广东省佛山市南海区金石实验中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．（2022九上·崂山期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程得：1-k-2=0，
解得：k=-1，
故答案为：B．
【分析】把x=-1代入方程中即可求出k值.
3．下列图形一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
4．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而胜在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长为为8cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（ ）号窗口
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
6．如图，，两条直线与三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．已知点，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经过调查，发现A，B，C，D，E，F的接触情况如图所示．若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知A是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC=90°，，，且AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴，
∴AC=2AB，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AB=CD=4，
∴，
∴矩形ABCD的周长是.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，矩形的对角线相等可推得OA=OB；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形；根据等边三角形的三条边相等可推得AC=2AB；根据等边三角形三线合一的性质可得E为OB的中点；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值；求得AB的值；即可求得矩形ABCD的周长.
10．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题（共5小题，每题3分）
11．菱形ABCD的周长为24，一个内角为60°，则较长对角线的长为 ．
【答案】
12．在平面直角坐标系中，已知点，．以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点E的对应点的坐标为 ．
【答案】
13．若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】0
14．（2022九上·青岛期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
【分析】过D作交于G，根据对称性可知，，可得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
15．如图，直线AB与函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，若，，则为 ．
【答案】
三、解答题（共8小题，第16-18题，每题8分；第19-21题每题9分，第22-23题每题12分）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴或
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
17．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米．求车道的宽度（单位：米）．
【答案】解：设车道的宽度为米，
则停车位可合成长为米，宽为米的矩形．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：车道的宽度为3米．
18．为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．
（1）如图①，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为 ；
（2）如图②，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．
【答案】（1）
（2）解：由图②知，甲可坐在第1排第1、2、3列，乙可坐在第2排第2、3列．
这是随机事件中的等可能事件，所有可能结果如下表：
甲 乙 1 2 3
2
3
由表可知，一共有6种等可能结果，其中甲、乙刚好坐在现一列的结果有2种，分别是、．
∴P（甲、乙两人刚好坐在同一列上）．
19．（2019九上·郑州期中）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩. 某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）. 已知小明的眼睛离地面1. 65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1. 7米. 请根据以上数据求出城楼的高度.
.
【答案】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，
由题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
故城楼的高度为： （米），
答：城楼的高度为7. 3m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.
20．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将沿真线AC折叠，点B的对应点记为点E，边CE交AD于点F，连接DE，OF．
（1）求证：；
（2）若，请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可知：，∴，
∴，∴是等腰三角形，
∵，∴；
（2）解：四边形AODE是菱形，理由如下：
∵，，∴，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，∴，，，
∴，
∵，∴，，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
∴，∴，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵，∴四边形AODE是菱形．
21．已知：如图，在中，，点D、E分别是边AC、AB的中点，，DF与CE相交于点F．AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴，，
∵，∴．
在和中，，
∴，∴；
（2）解：∵，点D是边AC的中点，∴DF是AC的垂直平分线，
∴，∴．
由（1）知：，∴．
∵，∴，
，
∴．
∵点D是边AC的中点，∴，∴．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段EF所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接OE和OF，边OC、OA分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．
回答下列问题：
（1）求的面积．
（2）求证：．
（3）若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标．
【答案】（1）解：∵的解集为，
∴点F的坐标为，点E的横坐标为6，将带入是，
∴反比例函数的解析式为
将代入得：
∴点E的坐标为
将、代入得解得
∴EF所在直线的解析式为
将代入得：
∴点D的坐标为
∴
（2）解：将代入得
∴点G的坐标为，由（1）可知：、、、、
∴、、、
∵四边形OABC为矩形，∴、
∴
在和中
∴
（3）解：、、、
23．如图1，已知菱形ABCD的面积为96，连接AC，，其中点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点．
（1）①求证：四边形EFGH为矩形．
②求矩形EFGH的面积．
（2）如图2，连接FH，点O为FH的中点，M、N为线段EF和EH上的动点且，在M、N运动过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接EO、MN，当线段EO把分成面积之比为的两部分时，求ME的长．
【答案】（1）解：证明：①连接BD交AC于点O
∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点．
∴EH和FG分别为和的中位线，EF为的中位线
∴，，，，
∴，
∴四边形EFGH为平行四边形
∵四边形ABCD为菱形，∴，∴，即
∴四边形EFGH为矩形
②解：∵四边形ABCD是菱形
∴，
∵，∴
设，，
在中，
∴
∴
∵菱形ABCD的面积为96
∴，即
解得：
∴，
∴，
∴
（2）解：的值不会发生变化，
过点O作，分别交EF、EH于P、Q两点
∴，，
，
∵，∴
∴，∴
∴
（3）解：设EO与MN相交于点K
①若，则，∴
∴，
∵，∴．
设，则，
由（2）知
∴，即，解得
∴．
②若，则，∴
∴，
∵，∴．
设，，则，
由（2）知
∴，即，解得
∴
综上所述，EM的值为或．
广东省佛山市南海区金石实验中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·崂山期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．下列图形一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而胜在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长为为8cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（ ）号窗口
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，，两条直线与三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经过调查，发现A，B，C，D，E，F的接触情况如图所示．若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知A是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每题3分）
11．菱形ABCD的周长为24，一个内角为60°，则较长对角线的长为 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点，．以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点E的对应点的坐标为 ．
13．若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
14．（2022九上·青岛期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
15．如图，直线AB与函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，若，，则为 ．
三、解答题（共8小题，第16-18题，每题8分；第19-21题每题9分，第22-23题每题12分）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
17．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米．求车道的宽度（单位：米）．
18．为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．
（1）如图①，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为 ；
（2）如图②，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．
19．（2019九上·郑州期中）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩. 某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）. 已知小明的眼睛离地面1. 65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1. 7米. 请根据以上数据求出城楼的高度.
.
20．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将沿真线AC折叠，点B的对应点记为点E，边CE交AD于点F，连接DE，OF．
（1）求证：；
（2）若，请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．
21．已知：如图，在中，，点D、E分别是边AC、AB的中点，，DF与CE相交于点F．AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段EF所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接OE和OF，边OC、OA分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．
回答下列问题：
（1）求的面积．
（2）求证：．
（3）若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标．
23．如图1，已知菱形ABCD的面积为96，连接AC，，其中点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点．
（1）①求证：四边形EFGH为矩形．
②求矩形EFGH的面积．
（2）如图2，连接FH，点O为FH的中点，M、N为线段EF和EH上的动点且，在M、N运动过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接EO、MN，当线段EO把分成面积之比为的两部分时，求ME的长．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程得：1-k-2=0，
解得：k=-1，
故答案为：B．
【分析】把x=-1代入方程中即可求出k值.
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC=90°，，，且AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴，
∴AC=2AB，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AB=CD=4，
∴，
∴矩形ABCD的周长是.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，矩形的对角线相等可推得OA=OB；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形；根据等边三角形的三条边相等可推得AC=2AB；根据等边三角形三线合一的性质可得E为OB的中点；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值；求得AB的值；即可求得矩形ABCD的周长.
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】0
14．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
【分析】过D作交于G，根据对称性可知，，可得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
15．【答案】
16．【答案】（1）解：，
∴或
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
17．【答案】解：设车道的宽度为米，
则停车位可合成长为米，宽为米的矩形．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：车道的宽度为3米．
18．【答案】（1）
（2）解：由图②知，甲可坐在第1排第1、2、3列，乙可坐在第2排第2、3列．
这是随机事件中的等可能事件，所有可能结果如下表：
甲 乙 1 2 3
2
3
由表可知，一共有6种等可能结果，其中甲、乙刚好坐在现一列的结果有2种，分别是、．
∴P（甲、乙两人刚好坐在同一列上）．
19．【答案】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，
由题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
故城楼的高度为： （米），
答：城楼的高度为7. 3m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可知：，∴，
∴，∴是等腰三角形，
∵，∴；
（2）解：四边形AODE是菱形，理由如下：
∵，，∴，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，∴，，，
∴，
∵，∴，，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
∴，∴，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵，∴四边形AODE是菱形．
21．【答案】（1）解：∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴，，
∵，∴．
在和中，，
∴，∴；
（2）解：∵，点D是边AC的中点，∴DF是AC的垂直平分线，
∴，∴．
由（1）知：，∴．
∵，∴，
，
∴．
∵点D是边AC的中点，∴，∴．
22．【答案】（1）解：∵的解集为，
∴点F的坐标为，点E的横坐标为6，将带入是，
∴反比例函数的解析式为
将代入得：
∴点E的坐标为
将、代入得解得
∴EF所在直线的解析式为
将代入得：
∴点D的坐标为
∴
（2）解：将代入得
∴点G的坐标为，由（1）可知：、、、、
∴、、、
∵四边形OABC为矩形，∴、
∴
在和中
∴
（3）解：、、、
23．【答案】（1）解：证明：①连接BD交AC于点O
∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点．
∴EH和FG分别为和的中位线，EF为的中位线
∴，，，，
∴，
∴四边形EFGH为平行四边形
∵四边形ABCD为菱形，∴，∴，即
∴四边形EFGH为矩形
②解：∵四边形ABCD是菱形
∴，
∵，∴
设，，
在中，
∴
∴
∵菱形ABCD的面积为96
∴，即
解得：
∴，
∴，
∴
（2）解：的值不会发生变化，
过点O作，分别交EF、EH于P、Q两点
∴，，
，
∵，∴
∴，∴
∴
（3）解：设EO与MN相交于点K
①若，则，∴
∴，
∵，∴．
设，则，
由（2）知
∴，即，解得
∴．
②若，则，∴
∴，
∵，∴．
设，，则，
由（2）知
∴，即，解得
∴
综上所述，EM的值为或．
