河北省唐山市第一中学2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高二下·唐山期中）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2018高二下·临泽期末）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2020高二下·唐山期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2016高二上·郑州期中）命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
5．（2020高二下·唐山期中）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·唐山期中）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．90 D．96
7．（2020高二下·唐山期中）设函数 ，则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高二下·唐山期中）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高二下·唐山期中）定义在R上的偶函数 满足 ，且在[－1，0]上单调递减，设 ， ， ，则a、b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高二下·唐山期中）一个五位自然数 ，当且仅当 时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）
A．110 B．137 C．145 D．146
11．（2019高二下·南海期末）已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·唐山期中）已知函数 ，若方程 有8个相异实根，则实数b的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高二下·唐山期中）登山族为了了解某山高 （km）与气温 之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温 18 13 10
山高y（km） 24 34 38 h
由表中数据，得到线性回归方程 ，则 ．
14．（2020高二下·唐山期中）若 展开式中的常数项是60，则实数a的值为 ．
15．（2020高二下·唐山期中）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则 的最小值为 ．
16．（2020高二下·唐山期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
三、解答题
17．（2020高二下·唐山期中）若函数 ，当 时，函数 有极值 ．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程 有三个零点，求实数k的取值范围．
18．（2020高二下·唐山期中）已知函数 ．
（1）若 ,求函数 的定义域．
（2）若函数 的值域为R,求实数m的取值范围．
（3）若函数 在区间 上是增函数,求实数m的取值范围．
19．（2020高二下·唐山期中）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功 晋级失败 合计
男 16
女 50
合计
（参考公式： ，其中 ）
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望 ．
20．（2020高二下·唐山期中）已知函数 的图象关于原点对称，其中a为常数.
（1）求a的值；
（2）当 时， 恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 在 上有解，求k的取值范围.
21．（2020高二下·唐山期中）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行 工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息 小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行 工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别（单位：百元）
频数（人数） 2 250 450 290 8
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布 ，若该集团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中期望补贴数额在 范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：若 ，则 ， ， ．
22．（2020高二下·唐山期中）已知函数 （ 为自然对数的底数）， 是 的导函数.
（Ⅰ）当 时，求证 ；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得 对一切 恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解： ， ， ，
故答案为：A．
【分析】首先解得集合A，B，再根据补集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 的共轭复数为
对应点为 ，在第四象限，
故答案为：D.
【分析】通过计算求出复数的共轭复数，由复数的几何意义可得选项.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.
4．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是： x∈R， n∈N*，使得n＜x2．
故选：D．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
5．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 的定义域是（0，+∞），
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得： ，
故答案为：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
6．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有 =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有 =24种选择方案，综上所述，所有参赛方案有72+24=96种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分步加法计数原理，再利用组合数和排列数公式，从而求出不同的参赛方案种数。
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解： 的定义域为R，
，
∴函数 为偶函数，
且在 时， ，
而 为 上的单调递增函数，
且 为 上的单调递增函数，
∴函数 在 单调递增，
等价为 ，
即 ，
平方后整理得 ，
解得： ，
所求x的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】由偶函数的定义判断可得 为偶函数，观察解析式可知 在 单调递增， 等价为 ，根据函数的单调性即可得到结论．
8．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则 ；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为 ；
故答案为：A.
【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】∵偶函数 满足 ，∴函数的周期为2.
由于 ，
，
，
.且函数 在[－1，0]上单调递减，∴ .
故答案为：D
【分析】由 可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.
10．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；进行简单的合情推理
【解析】【解答】分四种情况进行讨论：（1）当 时， 和 有 种排法， 和 有 种排法，此时共 个；（2）当 时，有 个；（3）当 时，有 个；（4）当 时，有 个，由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有 个。
故答案为：D
【分析】利用凹数的定义结合分类讨论的方法，再利用分类加法计数原理结合组合数公式，从而求出满足条件的五位自然数中“凹数”的个数。
11．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在定义域 上为增函数，
在不等式 两边同时乘以 得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ，
故答案为：D.
【分析】构造函数 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，在不等式 两边同时乘以 化为 ，即 ，然后利用函数 在 上的单调性进行求解即可.
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】画出函数 的图象如下图所示．由题意知，当 时， ；当 时， ．
设 ，则原方程化为 ，
∵方程 有8个相异实根，
∴关于 的方程 在 上有两个不等实根，
令 ， ，
则 ，解得 ，
∴实数b的取值范围为 。
故答案为：D．
【分析】利用分段函数解析式画出分段函数的图象，令 ， ，进而求出函数的图象，再利用函数图象与x轴交点结合方程 有8个相异实根，再利用根与系数的关系，从而求出实数b的取值范围。
13．【答案】64
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表格中的数据，可得 ，
代入到线性回归方程 ，即 ，解得 ，
故答案为：64．
【分析】将 代入回归方程，即可求出h，得到答案.
14．【答案】±2
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 的通项公式为 ，
若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，
解得 或 （舍），
所以 ，
因为 展开式的常数项为60，
所以 ，
解得 ．
故答案为：±2
【分析】先得到 的通项公式为 ，若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，解得r，再根据常数项为60求解.
15．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2， ＝ ＝ ＝x－y＋ ≥4，则 的最小值为4。
【分析】利用对数运算法则求出xy＝2，再利用均值不等式求最值的方法变形，从而求出 的最小值。
16．【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
17．【答案】（1）解： ，由题意知 ，解得 ，故所求的解析式为 ；
（2）解：由（1）可得 ，
令 ，得 或 ，列表如下：
x -2 2
0 0
极大值 极小值
当 时， 有极大值 ，当 时， 有极小值 ；
（3）解：由（2）知，得到当 或 时， 为增函数；当 时， 为减函数，
∴函数 的图象大致如图，
由图可知当 时， 与 有三个交点，
所以实数 的取值范围为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，利用 ，解方程即可得答案；（2）对函数求导，令 ，并解导数不等式，即可得答案；（3）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案；
18．【答案】（1）解：若 ,则 ,
要使函数有意义,需 ,解得 ,
函数 的定义域为 ．
（2）解：若函数 的值域为R,则 能取遍一切正实数,
,即 ,
实数m的取值范围为
（3）解：若函数 在区间 上是增函数,根据复合函数的同增异减，
设 在区间 上是减函数,且 在区间 上恒成立,
,且 ,
即 且 ,
．
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；函数恒成立问题
【解析】【分析】 若 , ，根据 即可求出函数 的定义域． 若函数 的值域为R, 则 的范围包括所有正实数,即根据 求出m的取值范围． 若函数 在区间 上是增函数,根据同增异减，设 在区间 上是减函数,即对称轴 ；再根据定义域可得 在区间 上为正数；最后对求出的两个m的取值范围取交集即可．
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知 ，
解得 ；
（2）解：由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，
所以晋级成功的人数为 （人），
填表如下：
晋级成功 晋级失败 合计
男 16 34 50
女 9 41 50
合计 25 75 100
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得 ，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）解：由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，
将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，
所以 可视为服从二项分布，即 ，
，
故 ，
，
，
，
.
所以 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
数学期望为 .或（ ）．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求 的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.
20．【答案】（1）解：∵函数 的图象关于原点对称，∴函数 为奇函数，
∴ ，
即 ，解得 或 （舍）.
（2）解：
当 时， ，
∵当 时， 恒成立，
∴ .
（3）解：由（1）知， ，即 ，即 即 在 上有解，
在 上单调递减
的值域为 ，
∴
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+ （x﹣1）= （1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k= ﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）= ﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．
21．【答案】解：（Ⅰ）设中位数为x，则 ，
解得 ，因此，所得样本的中位数为 （百元）；
（Ⅱ） ， ， ，
加班补贴在 元以上的概率为：
， ，
因此，估计有91名员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）由题意可知，随机变量 的可能取值有0、1、2、3，
， ，
， .
的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
．
【知识点】频率分布表；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（Ⅰ）设样本的中位数为x，根据频率分布表中的数据可得出关于x的等式，进而可求得x的值；（Ⅱ）由题意可得 、 的值，可计算得出 ，将所得概率乘以4000可得结果；（Ⅲ）由题意可知，随机变量 的可能取值有0、1、2、3，利用超几何分布的概率公式可求得随机变量 在不同取值下的概率，进而可得出随机变量 的分布列，并利用数学期望公式可计算出随机变量 的数学期望.
22．【答案】解：（Ⅰ）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，故 在 时取得最小值，
在 上为增函数，
，
（Ⅱ） ，
由 ，得 对一切 恒成立，
当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 的值只能取1，2.
下面证明当 时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ） ， ，
当 时， ；当 时， ，
即 在 上是减函数，在 上是增函数，
，
当 时，不等式恒成立
所以a的最大值是2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）要证明函数不等式 （ ），注意到 ，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式 为 ，注意到特殊情形， 时，不等式为 ，因此a的值只有为1或2，因此只要证 时，不等式 恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为 ，因此只要研究函数 的单调性，求得最小值即可.
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高二下·唐山期中）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解： ， ， ，
故答案为：A．
【分析】首先解得集合A，B，再根据补集的定义求解即可.
2．（2018高二下·临泽期末）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 的共轭复数为
对应点为 ，在第四象限，
故答案为：D.
【分析】通过计算求出复数的共轭复数，由复数的几何意义可得选项.
3．（2020高二下·唐山期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.
4．（2016高二上·郑州期中）命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是： x∈R， n∈N*，使得n＜x2．
故选：D．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
5．（2020高二下·唐山期中）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 的定义域是（0，+∞），
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得： ，
故答案为：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
6．（2020高二下·唐山期中）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．90 D．96
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有 =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有 =24种选择方案，综上所述，所有参赛方案有72+24=96种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分步加法计数原理，再利用组合数和排列数公式，从而求出不同的参赛方案种数。
7．（2020高二下·唐山期中）设函数 ，则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解： 的定义域为R，
，
∴函数 为偶函数，
且在 时， ，
而 为 上的单调递增函数，
且 为 上的单调递增函数，
∴函数 在 单调递增，
等价为 ，
即 ，
平方后整理得 ，
解得： ，
所求x的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】由偶函数的定义判断可得 为偶函数，观察解析式可知 在 单调递增， 等价为 ，根据函数的单调性即可得到结论．
8．（2020高二下·唐山期中）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则 ；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为 ；
故答案为：A.
【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
9．（2020高二下·唐山期中）定义在R上的偶函数 满足 ，且在[－1，0]上单调递减，设 ， ， ，则a、b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】∵偶函数 满足 ，∴函数的周期为2.
由于 ，
，
，
.且函数 在[－1，0]上单调递减，∴ .
故答案为：D
【分析】由 可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.
10．（2020高二下·唐山期中）一个五位自然数 ，当且仅当 时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）
A．110 B．137 C．145 D．146
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；进行简单的合情推理
【解析】【解答】分四种情况进行讨论：（1）当 时， 和 有 种排法， 和 有 种排法，此时共 个；（2）当 时，有 个；（3）当 时，有 个；（4）当 时，有 个，由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有 个。
故答案为：D
【分析】利用凹数的定义结合分类讨论的方法，再利用分类加法计数原理结合组合数公式，从而求出满足条件的五位自然数中“凹数”的个数。
11．（2019高二下·南海期末）已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在定义域 上为增函数，
在不等式 两边同时乘以 得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ，
故答案为：D.
【分析】构造函数 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，在不等式 两边同时乘以 化为 ，即 ，然后利用函数 在 上的单调性进行求解即可.
12．（2020高二下·唐山期中）已知函数 ，若方程 有8个相异实根，则实数b的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】画出函数 的图象如下图所示．由题意知，当 时， ；当 时， ．
设 ，则原方程化为 ，
∵方程 有8个相异实根，
∴关于 的方程 在 上有两个不等实根，
令 ， ，
则 ，解得 ，
∴实数b的取值范围为 。
故答案为：D．
【分析】利用分段函数解析式画出分段函数的图象，令 ， ，进而求出函数的图象，再利用函数图象与x轴交点结合方程 有8个相异实根，再利用根与系数的关系，从而求出实数b的取值范围。
二、填空题
13．（2020高二下·唐山期中）登山族为了了解某山高 （km）与气温 之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温 18 13 10
山高y（km） 24 34 38 h
由表中数据，得到线性回归方程 ，则 ．
【答案】64
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表格中的数据，可得 ，
代入到线性回归方程 ，即 ，解得 ，
故答案为：64．
【分析】将 代入回归方程，即可求出h，得到答案.
14．（2020高二下·唐山期中）若 展开式中的常数项是60，则实数a的值为 ．
【答案】±2
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 的通项公式为 ，
若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，
解得 或 （舍），
所以 ，
因为 展开式的常数项为60，
所以 ，
解得 ．
故答案为：±2
【分析】先得到 的通项公式为 ，若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，解得r，再根据常数项为60求解.
15．（2020高二下·唐山期中）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2， ＝ ＝ ＝x－y＋ ≥4，则 的最小值为4。
【分析】利用对数运算法则求出xy＝2，再利用均值不等式求最值的方法变形，从而求出 的最小值。
16．（2020高二下·唐山期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
三、解答题
17．（2020高二下·唐山期中）若函数 ，当 时，函数 有极值 ．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程 有三个零点，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解： ，由题意知 ，解得 ，故所求的解析式为 ；
（2）解：由（1）可得 ，
令 ，得 或 ，列表如下：
x -2 2
0 0
极大值 极小值
当 时， 有极大值 ，当 时， 有极小值 ；
（3）解：由（2）知，得到当 或 时， 为增函数；当 时， 为减函数，
∴函数 的图象大致如图，
由图可知当 时， 与 有三个交点，
所以实数 的取值范围为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，利用 ，解方程即可得答案；（2）对函数求导，令 ，并解导数不等式，即可得答案；（3）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案；
18．（2020高二下·唐山期中）已知函数 ．
（1）若 ,求函数 的定义域．
（2）若函数 的值域为R,求实数m的取值范围．
（3）若函数 在区间 上是增函数,求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：若 ,则 ,
要使函数有意义,需 ,解得 ,
函数 的定义域为 ．
（2）解：若函数 的值域为R,则 能取遍一切正实数,
,即 ,
实数m的取值范围为
（3）解：若函数 在区间 上是增函数,根据复合函数的同增异减，
设 在区间 上是减函数,且 在区间 上恒成立,
,且 ,
即 且 ,
．
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；函数恒成立问题
【解析】【分析】 若 , ，根据 即可求出函数 的定义域． 若函数 的值域为R, 则 的范围包括所有正实数,即根据 求出m的取值范围． 若函数 在区间 上是增函数,根据同增异减，设 在区间 上是减函数,即对称轴 ；再根据定义域可得 在区间 上为正数；最后对求出的两个m的取值范围取交集即可．
19．（2020高二下·唐山期中）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功 晋级失败 合计
男 16
女 50
合计
（参考公式： ，其中 ）
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望 ．
【答案】（1）解：由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知 ，
解得 ；
（2）解：由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，
所以晋级成功的人数为 （人），
填表如下：
晋级成功 晋级失败 合计
男 16 34 50
女 9 41 50
合计 25 75 100
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得 ，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）解：由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，
将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，
所以 可视为服从二项分布，即 ，
，
故 ，
，
，
，
.
所以 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
数学期望为 .或（ ）．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求 的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.
20．（2020高二下·唐山期中）已知函数 的图象关于原点对称，其中a为常数.
（1）求a的值；
（2）当 时， 恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 在 上有解，求k的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数 的图象关于原点对称，∴函数 为奇函数，
∴ ，
即 ，解得 或 （舍）.
（2）解：
当 时， ，
∵当 时， 恒成立，
∴ .
（3）解：由（1）知， ，即 ，即 即 在 上有解，
在 上单调递减
的值域为 ，
∴
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+ （x﹣1）= （1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k= ﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）= ﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．
21．（2020高二下·唐山期中）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行 工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息 小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行 工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别（单位：百元）
频数（人数） 2 250 450 290 8
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布 ，若该集团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中期望补贴数额在 范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：若 ，则 ， ， ．
【答案】解：（Ⅰ）设中位数为x，则 ，
解得 ，因此，所得样本的中位数为 （百元）；
（Ⅱ） ， ， ，
加班补贴在 元以上的概率为：
， ，
因此，估计有91名员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）由题意可知，随机变量 的可能取值有0、1、2、3，
， ，
， .
的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
．
【知识点】频率分布表；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（Ⅰ）设样本的中位数为x，根据频率分布表中的数据可得出关于x的等式，进而可求得x的值；（Ⅱ）由题意可得 、 的值，可计算得出 ，将所得概率乘以4000可得结果；（Ⅲ）由题意可知，随机变量 的可能取值有0、1、2、3，利用超几何分布的概率公式可求得随机变量 在不同取值下的概率，进而可得出随机变量 的分布列，并利用数学期望公式可计算出随机变量 的数学期望.
22．（2020高二下·唐山期中）已知函数 （ 为自然对数的底数）， 是 的导函数.
（Ⅰ）当 时，求证 ；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得 对一切 恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，故 在 时取得最小值，
在 上为增函数，
，
（Ⅱ） ，
由 ，得 对一切 恒成立，
当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 的值只能取1，2.
下面证明当 时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ） ， ，
当 时， ；当 时， ，
即 在 上是减函数，在 上是增函数，
，
当 时，不等式恒成立
所以a的最大值是2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）要证明函数不等式 （ ），注意到 ，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式 为 ，注意到特殊情形， 时，不等式为 ，因此a的值只有为1或2，因此只要证 时，不等式 恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为 ，因此只要研究函数 的单调性，求得最小值即可.
