据 3x1 +1,3x2 +1, ,3xn +1的平均数为
A．1 B．3 C．4 D．9
3．已知点M 2, 0 , N 2,0 ，动点 P满足条件 PM PN 2，则动点 P的轨迹方程为
x2 2A x． y2 1 x 3 B． y2 1 x 33 3
y2 2C． x2 1 x 1 D． x2 y 1 x 1
3 3
4．一个盒子中装有标号为 1,2,3,4的 4张号签，从中随机地选取两张号签，事件 A = “取
到标号为 1和 3的号签”，事件 B = “两张号签标号之和为 5”，则下列说法正确的是
2
A． A与 B互斥 B． A与 B独立 C． A与 B对立 D． P(B) = 3
y2 25 x．设椭圆C： 1的焦点分别为 F ,F ，过 F 的直线与椭圆相交于 A , B两点，则
16 12 1 2 2
ABF1的周长为
A．6 B．8 C．10 D．16
6．某学校高一高二年级共 1000人，其中高一年级 400人，现按照年级进行分层随机抽
样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为165cm，170cm和
样本方差分别为 3， 4，则总体方差 S 2 =
A．18.5 B．19.2 C．19.4 D． 20
高中 2022 级数学试题 第 1页（共 4 页）
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x2 y27．椭圆C： 1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1,F2 2 2，点 P是椭圆上一点,Oa b
为坐标原点．若 PF1 3， |OP |
10
， F1PF2 90
，则椭圆C的离心率为
2
A 10 B 5． ． C 13． D 15．
4 4 4 4
8．如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，E,F分别是
棱 AB,BC 上的动点，且 AE BF，当 A1,E,F ,C1四点共面时，
点 E到平面C1DF 的距离为
A． 6 B． 2 6 C． 2 3 D．3
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．下图为某地 2014年至 2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是
A．这 10年粮食年产量的极差为 15
B．这 10年粮食年产量的第 65百分位数为 33
C．这 10年粮食年产量的中位数为 29
D．前 5年的粮食年产量的方差大于后 5年粮食年产量的方差
10．以下四个命题正确的是
A x
2 y2
．双曲线 x2 15y2 15与椭圆 1的焦点不同
25 9
2 2
B．F1， F
x y
2为椭圆 1的左、右焦点，则该椭圆上存在点 P满足 S 24 3 PF1F2
2 2
C C x y．曲线 ： 1的渐近线方程为 y 3x
4 12
2 2
D x y．曲线C： 1，“曲线C是焦点在 x轴上的椭圆”是“1 k 2”的充要
3 k k 1
条件
高中 2022 级数学试题 第 2页（共 4 页）
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
11．已知直线 l :m x 1 y 2 0和圆C : x 1 2 y 2 2 9相交于M ,N 两点，则
下列说法正确的是
A．直线 l过定点 1, 2
B． MN 的最小值为 5
C．CM CN的最小值为 9
3
D．圆C上到直线 l的距离为 的点恰好有三个，则
2 m 7
12. 在 直 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 ， 底 面 ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 满 足
AB AC AA1 2，点 P 满足 B1P B1C1 B1B，其中 0,1 ， 0,1 ，则
下列说法正确的是
A．当 1时， A1B1P的面积 S的最大值为 2 2
B．当 1时，三棱锥P AB1C1的体积为定值
C．当
1
时， AP的最小值为2 3
1
D．当 时，不存在点 P ，使得 A1P BP2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．直线 l1 : x ay 2 0 ， l2 : a 1 x 2y a 0 ，当直线 l1 与 l2 垂直时，
a _________．
1 1
14．甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为 , ，则两人中至少有一人获
2 4
胜的概率为_________．
15．点(3,4)关于直线 l : x + y +1 = 0的对称点的坐标为_________．
16．已知 A是圆C : x2 y2 9上一点，过点 A作垂直于 x轴的直线，垂足为 B，点 P
满足 AB 3AP．若点 F1 5,0 ，F2 5,0 1 1，则 PF PF 的取值范围是_________．1 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线 l的倾斜角为 ， cos 1 3，且这条直线经过点
2 A( ,2)
.
3
（1）求直线 l的方程.
（2）直线 kx y 1 3k 0恒过定点 B，求点 B到直线 l的距离.
高中 2022 级数学试题 第 3页（共 4 页）
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18．2023年中国田协召开了 2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管
理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为 8个：34岁以下组、35-39岁组、
40-44岁组、45-49岁组、50-54岁组、55-59岁组、60-64岁组、65岁以上组.现抽取
了 1000名年龄在 35-64 岁的参赛人员，得到各年龄段
人数的频率分布直方图如下：
（1）求图中a的值，并估计这 1000人年龄的中位数；
（2）用分层抽样的方法从年龄在 44,54 内的人数中抽
取一个容量为 5的样本，再从样本中任意抽取 2
人，求这两人中至少一人的年龄在 49,54 中的概率.
19．将长方体 ABCD A1B1C1D1沿截面 A1DC1截去一个三棱锥后剩
1
下的几何体如图所示，其中 AB AD AA ，M ,N 分别是
2 1
AB, A1B1的中点.
（1）求证： NC1 //平面 A1MC；
（2）求直线C1M 与平面 A1MC所成角的正弦值.
20．如图，已知圆C : x2 y2 4x 4y 0，点 A(0,2) .
（1）求圆心在直线 y x上，经过点 A且与圆C相外切的圆 N
的方程；
（2）若过点 A的直线 l与圆C交于 P,Q两点，且圆弧 P Q恰为
1
圆C周长的 ，求直线 l的方程.
4
x2 121．过椭圆C ： y2 1内一点M 1, 引一条弦，使该弦被点M 平分．
4 2
（1）求该弦所在的直线方程；
（2）求该弦的弦长．
x2 y222．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的右顶点 A( 2,0)，过点 B( 1,0)a b
的直线 l与椭圆C交于M ,N 两点（M ,N 异于点 A），当直线 l与
x轴垂直时， MN 2．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）求 AMN 面积的取值范围．
高中 2022 级数学试题 第 4页（共 4 页）
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安宁河联盟 2023～2024学年度上期高中 2022级期末联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D A D B A A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9 10 11 12
ABC CD AC ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
1 5
13． 14．
3 8
2 3
15 ．(-5,-4) 16． , 3 2
三、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）由题可得 cos 1 ， 0， ，则 tan - 3 ……………………2分
2
3直线 l的斜率 k 3，且直线过点 A( ,2)，
3
3由直线的点斜式方程得 l： y 2 3(x ) ……………………4分
3
即 3x y 3 0， 所求直线 l的方程为： 3x y 3 0 ……………………5分
（2） 直线 kx y 1 3k 0化简得： k(x 3) y 1 0
定点 B( 3,1) ……………………7分
3 3 1 3
则点 B( 3,1)到直线 l： 3x y 3 0 1的距离 d ……………9分
( 3)2 12 2
B 1到直线 l的距离为 ……………………10分
2
18．（12分）
解：（1）由题可得（0.01＋0.02×2＋ a＋0.05＋0.06）×5=1 a 0.04 ……………2分
34,44 的频率为（0.02＋0.05）×5=0.35<0.5，
34,49 的频率为 0.35＋0.06×5=0.65>0.5，
中位数在 44,49 之间，设中位数为 x，则 0.35＋( x -44)×0.06=0.5
x =46.5 ……………………4分
中位数为 46.5. ……………………5分
1
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（2） 44,49 的频率为 0.06×5=0.3， 49,54 的频率为 0.04×5=0.2
这两组的频率之比为 3:2
3
44,49 抽取的人数为：5 3（人），记为 A
5 1
， A2， A3
249,54 抽取的人数为：5 2（人），记为 B1， B2 ………………8分5
则 5人中抽取 2人的基本事件包含：
（A1, A2）（A1, A3）（A1,B1）（A1,B2）（A2 , A3）（A2 ,B1）（A2 ,B2）（A3,B1）（A3,B2）（B1,B2）共 10种，
其中至少 1人在 49,54 的基本事件包含：
（A1,B1）（A1,B2）（A2 ,B1）（A2 ,B2）（A3,B1）（A3,B2）（B1,B2）共有 7种. …………10分.
7这两人中至少 1人的年龄在 49,54 中的概率为 P . ………………12分
10
19．（12分）
解：（1）连接MN，如图所示，
长方形 ABB1A1中，M，N分别是 AB， A1B1的中点，
MB NB1且MB//NB1， 四边形MBB1N 为平行四边形，
MN=BB1且MN //BB1，又 长方体中CC1=BB1且CC1 //BB1，
CC1=MN且CC1 //MN ，
四边形MCC1N 为平行四边形，得MC //NC1 . ………………3分
又 MC 平面 A1MC， NC1 平面 A1MC，
NC1 //平面 A1MC ………………5分
（2）以D点为原点，DA,DC所在直线为 x轴， y轴，以D点为垂足，垂直于平面 ABCD的直线为 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
1
不妨设 AB AD AA1 2，则 A1 2,0, 4 ,M 2,1,0 ,C 0,2,0 ,C1 0,2, 4 ，2
A1M 0,1, 4 ，MC 2,1,0 ， ………………7分
n
A
AMC n x, y, z 1
M y 4z 0
设平面 1 的一个法向量为 ，则有 ，
n MC 2x y 0
r
令 y 4，则 x 2, z 1，即 n 2,4,1 ， ………………9分
设 为直线C1M与平面 A1MC 所成角的角，C1M 2,1,4 ，
2
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
所以 sin cos C M, n
C1M n 4
1 ，
C1M n 21
4
所以直线C1M与平面 A1MC所成角的正弦值为 . ………………12分21
20．（12分）
2 2 2 2
解：（1）由C : x y 4x 4y 0，化为标准方程： x 2 y 2 8 ……………1分
圆C的圆心坐标为C( 2, 2)，又 圆N 的圆心在直线 y x上，
当两圆外切时，切点为O，设圆 N 的圆心坐标为 N (m,m)，
则有 (m 0)2 (m 2)2 (m 0)2 (m 0)2 ………………2分
解得，m 1 ………………3分
圆 N 的圆心坐标为 1,1 ，半径 r 2，
故圆 N 的方程为 x 1 2 y 1 2 2 ………………6分
1
（2） 圆弧 PQ恰为圆C周长的 ， CP CQ ………………7分
4
所以点C到直线 l的距离为 2. ………………8分
当直线 l的斜率不存在时，点 C到 y轴的距离为 2，直线 l即为 y轴，
此时直线 l的方程为 x 0 . ………………9分
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y kx 2，即 kx 2 y 0 .
2k 2 2
2 k 2 k 2 1 3 ，解得 k ………………10分
k 2 1 4
3
此时直线 l的方程 y x 2，即3x 4y 2 0，
4
故所求直线 l的方程为 x 0或3x 4y 2 0 . ……………12分
21．（12分）
解：（1）设过点M 的弦与椭圆相交于 A x1, y1 ,B x2 , y2 两点，
Q M 为 AB的中点， x1 x2 2，y1 y2 1 ………………2分
Q A,B x 2 4y 2又 两点在椭圆上， 1 1 4，x
2 4y 22 2 4
2 2
两式相减得 x1 x2 4 y 21 y 22 0，
即 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 ………………4分
3
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
1
由题意当 x1 x2 时，M 1, 不能平分该弦，因此 x1 x2 ， 2
k y y 1 2 x1 x 2 2 1
x1 x 4 y y 4 2
………………5分
2 1 2
l 1 1AB：y x 1 ，即x 2y 2 0 ………………6分2 2
x 2y 2 0
（2）联立直线与椭圆方程 x2 2 ，得 y
2 y 0， ………………8分
y 1 4
解得 y1 0, y2=1，即 A 2,0 ,B 0,1 ………………10分
AB 2 0 2 0 1 2 5 . ………………12分
22．（12分）
解：（1）依题意， a 2，当直线 l与 x轴垂直时， MN 2，
1 2直线 l 2过点 ( 1, )，于是 2 1，解得 b2 1， ………………3分2 2 4b
x2
椭圆C的方程为 y2 1． ………………4分
2
（2）依题意，直线 l的斜率不为 0， ………………5分
设直线 l的方程为 x ty 1,M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
x ty 1
由 x2 x t 2 2 y2 2ty 1 0 2
y2
消去 整理得 ，且
1 8t 8 0
2
y y 2t , y y 1 1 2 2 1 2 2 ， ………………7分t 2 t 2
AMN S 1 | AB || y y | 1 2 1 y 2 2 1的面积 1 2 1 y 2 4y1y 2 ( 2 t ) 2 4 2 2 2 t 2 2 t 2 2
4 2 2 t2 1 2
2 2 2 t 1 ， ………………9分2 t 2 t2 2
S 2 2 1 2 2
令u 1 t2 1，则 2 1 1
y u 1对勾函数 在[1, )上单调递增， ………………10分
u
1 0 1 1
则u 2， 1 2
2 2
，从而0 S ，当且仅当 t 0时取等号，
u 2
2 2
故 AMN 面积的取值范围为 0, ． ………………12分
2
4
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
解析：
1．【解析】根据题意点 B(0,6,2)，所以OB = (0,6,2) .故选：C.
2.【解析】数据 3x1 +1,3x2 +1, ,3xn +1的平均数为 3x +1，即 4，故选：C.
3.【解析】因为M 2,0 ，N 2,0 ，所以 MN 4，动点 P满足 PM PN 2 MN ，由双曲线
的定义可知，动点 P的轨迹是以M ,N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为
x2 y2
，则有 22 2 1 a 0,b 0 c 2,a 1,b c a 2 3 ，所以动点 P的轨迹方程为a b
x2 y
2
1 x 1 .故选 D.
3
4.【解析】根据题意，选取两张号签用 x, y 表示一次实验结果，则随机试验结果的样本空间
W = {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}， A = {(1,3)}， B = {(1,4)，(2,3)} .
A. A B = ， A B W，所以 A与B互斥，故 A正确；
B. A B = , P(A) 1= ， P(B) 2 1= = ，所以 P(AB) P(A)P(B)， A与B不独立，故 B错误；6 6 3
C. A B = ， A B W，所以 A与B不对立，故 C错误；
P(B) 2 1 2D. = = ，故 D错误.6 3 3
故选：A.
2 2
5. y x【解析】由 1，得 a2 16， a 4，
16 12
所以 ABF 的周长 AF2 BF2 AF1 BF1 4a 16 .故选 D.1
n n 2 3
6. 【 解 析 】 根 据 题 意 ， 总 体 样 本 平 均 数 z = 1 x 21 + x2 = 165 + 170 =168cm ，n n 5 5
2 n 2S n
2
= 1 (x1 - z) + S 21 + 2 (x2 - z) + S 2 22 = (165 -168)2 + 32 3+n n 5 5 (170 -168)
2 + 42 = 19.2 .
故选：B.
7.【解析】由椭圆的几何性质，可知点O是线段 F1F2的中点， F1PF2 90 ，
所以： OP 10 c ，即:4c2 PF
2 2
1 PF2 ， PF1 3，解得： PF2 1，2
所以： 2a PF1 PF2 3 1 4 ，故 a 2，
5
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
10
所以： e c 2 10 ，故选 A.
a 2 4
8．【解析】 AE BF，当 A1,E,F ,C1四点共面时，即E,F分别为 AB,BC的中点，
V 1E C DF VC EDF ，即 d
1
E C DF SC DF dC EDF SEDF .因为 SEDF 6，dC EDF 4，SC DF 4 6 ，所1 1 3 1 1 3 1 1 1
以 dE C1DF 6
9.【解析】A选项，将样本数据从小到大排列为 25,26,27,28,28,30,33,36,37,40，这 10年的粮食年产量极差
为 15，故 A正确；
B选项， i 10 65% 6.5，所以第 65百分位数为第 7个数 33，故 B正确；
28 30
C选项，这 10年的粮食年产量的中位数为 29，故 C正确；
2
D选项，结合图形可知，前 5年的粮食年产量的波动小于后 5年的粮食产量波动，所以前 5年的粮食年产
量的方差小于后 5年的粮食年产量的方差，故 D错误；
故选 ABC.
2
10.【解析】双曲线 x2 15y2 15 x，即 y2 1，则其焦点为 4,0 ， 4,0 ，
15
x2 y2
而椭圆 1的焦点为 4,0 ， 4,0 ，故 A错误；
25 9
x2 y2
椭圆 1，则 a2 4，b2 3，即 c2 a2 b2 1，
4 3
所以 F1 1,0 ， F2 1,0 ，则 F1F2 2，
要使 S△PF F 2
1
，则 F1F2 yP 2，即 yP 2，即点 P的纵坐标为 2或 2即可，1 2 2
而椭圆上的点纵坐标取值范围为 3, 3 ，则不存在点 P满足 S△PF F 2，故 B错误；1 2
x2C : y
2
双曲线 1 b 2 3的渐近线方程为 y x x 3x ，故 C正确；
4 12 a 2
C : x
2 y2
曲线 1，若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，则3 k k 1 0，解得1 k 2，故 D
3 k k 1
正确.
故选 CD.
x 1 0
11.【解析】根据题意 l :m x 1 y 2 0 ，当 时，直线过定点 A 1, 2 ，A正确；
y 2 0
2 2
由题意可知，当 l CA时，圆心到直线 l的距离最大， d 1 1 2 2 2此时 MN 最小，
6
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
所以此时 MN 2 32 22 2 5 ，B错误；
2 CM CN CM CN cos MCN r cos MCN ，因为 cos MCN 的最小值为 1，所以CM CN
的最小值为 9，C正确.
3
C : x 1 2 y 2 2 9，因为圆 C上到直线 l的距离为 的点恰好有三个，所以圆心到直线的距离
2
m 2 m 2
d 3
2 ，则m
3 7
，D错误；
m2 1 2 7
故选 AC.
12.【解析】当 1时， B1P B1C1 B1B，则点 P在CC1上运动，
则当点 P与C重合时，则此时面积取得最大值， AC A 2 21 1C1 CC1 2 2 ,
由于直三棱柱 ABC - A1B1C1，则 A1B1 AA1， A1B1C1为等腰直角三角形，则 A1B1 A1C1，
又 A1C1∩AA1 A1， A1C1， AA1 面 ACC1A1，则 A1B1 面 ACC1A1，
因为 A1C 面 ACC1A1，所以 A1B1 A1C，
则 S A B P S
1
A B C A1B1 A1C 2 2 ，故选项 A正确；1 1 1 1 2
当 1时，则 B1P B1C1 B1B，点 P在 BC上运动，则VP AB1C V1 A PB C ，1 1
由于点 A到平面 B1PC1的距离为定值 2 ，点 P到线段B1C1的距离恒为 2，
1
则 S B PC 2 2 2 2 2
1
，则VP AB C VA PB C 2 2 2
4
，故选项 B正确；
1 1 2 1 1 1 1 3 3
1 1
设 BB1的中点为 H ，CC1的中点为G，当 时， B1P B1C1 B1B，则点 P在线段HG上运动，2 2
因为 AH AG 5， HG B1C1 2 2，所以当点 P运动到线段 HG的中点时， AP HG ,
2
此时 HP 2，所以 APmin 5
2
2 3 ，故选项 C正确；
7
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
1 B P 1
当 时， 1 B1C1 B1B ，2 2
设 BC的中点为M ， B1C1的中点为 N，则点 P在MN上运动，
当点 P与点M 重合时， BM MN， BM A1N ，
又MN A1N N ，MN， A1N 平面 A1MN，则 BM 面 A1MN，
又因为 A1P 面 A1MN，则 BM A1P，
当点 P与点 N重合时， A1N 面 BCC1B1，即 A1P 面 BCC1B1，则 A1P BP，故选项 D错误；
故选：ABC.
13. 【解析】因为直线 l1与 l2垂直，所以 a 1 1 a 2 0 a
1 1
，所以 .故答案为 a .
3 3
1 1 5 5
14. 【解析】1 1 1 . 故答案为 .
2 4 8 8
15. 【解析】根据题意设点(3,4)关于直线 l : x + y +1 = 0对称的点为(a,b)，
ì b - 4
=1
a - 3 ìa = -5
所以 í ，则 í 3,4 l : x + y +1 = 0 -5,-4
a + 3 b + 4 b = -4
.即点( )关于直线 对称的点为( ) .
+ +1= 0 2 2
故答案为(-5,-4) .
16. 【解析】由题意设 P x, y B x,0 3 ，所以 ，因为 AB 3AP，所以 A x, y2 .
3 x2 y2
将点 A x, y 带入圆C : x2 y2 9，则点 P满足椭圆2 E : 1
的方程.
9 4
8
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
1 1 PF1 PF 2a 6 6 6
所以 2 PF1 PF2 PF PF PF1 2 1 2a PF1
PF1 6 PF1 PF 21 6 PF 21 PF ，1 3 9
又 a c PF1 a c，即3 5 PF1 3 5 ，
PF 2 2当 1 3时， PF1 3 9最大，为 ；3
2 3
当 PF1 3 5或3 5时， PF1 3 9最小，为 ，2
2 4 3
2 1 1 3即 3 2 ，即
，
PF1 2 4 2 3 PF1 PF2 2
1 1
2 3 所以 PF PF 的取值范围为 , ．1 2 3 2
9
{#{QQABCYYAoggAQAIAARgCUQE4CAEQkAGACAoGwBAMoAABgBNABAA=}#}
