北京市大兴区2021年中考数学一模试卷
一、单选题
1．如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．长方体
【答案】D
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，
则可得出该几何体是长方体．
故答案为：D．
【分析】
2．（2021九下·大兴期中）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！98990000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：98990000= ；
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
4．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据 在数轴上的对应点的位置可知， ， ，
可判断 ， ， ， ，A、B、D选项不符合题意，不符合题意；C选项符合题意，符合题意；
故答案为：C．
【分析】
5．（2021九下·大兴期中）若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n=(n-2) 180°，
解得n=6，
故答案为：A．
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可。
6．如图， 是 的直径， 是 上两点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=55°，
∴∠B=∠D=55°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠BAC=90°-∠B=35°，
∴∠BOC=2∠BAC =70°．（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
故答案为：D．
【分析】
7．（2021九下·大兴期中）某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分 100 95 90 85
人数/名 2 8 2 3
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由题意可知，共有15名学生，成绩按从小到大排列， 位置排在中间的是第8名，
所以中位数是95，
平均数为 ，
故答案为：B.
【分析】利用中位数的定义及平均数的计算方法求解即可。
8．（2021九下·大兴期中）已知二次函数 ，当 和 时对应的函数值相等，则下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线 的开口向上
B．抛物线 与y轴有交点
C．当 时，抛物线 与x轴有交点
D．若 是抛物线 上两点，则
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A不符合题意；
当 时， ，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B不符合题意；
二次函数 ，当 和 时对应的函数值相等，它的对称轴为 ，即 ， ，抛物线解析式为 ，若抛物线 与x轴有交点，则 ，解得 ，故C符合题意；
两点关于抛物线对称轴直线 对称，所以 ，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据函数图象的性质和特点，逐次求解即可。
二、填空题
9．（2012·大连）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
10．如图所示的网格是正方形网格， 是网格线的交点，则 与 的大小关系为： （填“>”，“=”或“<”）．
【答案】<
【解析】【解答】解：如图所示：∠DBC=∠ACB=45°，
AB在∠DBC内部，所以，∠ABC<∠ACB，
故答案为：<．
【分析】
11．（2021九下·大兴期中）化简： ．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为： ．
【分析】利用分式的加减计算即可。
12．（2021九下·大兴期中）分解因式ma2﹣2mab+mb2= ．
【答案】m（a﹣b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ma2﹣2mab+mb2=m(a2﹣2ab+b2)=m(a-b)2.
故答案为m(a-b)2.
【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式因式分解即可。
13．（2021九下·大兴期中）某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为 ，则成活的树苗大约有 株．
【答案】1900
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：2000× =1900（株）；
所以成活的树苗大约有1900株．
故答案为：1900
【分析】直接利用总数乘以成活率，进而得出答案。
14．如图，在正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 的长是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ 分别是 的中点，
∴BD=2EF=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=4；
故答案为：4．
【分析】
15．（2021九下·大兴期中）小华到商店为班级购买跳绳和毽子两种体育用品，跳绳每个4元，毽子每个5元，两种体育用品共需购买22个，是否存在用90元钱完成这项购买任务的方案？ （填“是”或“否”）．
【答案】是
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设买跳绳x个，则毽子买（22-x）个，根据题意列方程得，
，
解得， ， ，
存在用90元钱完成这项购买任务的方案，买跳绳20个，毽子2个；
故答案为：是．
【分析】设买跳绳x个，则毽子买（22-x）个，根据题意列出方程求解即可。
16．如图，在 中， 分别为边 上的点（ 不与端点重合）．对于任意 ，下面四个结论中：
①存在无数个四边形 ，使得四边形 是平行四边形；
②至少存在一个四边形 ，使得四边形 菱形；
③至少存在一个四边形 ，使得四边形 矩形；
④存在无数个四边形 ，使得四边形 的面积是 面积的一半．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：只要满足AB∥EF，四边形 是平行四边形，这样的EF有无数条，故①符合题意；
因为 ，可在AD上截取AE=AB，再满足AB∥EF，四边形 是菱形，故②符合题意；
因为是任意 ，∠B不一定是直角，矩形 不一定存在，故③不符合题意；
当EF经过 对角线交点时，四边形 的面积是 面积的一半，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】
三、解答题
17．（2021九下·大兴期中）计算： ．
【答案】解：原式=
=
=1．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质及0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．（2021九下·大兴期中）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①， ，解得
解不等式②，
即 ，
∴不等式的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式组的解法求解即可。
19．（2021九下·大兴期中）已知抛物线 经过点( 1，8)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴交点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线 经过点( 1，8)，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：当 ，则 ．
解得 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将（-1，8）代入抛物线表达式得：，即可求解；
（2）将y=0代入，解之得，即可求解。
20．（2021九下·大兴期中）已知 ，求代数式 的值．
【答案】解：由已知可得：x2 3x=1，
∴原式=x2-4-3x2+6x
=-2x2+6x-4
=-2（x2-3x+2）
=-2（1+2）
=-2×3
=-6．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将x2 3x=1整体代入计算即可。
21．已知：如图 中， ．
求作：点P，使得点P在 上，且点P到 的距离等于 ．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线 于点 ；
②分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内部交于点F；
③作射线 交 于点P．则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：连接 ．
在 和 中
．
（ ▲ ）（填推理的依据）．
，点P在 上，
．
作 于点Q，
点P在 上，
▲ （ ▲ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：连接 ．
在 和 中
．
（全等三角形的对应角相等）（填推理的依据）．
，点P在 上，
．
作 于点Q，
点P在 上，
PQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）．
22．如图，矩形 中，对角线 与 相交于点 交 的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若AD=4，cos∠ADB= ，求 的长．
【答案】（1）解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，且AD=BC．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，AD∥CE．
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC．
∴BD=DE，
∴∠DBE =∠E，
∴∠ADB=∠E；
（2）解：∵AD=4，cos∠ADB= ，
∴ ，
∴BD=5，
由矩形的性质知，AC=BD=5，AO=CO= AC，
∴AO= ．
23．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于点 和点 ．
（1）求 的值及直线 的解析式；
（2）点 是线段 上两点且 ，若线段 与双曲线 无交点，求 的取值范围．
【答案】（1）解：将点 代入 得，m=（-2）×（-1）=2，
∴反比例解析式为 ；
∵ 在双曲线上，
∴n=2，
设直线 的解析式为y=kx+b，点 和点 在l上，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为：y=x+1；
（2）解：直线 的解析式y=x+1与x轴的交点C为（-1，0）
∵ 和点
∴ ,
∵ ，
∴PQ＜AB，
∵点 是线段 上两点且 ，
∴ ， ，
当 即点A与点Q重合时， ，
此时点P与点C重合，∴ ，
∵线段 与双曲线 无交点，
∴
24．（2021九下·大兴期中）随着绿色出行意识增强，更多市民选择公共交通出行．从市交通委获悉，目前，轨道交通多条线路缩短发车间隔，保障市民出行安全、便捷．
下图是地铁10号线由西钓鱼台站开往公主坟方向，工作日和双休日的列车时刻表（列车时刻表仅供参考，实际以现场列车运行情况为准）．小明从西钓鱼台站乘10号线地铁（开往公主坟方向）出行，结合图中信息回答以下问题：
10号线 西钓鱼台站列出时刻表
开往公主坟站方向 工作日
5 00
06 12 18
24 30 36
40 44 48
52 56
6 00
04 08 12
16 20 24
28 32 36
41 45 47
49 51 53
55 57 59
7 01
03 05 07
09 11 13
15 17 19
21 23 25
27 29 31
33 35 37
39 41 43
45 47 49
51 53 55
57 59
8 01 03
05 07 09
11 13 15
17 19 21
23 25 27
29 31 33
35 37 39
41 43 45
47 49 51
53 55 57
59
9 01
03 05 07
09 11 13
15 17 19
21 23 25
27 29 31
33 35 37
39 41 43
45 47 49
53 57
10 01
05 09 13
17 21 25
29 33 37
41 47 53
59
11 05
11 17 24
30 36 42
48 54
12 00
07 13 19
25 31 37
43 49 56
13 02
08 14 20
26 32 39
45 51 57
14 03
09 15 21
28 34 40
46 52 58
15 04
08 11 17
23 26 29
35 41 44
47 53
16 00
03 06 12
18 21 24
30 36 40
43 46 49
52 54 57
59
17 01
03 06 05
10 12 15
17 19 21
24 26 28
31 33 35
37 40 42
44 46 49
51 53 55
58
18 00
02 05 07
09 11 14
16 18 20
23 25 27
29 32 34
36 39 41
43 45 48
50 52 54
57 59
19 01
03 06 05
10 12 15
17 19 21
24 26 31
35 40 44
49 53 58
20 02
07 11 16
21 25 30
34 39 43
48 52 57
21 01
06 10 15
19 24 29
33 38 43
48 53
22 01
09 15 24
29 39 45
5 21 表示5点21分
10号线 西钓鱼台站列出时刻表
开往公主坟站方向 双休日
5 00
05 15 22
29 36 43
50 57
6 04
11 18 25
32 38 45
52 59
7 03
06 13 17
21 27 34
38 42 48
52 56
8 02
09 12 16
23 26 31 37 44
49 54 59
9 04
09 13 18
23 28 33
38 43 48
53 58
10 03
08 13 18
23 28 33
38 43 48
53 58
11 03
08 14 19
25 30 36
41 47 52
58
12 03
09 14 20
25 30 36
41 47 52
58
13 03
09 14 20
25 31 36
42 47 53
58
14 04
09 15 20
26 31 37
42 48 53
59
15 04
09 15 20
26 31 37
42 48 53
59
16 04
10 15 21
26 32 37
43 48 54
59
17 05
10 16 21
27 32 38
43 49 54
59
18 05
10 16 21
27 32 38
43 49 54
19 00
06 11 16
22 27 33
38 44 49
55
20 00
06 13 20
27 34 41
46 53
21 00
07 14 21
28 35 43
50 57
22 04
11 16 25
32 39 43
5 21 表示5点21分
（1）工作日早晨7点01分—7点59分这段时间内，列车发车间隔为 分钟；
（2）下列说法中：
①双休日早晨6点04—6点59期间列车发车最小间隔为7分钟；
②设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点—23点；
③设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11；
④工作日10点01分—10点59分发车次数为12．
所有正确说法的序号是 ；
（3）小明周一上午乘车时间为7点—7点10分之间，周二上午乘车时间为7点—7点06分之间．若这两天发车到站的时间与图中时间表一致，用画树状图或列表的方法，求小明这两天乘坐相同车次列车的概率（每天在同一时刻发车的列车视为相同车次）？
【答案】（1）2
（2）②③
（3）解：根据题意列表：
01 03 05 07 09
01 0101 0103 0105 0107 0109
03 0301 0303 0305 0307 0309
05 0501 0503 0505 0507 0509
一共有15种等可能结果，乘坐相同车次列车的结果有3种，两天乘坐相同车次列车的概率为： ．
【知识点】列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：(1) 工作日早晨7点01分—7点59分这段时间内，列车发车间隔为3-1=2(分钟)；
故答案为：2；
（2）双休日早晨6点04—6点59期间列车发车最小间隔为6:32-6:38，6分钟，故①不符合题意；
设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点—23点，共7次，故②符合题意；
设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11，共8个，故③符合题意；
工作日10点01分—10点59分发车次数为14，故④不符合题意；
故答案为：②③；
【分析】（1）根据图中的信息，可以得到工作日早晨7点01分-7点59分这段时间内，列车发车间隔；
（2）根据图中的信息，可以判断各个小题中的结论是否正确；
（3）根据图中的信息，可以画出相应的树状图，求出相应的概率。
25．如图， 为 的直径，点C，点D在 上，且点C是 的中点， 是 的切线且 交 的延长线于点E，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解：如图所示，连接OD
∵点C是 的中点
∴∠AOC=∠COD
又∵ 是 的切线且
∴OD⊥DE，AE∥OD
∴∠ACO=∠COD=∠AOC
∵OA=OC
∴∠ACO=∠CAO=∠AOC
即三角形AOC为等边三角形．
（2）解：如图所示，连接CD
由（1）证得三角形AOC是等边三角形
∴∠ACO=∠COD=∠AOC=60°
又∵OD=OC
∴三角形COD为等边三角形
∴∠CDO=60°
又∵∠ODE=90°
∴∠CDE=30°
∴
26．（2021九下·大兴期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点 ，且满足 ，求n的取值范围；
（3）若 时， ，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）解： 化成顶点式为： ，
抛物线顶点的坐标为（b，-2）；
（2）解：把 代入解析式得， ，解得， （舍去）， ，
抛物线解析式为： ，
因为抛物线开口向下，当 时，n有最小值，最小值为-2，当 时，n=2，当 时，n=-1，
所以，n的取值范围为： ＜ ；
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：(3)
把（3,2）代入 得， ，解得， ， ，
观察图象，当 时，满足 时， ；
把（5,2）代入 得， ，解得， ， ，
观察图象，当 时，满足 时， ；
故b的取值范围为 ．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0
27．如图，等边 中，点P是 边上一点，作点C关于直线 的对称点D，连接 ，作 于点E．
（1）若 ，依题意补全图1，并直接写出 的度数；
（2）如图2，若 ，
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系并加以证明．
【答案】（1）解：如图所示，即是所补全图；CD与直线 的交点为G，由对称可知，
∠AGC=90°，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①证明：由（1）得，∠BAC=60°，∠AGC=90°， , ；
由对称可知， ， ,
∴ ， ，
∴ ；
② ；
作BH⊥CD，交CD延长线于点H，由（2）得 ，
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
由（2）可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
28．在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ，若 （k为常数且 ），则称点M为点N的k倍直角点．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点
①若点 是点A的k倍直角点，则k的值是 ；
②在点 中是点A的2倍直角点的是 ；
③若直线 上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；
（2） 的圆心T的坐标为 ，半径为r，若 上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）5；D、O；③
（2）解：若 上存在点O的2倍直角点，即 与如图的正方形有交点（正方形的边界为点O的2倍直角点存在的区域），
由图可知，当⊙T与正方形有交点为H（0，0）时，⊙T的半径最大，即 ；
当⊙T与直线MN相切时，⊙T的半径最小，
过T作TQ⊥MN于Q，即 ，
根据正方形的性质知∠MNO= ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
【解析】【解答】（1）①根据k倍直角点的定义得：
，
故答案为： ；
②点C（2，3）， ，
点D（ 1，1）， ，
点E（0， 2）， ，
点O（0，0）， ，
∴是点A的2倍直角点的是D（ 1，1），O（0，0），
故答案为：D、O；
③如图，正方形的边界即为点A的2倍直角点存在的区域，
若直线 与其有交点，则过点（-1，1）时，b值最小，
即 ，解得： ，
当过点（3，1）时，b值最大，
即 ，解得： ，
∴b的取值范围为： ；
【分析】
北京市大兴区2021年中考数学一模试卷
一、单选题
1．如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．长方体
2．（2021九下·大兴期中）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！98990000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·大兴期中）若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图， 是 的直径， 是 上两点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九下·大兴期中）某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分 100 95 90 85
人数/名 2 8 2 3
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九下·大兴期中）已知二次函数 ，当 和 时对应的函数值相等，则下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线 的开口向上
B．抛物线 与y轴有交点
C．当 时，抛物线 与x轴有交点
D．若 是抛物线 上两点，则
二、填空题
9．（2012·大连）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
10．如图所示的网格是正方形网格， 是网格线的交点，则 与 的大小关系为： （填“>”，“=”或“<”）．
11．（2021九下·大兴期中）化简： ．
12．（2021九下·大兴期中）分解因式ma2﹣2mab+mb2= ．
13．（2021九下·大兴期中）某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为 ，则成活的树苗大约有 株．
14．如图，在正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 的长是 ．
15．（2021九下·大兴期中）小华到商店为班级购买跳绳和毽子两种体育用品，跳绳每个4元，毽子每个5元，两种体育用品共需购买22个，是否存在用90元钱完成这项购买任务的方案？ （填“是”或“否”）．
16．如图，在 中， 分别为边 上的点（ 不与端点重合）．对于任意 ，下面四个结论中：
①存在无数个四边形 ，使得四边形 是平行四边形；
②至少存在一个四边形 ，使得四边形 菱形；
③至少存在一个四边形 ，使得四边形 矩形；
④存在无数个四边形 ，使得四边形 的面积是 面积的一半．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．（2021九下·大兴期中）计算： ．
18．（2021九下·大兴期中）解不等式组：
19．（2021九下·大兴期中）已知抛物线 经过点( 1，8)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴交点的坐标．
20．（2021九下·大兴期中）已知 ，求代数式 的值．
21．已知：如图 中， ．
求作：点P，使得点P在 上，且点P到 的距离等于 ．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线 于点 ；
②分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内部交于点F；
③作射线 交 于点P．则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：连接 ．
在 和 中
．
（ ▲ ）（填推理的依据）．
，点P在 上，
．
作 于点Q，
点P在 上，
▲ （ ▲ ）（填推理的依据）．
22．如图，矩形 中，对角线 与 相交于点 交 的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若AD=4，cos∠ADB= ，求 的长．
23．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于点 和点 ．
（1）求 的值及直线 的解析式；
（2）点 是线段 上两点且 ，若线段 与双曲线 无交点，求 的取值范围．
24．（2021九下·大兴期中）随着绿色出行意识增强，更多市民选择公共交通出行．从市交通委获悉，目前，轨道交通多条线路缩短发车间隔，保障市民出行安全、便捷．
下图是地铁10号线由西钓鱼台站开往公主坟方向，工作日和双休日的列车时刻表（列车时刻表仅供参考，实际以现场列车运行情况为准）．小明从西钓鱼台站乘10号线地铁（开往公主坟方向）出行，结合图中信息回答以下问题：
10号线 西钓鱼台站列出时刻表
开往公主坟站方向 工作日
5 00
06 12 18
24 30 36
40 44 48
52 56
6 00
04 08 12
16 20 24
28 32 36
41 45 47
49 51 53
55 57 59
7 01
03 05 07
09 11 13
15 17 19
21 23 25
27 29 31
33 35 37
39 41 43
45 47 49
51 53 55
57 59
8 01 03
05 07 09
11 13 15
17 19 21
23 25 27
29 31 33
35 37 39
41 43 45
47 49 51
53 55 57
59
9 01
03 05 07
09 11 13
15 17 19
21 23 25
27 29 31
33 35 37
39 41 43
45 47 49
53 57
10 01
05 09 13
17 21 25
29 33 37
41 47 53
59
11 05
11 17 24
30 36 42
48 54
12 00
07 13 19
25 31 37
43 49 56
13 02
08 14 20
26 32 39
45 51 57
14 03
09 15 21
28 34 40
46 52 58
15 04
08 11 17
23 26 29
35 41 44
47 53
16 00
03 06 12
18 21 24
30 36 40
43 46 49
52 54 57
59
17 01
03 06 05
10 12 15
17 19 21
24 26 28
31 33 35
37 40 42
44 46 49
51 53 55
58
18 00
02 05 07
09 11 14
16 18 20
23 25 27
29 32 34
36 39 41
43 45 48
50 52 54
57 59
19 01
03 06 05
10 12 15
17 19 21
24 26 31
35 40 44
49 53 58
20 02
07 11 16
21 25 30
34 39 43
48 52 57
21 01
06 10 15
19 24 29
33 38 43
48 53
22 01
09 15 24
29 39 45
5 21 表示5点21分
10号线 西钓鱼台站列出时刻表
开往公主坟站方向 双休日
5 00
05 15 22
29 36 43
50 57
6 04
11 18 25
32 38 45
52 59
7 03
06 13 17
21 27 34
38 42 48
52 56
8 02
09 12 16
23 26 31 37 44
49 54 59
9 04
09 13 18
23 28 33
38 43 48
53 58
10 03
08 13 18
23 28 33
38 43 48
53 58
11 03
08 14 19
25 30 36
41 47 52
58
12 03
09 14 20
25 30 36
41 47 52
58
13 03
09 14 20
25 31 36
42 47 53
58
14 04
09 15 20
26 31 37
42 48 53
59
15 04
09 15 20
26 31 37
42 48 53
59
16 04
10 15 21
26 32 37
43 48 54
59
17 05
10 16 21
27 32 38
43 49 54
59
18 05
10 16 21
27 32 38
43 49 54
19 00
06 11 16
22 27 33
38 44 49
55
20 00
06 13 20
27 34 41
46 53
21 00
07 14 21
28 35 43
50 57
22 04
11 16 25
32 39 43
5 21 表示5点21分
（1）工作日早晨7点01分—7点59分这段时间内，列车发车间隔为 分钟；
（2）下列说法中：
①双休日早晨6点04—6点59期间列车发车最小间隔为7分钟；
②设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点—23点；
③设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11；
④工作日10点01分—10点59分发车次数为12．
所有正确说法的序号是 ；
（3）小明周一上午乘车时间为7点—7点10分之间，周二上午乘车时间为7点—7点06分之间．若这两天发车到站的时间与图中时间表一致，用画树状图或列表的方法，求小明这两天乘坐相同车次列车的概率（每天在同一时刻发车的列车视为相同车次）？
25．如图， 为 的直径，点C，点D在 上，且点C是 的中点， 是 的切线且 交 的延长线于点E，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长．
26．（2021九下·大兴期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点 ，且满足 ，求n的取值范围；
（3）若 时， ，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
27．如图，等边 中，点P是 边上一点，作点C关于直线 的对称点D，连接 ，作 于点E．
（1）若 ，依题意补全图1，并直接写出 的度数；
（2）如图2，若 ，
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系并加以证明．
28．在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ，若 （k为常数且 ），则称点M为点N的k倍直角点．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点
①若点 是点A的k倍直角点，则k的值是 ；
②在点 中是点A的2倍直角点的是 ；
③若直线 上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；
（2） 的圆心T的坐标为 ，半径为r，若 上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，
则可得出该几何体是长方体．
故答案为：D．
【分析】
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：98990000= ；
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
4．【答案】C
【解析】【解答】解：根据 在数轴上的对应点的位置可知， ， ，
可判断 ， ， ， ，A、B、D选项不符合题意，不符合题意；C选项符合题意，符合题意；
故答案为：C．
【分析】
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n=(n-2) 180°，
解得n=6，
故答案为：A．
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=55°，
∴∠B=∠D=55°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠BAC=90°-∠B=35°，
∴∠BOC=2∠BAC =70°．（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
故答案为：D．
【分析】
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由题意可知，共有15名学生，成绩按从小到大排列， 位置排在中间的是第8名，
所以中位数是95，
平均数为 ，
故答案为：B.
【分析】利用中位数的定义及平均数的计算方法求解即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A不符合题意；
当 时， ，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B不符合题意；
二次函数 ，当 和 时对应的函数值相等，它的对称轴为 ，即 ， ，抛物线解析式为 ，若抛物线 与x轴有交点，则 ，解得 ，故C符合题意；
两点关于抛物线对称轴直线 对称，所以 ，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据函数图象的性质和特点，逐次求解即可。
9．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
10．【答案】<
【解析】【解答】解：如图所示：∠DBC=∠ACB=45°，
AB在∠DBC内部，所以，∠ABC<∠ACB，
故答案为：<．
【分析】
11．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为： ．
【分析】利用分式的加减计算即可。
12．【答案】m（a﹣b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ma2﹣2mab+mb2=m(a2﹣2ab+b2)=m(a-b)2.
故答案为m(a-b)2.
【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式因式分解即可。
13．【答案】1900
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：2000× =1900（株）；
所以成活的树苗大约有1900株．
故答案为：1900
【分析】直接利用总数乘以成活率，进而得出答案。
14．【答案】4
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ 分别是 的中点，
∴BD=2EF=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=4；
故答案为：4．
【分析】
15．【答案】是
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设买跳绳x个，则毽子买（22-x）个，根据题意列方程得，
，
解得， ， ，
存在用90元钱完成这项购买任务的方案，买跳绳20个，毽子2个；
故答案为：是．
【分析】设买跳绳x个，则毽子买（22-x）个，根据题意列出方程求解即可。
16．【答案】①②④
【解析】【解答】解：只要满足AB∥EF，四边形 是平行四边形，这样的EF有无数条，故①符合题意；
因为 ，可在AD上截取AE=AB，再满足AB∥EF，四边形 是菱形，故②符合题意；
因为是任意 ，∠B不一定是直角，矩形 不一定存在，故③不符合题意；
当EF经过 对角线交点时，四边形 的面积是 面积的一半，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】
17．【答案】解：原式=
=
=1．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质及0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解：
解不等式①， ，解得
解不等式②，
即 ，
∴不等式的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式组的解法求解即可。
19．【答案】（1）解：∵抛物线 经过点( 1，8)，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：当 ，则 ．
解得 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将（-1，8）代入抛物线表达式得：，即可求解；
（2）将y=0代入，解之得，即可求解。
20．【答案】解：由已知可得：x2 3x=1，
∴原式=x2-4-3x2+6x
=-2x2+6x-4
=-2（x2-3x+2）
=-2（1+2）
=-2×3
=-6．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将x2 3x=1整体代入计算即可。
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：连接 ．
在 和 中
．
（全等三角形的对应角相等）（填推理的依据）．
，点P在 上，
．
作 于点Q，
点P在 上，
PQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）．
22．【答案】（1）解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，且AD=BC．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，AD∥CE．
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC．
∴BD=DE，
∴∠DBE =∠E，
∴∠ADB=∠E；
（2）解：∵AD=4，cos∠ADB= ，
∴ ，
∴BD=5，
由矩形的性质知，AC=BD=5，AO=CO= AC，
∴AO= ．
23．【答案】（1）解：将点 代入 得，m=（-2）×（-1）=2，
∴反比例解析式为 ；
∵ 在双曲线上，
∴n=2，
设直线 的解析式为y=kx+b，点 和点 在l上，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为：y=x+1；
（2）解：直线 的解析式y=x+1与x轴的交点C为（-1，0）
∵ 和点
∴ ,
∵ ，
∴PQ＜AB，
∵点 是线段 上两点且 ，
∴ ， ，
当 即点A与点Q重合时， ，
此时点P与点C重合，∴ ，
∵线段 与双曲线 无交点，
∴
24．【答案】（1）2
（2）②③
（3）解：根据题意列表：
01 03 05 07 09
01 0101 0103 0105 0107 0109
03 0301 0303 0305 0307 0309
05 0501 0503 0505 0507 0509
一共有15种等可能结果，乘坐相同车次列车的结果有3种，两天乘坐相同车次列车的概率为： ．
【知识点】列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：(1) 工作日早晨7点01分—7点59分这段时间内，列车发车间隔为3-1=2(分钟)；
故答案为：2；
（2）双休日早晨6点04—6点59期间列车发车最小间隔为6:32-6:38，6分钟，故①不符合题意；
设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点—23点，共7次，故②符合题意；
设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11，共8个，故③符合题意；
工作日10点01分—10点59分发车次数为14，故④不符合题意；
故答案为：②③；
【分析】（1）根据图中的信息，可以得到工作日早晨7点01分-7点59分这段时间内，列车发车间隔；
（2）根据图中的信息，可以判断各个小题中的结论是否正确；
（3）根据图中的信息，可以画出相应的树状图，求出相应的概率。
25．【答案】（1）解：如图所示，连接OD
∵点C是 的中点
∴∠AOC=∠COD
又∵ 是 的切线且
∴OD⊥DE，AE∥OD
∴∠ACO=∠COD=∠AOC
∵OA=OC
∴∠ACO=∠CAO=∠AOC
即三角形AOC为等边三角形．
（2）解：如图所示，连接CD
由（1）证得三角形AOC是等边三角形
∴∠ACO=∠COD=∠AOC=60°
又∵OD=OC
∴三角形COD为等边三角形
∴∠CDO=60°
又∵∠ODE=90°
∴∠CDE=30°
∴
26．【答案】（1）解： 化成顶点式为： ，
抛物线顶点的坐标为（b，-2）；
（2）解：把 代入解析式得， ，解得， （舍去）， ，
抛物线解析式为： ，
因为抛物线开口向下，当 时，n有最小值，最小值为-2，当 时，n=2，当 时，n=-1，
所以，n的取值范围为： ＜ ；
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：(3)
把（3,2）代入 得， ，解得， ， ，
观察图象，当 时，满足 时， ；
把（5,2）代入 得， ，解得， ， ，
观察图象，当 时，满足 时， ；
故b的取值范围为 ．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0
27．【答案】（1）解：如图所示，即是所补全图；CD与直线 的交点为G，由对称可知，
∠AGC=90°，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①证明：由（1）得，∠BAC=60°，∠AGC=90°， , ；
由对称可知， ， ,
∴ ， ，
∴ ；
② ；
作BH⊥CD，交CD延长线于点H，由（2）得 ，
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
由（2）可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
28．【答案】（1）5；D、O；③
（2）解：若 上存在点O的2倍直角点，即 与如图的正方形有交点（正方形的边界为点O的2倍直角点存在的区域），
由图可知，当⊙T与正方形有交点为H（0，0）时，⊙T的半径最大，即 ；
当⊙T与直线MN相切时，⊙T的半径最小，
过T作TQ⊥MN于Q，即 ，
根据正方形的性质知∠MNO= ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
【解析】【解答】（1）①根据k倍直角点的定义得：
，
故答案为： ；
②点C（2，3）， ，
点D（ 1，1）， ，
点E（0， 2）， ，
点O（0，0）， ，
∴是点A的2倍直角点的是D（ 1，1），O（0，0），
故答案为：D、O；
③如图，正方形的边界即为点A的2倍直角点存在的区域，
若直线 与其有交点，则过点（-1，1）时，b值最小，
即 ，解得： ，
当过点（3，1）时，b值最大，
即 ，解得： ，
∴b的取值范围为： ；
【分析】
