初中数学浙教版七下精彩练习2.5三元一次方程组及其解法
一、A练就好基础
1．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1，
∴用消元的方法先y比较简便.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.
2．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
3．已知 ，且x+y=3，则z的值为（ ）
A．9 B．-3 C．12 D．不确定
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
∴②-①得：x+y=z+6，
∴3=z+6，
解得z=-3.
故答案为：B.
【分析】观察方程组，利用②-①得：x+y=z+6，再代入 x+y=3， 即可解答.
4．有甲、乙、丙三种商品，如果购买3件甲商品、2件乙商品、1件丙商品共需315元，购买1件甲商品、2件乙商品、3件丙商品共需285元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．50元 B．100元 C．150元 D．200元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一件甲商品为x元，乙商品为y元，丙商品为z元，
则，
由①+②得：4（x+y+z）=600，
∴x+y+z=150.
故答案为：C.
【分析】设一件甲商品为x元，乙商品为y元，丙商品为z元，根据两种情况下的费用之和建立方程组，然后将两方程相加化简，即可解答.
5．解三元一次方程组
具体过程如下：
（ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以
；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵①×2+③，得4a-b=7，而不是4a-2b=7，
∴（2） 错误 .
故答案为：B.
【分析】根据解三元一次方程组的原理分步检查，即可作答.
6．实数x，y，z满足2x+y-3z=5，x+2y+z=-4，请用含x的代数式表示z，即 .
【答案】z=
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：2x+y-3z=5，①
x+2y+z=-4，②
①×2-②得，3x-7z=14，
整理得z= 。
故答案为：z= .
【分析】给等式2x+y-3z=5的两边同时乘以2可得4x+2y-6z=10，然后减去x+2y+z=-4可得3x-7z=14，将不含z的式子移至右边，最后将z的系数化为1即可.
7．（2020七下·仙居期末）为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩，若买6个平面口罩和4个 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个 口罩，则她所带的钱还缺8元，若只买10个 口罩，则她所带的钱还缺 元.
【答案】44
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设平面口罩的单价为x元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为z元，
根据题意得：
（6×② 4×①）÷2，得：10y＝z＋44，
∴10y z＝44．
故答案为：44．
【分析】抓住已知条件：若买6个平面口罩和4个 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个 口罩，则她所带的钱还缺8元，其中隐含了两个未知数，设未知数，列方程组，消去x就可得到10y z＝44，即可求解。
8．已知 = = 且2a+b+c=24，则a-b+c= .
【答案】8
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 = = =k，
∴a=2k，b=3k，c=5k，
∴2a+b+c=4k+3k+5k=24， 即12k=24，
∴k=2，
∴a-b+c=2k-3k+5k=4k=8.
故答案为：8.
【分析】设 = = =k，把a、b、c分别用k表示出来，代入2a+b+c=24，求出k，则可求出a、b、c值，即可解答.
9．若|x-2|+|3x-6y|+（3y+z）2=0，则x+y+z的值为 .
【答案】0
【知识点】三元一次方程组解法及应用；有理数的加法；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意，得 ，解得
所以x+y+z=2+1+（-3）=0
故答案为：0.
【分析】根据绝对值的非负性以及偶次幂的非负性可得x-2=0，3x-6y=0，3y+z=0，联立求解可得x、y、z的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
10．解方程组.
（1）
（2）
【答案】（1）解：+②得：2x=-2，
∴x=-1，
②-③得：-2z=-10，
∴z=5，
把x、z的值代入①得-y=-2，
∴y=2，
∴原方程组的解是.
（2）解：①-③得2x-2y=-2，④
①+②得5x+2y=16，⑤
④+⑤得7x=14，∴x=2，
把x=2代入④中，得4-2y=-2，
∴y=3
把x=2，y=3代入③中，得2+3+z=6，
∴z=1
所以原方程组的解是
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】(1)直接利用加减消元法解三元一次方程组即可；
(2)先利用加减消元法消去未知数z，得出关于x、y的方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可解答.
二、B更上一层楼
11．已知实数x，y，z且x+y+x≠0，x= ，z= ，则下列等式成立的是（ ）
A．x2-y2=z2 B．xy=z C．x2+y2=z2 D．x+y=z
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x= ，
∴2x=x+y-z，
∴y=x+z.
∵z=
∴2x=x-y+z，
∴y=x-z
∴x+z=x-z
∴z=0
把z=0代入z= 中得x=y，
∵x+y+z≠0，
∴x=y≠0
x2-y2=x2-x2=0=z2，所以A选项正确，符合题意；
xy≠0，z=0，所以B选项错误，不符合题意；
x2+y2≠0，z2=0，所以C选项错误，不符合题意.
x+y≠0，z=0，所以D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得2x=x+y-z，2x=x-y+z，化简可得y=x+z，y=x-z，推出z=0，则x=y≠0，据此判断.
12．在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值.
【答案】（1）解：由已知，得 ，解得
（2）解：由（1）得y=x2-x+2，
当x=-2时，y=4+2+2=8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】(1) 根据y=ax2+bx+c ，根据题意得出关于a，b，c的三元一次方程组求解即可；
(2)利用(1)的结果得出 y=x2-x+2， 把x=-2代入等式中计算，即可求出结果.
13．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需6元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需8元.求购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元.
【答案】设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，依题意得
3×①-②得，11x+5y+2z=10.
答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需10元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，根据“购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需6元”可得方程7x+3y+z=6；根据“购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需8元 ”可得方程10x+4y+z=8，利用第一个方程的3倍减去第二个方程可得11x+5y+2z的值，据此解答.
14．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
，解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可.
三、C开拓新思路
15．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
初中数学浙教版七下精彩练习2.5三元一次方程组及其解法
一、A练就好基础
1．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
2．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
3．已知 ，且x+y=3，则z的值为（ ）
A．9 B．-3 C．12 D．不确定
4．有甲、乙、丙三种商品，如果购买3件甲商品、2件乙商品、1件丙商品共需315元，购买1件甲商品、2件乙商品、3件丙商品共需285元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．50元 B．100元 C．150元 D．200元
5．解三元一次方程组
具体过程如下：
（ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以
；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
6．实数x，y，z满足2x+y-3z=5，x+2y+z=-4，请用含x的代数式表示z，即 .
7．（2020七下·仙居期末）为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩，若买6个平面口罩和4个 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个 口罩，则她所带的钱还缺8元，若只买10个 口罩，则她所带的钱还缺 元.
8．已知 = = 且2a+b+c=24，则a-b+c= .
9．若|x-2|+|3x-6y|+（3y+z）2=0，则x+y+z的值为 .
10．解方程组.
（1）
（2）
二、B更上一层楼
11．已知实数x，y，z且x+y+x≠0，x= ，z= ，则下列等式成立的是（ ）
A．x2-y2=z2 B．xy=z C．x2+y2=z2 D．x+y=z
12．在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值.
13．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需6元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需8元.求购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元.
14．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
三、C开拓新思路
15．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1，
∴用消元的方法先y比较简便.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
∴②-①得：x+y=z+6，
∴3=z+6，
解得z=-3.
故答案为：B.
【分析】观察方程组，利用②-①得：x+y=z+6，再代入 x+y=3， 即可解答.
4．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一件甲商品为x元，乙商品为y元，丙商品为z元，
则，
由①+②得：4（x+y+z）=600，
∴x+y+z=150.
故答案为：C.
【分析】设一件甲商品为x元，乙商品为y元，丙商品为z元，根据两种情况下的费用之和建立方程组，然后将两方程相加化简，即可解答.
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵①×2+③，得4a-b=7，而不是4a-2b=7，
∴（2） 错误 .
故答案为：B.
【分析】根据解三元一次方程组的原理分步检查，即可作答.
6．【答案】z=
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：2x+y-3z=5，①
x+2y+z=-4，②
①×2-②得，3x-7z=14，
整理得z= 。
故答案为：z= .
【分析】给等式2x+y-3z=5的两边同时乘以2可得4x+2y-6z=10，然后减去x+2y+z=-4可得3x-7z=14，将不含z的式子移至右边，最后将z的系数化为1即可.
7．【答案】44
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设平面口罩的单价为x元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为z元，
根据题意得：
（6×② 4×①）÷2，得：10y＝z＋44，
∴10y z＝44．
故答案为：44．
【分析】抓住已知条件：若买6个平面口罩和4个 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个 口罩，则她所带的钱还缺8元，其中隐含了两个未知数，设未知数，列方程组，消去x就可得到10y z＝44，即可求解。
8．【答案】8
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 = = =k，
∴a=2k，b=3k，c=5k，
∴2a+b+c=4k+3k+5k=24， 即12k=24，
∴k=2，
∴a-b+c=2k-3k+5k=4k=8.
故答案为：8.
【分析】设 = = =k，把a、b、c分别用k表示出来，代入2a+b+c=24，求出k，则可求出a、b、c值，即可解答.
9．【答案】0
【知识点】三元一次方程组解法及应用；有理数的加法；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意，得 ，解得
所以x+y+z=2+1+（-3）=0
故答案为：0.
【分析】根据绝对值的非负性以及偶次幂的非负性可得x-2=0，3x-6y=0，3y+z=0，联立求解可得x、y、z的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
10．【答案】（1）解：+②得：2x=-2，
∴x=-1，
②-③得：-2z=-10，
∴z=5，
把x、z的值代入①得-y=-2，
∴y=2，
∴原方程组的解是.
（2）解：①-③得2x-2y=-2，④
①+②得5x+2y=16，⑤
④+⑤得7x=14，∴x=2，
把x=2代入④中，得4-2y=-2，
∴y=3
把x=2，y=3代入③中，得2+3+z=6，
∴z=1
所以原方程组的解是
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】(1)直接利用加减消元法解三元一次方程组即可；
(2)先利用加减消元法消去未知数z，得出关于x、y的方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可解答.
11．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x= ，
∴2x=x+y-z，
∴y=x+z.
∵z=
∴2x=x-y+z，
∴y=x-z
∴x+z=x-z
∴z=0
把z=0代入z= 中得x=y，
∵x+y+z≠0，
∴x=y≠0
x2-y2=x2-x2=0=z2，所以A选项正确，符合题意；
xy≠0，z=0，所以B选项错误，不符合题意；
x2+y2≠0，z2=0，所以C选项错误，不符合题意.
x+y≠0，z=0，所以D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得2x=x+y-z，2x=x-y+z，化简可得y=x+z，y=x-z，推出z=0，则x=y≠0，据此判断.
12．【答案】（1）解：由已知，得 ，解得
（2）解：由（1）得y=x2-x+2，
当x=-2时，y=4+2+2=8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】(1) 根据y=ax2+bx+c ，根据题意得出关于a，b，c的三元一次方程组求解即可；
(2)利用(1)的结果得出 y=x2-x+2， 把x=-2代入等式中计算，即可求出结果.
13．【答案】设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，依题意得
3×①-②得，11x+5y+2z=10.
答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需10元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，根据“购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需6元”可得方程7x+3y+z=6；根据“购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需8元 ”可得方程10x+4y+z=8，利用第一个方程的3倍减去第二个方程可得11x+5y+2z的值，据此解答.
14．【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
，解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可.
15．【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
