第三节 代数式与整式
基础过关
1. (2023河北)代数式 －7x的意义可以是( )
A. －7与 x的和 B. －7与 x的差
C. －7与 x的积 D. －7与x的商
2. (2023株洲)计算：(3a)2＝( )
A. 5a B. 3a2 C. 6a2 D. 9a2
3. (2023吉林省卷)下列各式运算结果为 a5的是( )
A. a2＋a3 B. a2·a3
C. (a2)3 D. a10÷a2
4. (2023扬州)若·2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是( )
A. a B. 2a C. ab D. 2ab
5. (2023陕西)计算：6xy3·(－x3y2)＝( )
A. 3x4y5 B. －3x4y5
C. 3x3y6 D. －3x3y6
6. (2023营口)下列计算结果正确的是( )
A. a3·a3＝2a3
B. 8a2－5a2＝3a2
C. a8÷a2＝a4
D. (－3a2)3＝－9a6
7. (2023益阳)下列因式分解正确的是( )
A. 2a2－4a＋2＝2(a－1)2
B. a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C. 4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b)
D. a3b－ab3＝ab(a－b)2
8. (2023娄底)下列运算正确的是 ( )
A. a2·a4＝a8
B. a2＋3a＝4a2
C. (a＋2)(a－2)＝a2－2
D. (－2a2b)3＝－8a6b3
9. (2023江西)单项式－5ab的系数为________．
10. (2023北京)分解因式：x2y－y3＝________．
11. (2023江西)化简：(a＋1)2－a2＝________．
12. (2023甘肃省卷)因式分解：ax2－2ax＋a＝ ________．
13. (2023深圳)已知实数 a，b，满足 a＋b＝6，ab＝7，则 a2b＋ab2的值为________．
14. (跨学科整合)(2023运城模拟)在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“H”的个数为________．
第14题图
15. (2023长春)2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为________公里．(用含x的代数式表示)
16. (开放性试题) (2023舟山)一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 (x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：________．
17. (2023凉山州)已知 y2－my＋1是完全平方式，则 m的值是________．
18. (2023湘潭)已知实数 a，b满足 (a－2)2＋|b＋1|＝0，则ab＝________．
19. (2023无锡)化简：(x＋2y)(x－2y)－x(x－y)
20. (2023邵阳)先化简，再求值： (a－3b)(a＋3b)＋(a－3b)2，其中 a＝－3，b＝.
21. (理性思维与批判质疑) 下面是小陶同学进行分解因式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
分解因式：(x2－4x＋9)(x2－8x＋9)＋4x2.
解：原式＝(x2－6x＋2x＋9)(x2－6x－2x＋9)＋4x2第一步
＝[(x－3)2＋2x][(x－3)2－2x]＋4x2第二步
＝(x－3)2－4x2＋4x2第三步
＝(x－3)2.第四步
任务一：①以上解题过程中，第一步到第二步运用了________；
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 _______________________；
任务二：请直接写出正确的结果；
任务三：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为________．
综合提升
22. (2023河北)若k为任意整数，则 (2k＋3)2－4k2的值总能( )
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
23. (2023随州)设有边长分别为 a和b(a＞b)的 A类和 B类正方形纸片、长为 a宽为 b的 C类矩形纸片若干张，如图所示要拼一个边长为 a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形，则需要 C类纸片的张数为( )
第23题图
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
24. (2023乐山)若m，n满足3m－n－4＝0，则 8m÷2n＝________．
25. (2023河北)根据下表中的数据，写出a的值为________，b的值为________．
代数式 结果 x 2 n
3x＋1 7 b
a 1
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26.(代数推理) 发现：相差为2的三个连续整数，存在前后两个整数的积与4的和等于中间整数的平方．
(1)验证：选取三个连续差2的整数：－1，1，3，则－1×3＋4＝(________)2；
(2)设最小的整数为n ，请用含n的式子论证“发现”的结论正确；
(3)迁移：相差为a的三个连续整数，最小的整数为n ，若前后两个整数的积与9的和等于中间整数的平方，求a的值．
第三节 代数式与整式
1. C 2. D
3. B 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A a2和a3不是同类项， 不能合并 ×
B a2·a3＝a2＋3＝a5 √
C (a2)3＝a2×3＝a6≠a5 ×
D a10÷a2＝a10－2＝a8≠a5 ×
4. A 【解析】根据单项式乘单项式法则，a·2a2b＝2a3b，故选A.
5. B
6. B 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A a3·a3＝a3＋3＝a6≠2a3 ×
B 8a2－5a2＝3a2 √
C a8÷a2＝a8－2＝a6≠a4 ×
D (－3a2)3＝(－3)3·a2×3＝－27a6≠－9a6 ×
7. A 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 2a2－4a＋2＝2(a2－2a＋1)＝2(a－1)2 √
B a2＋ab＋a＝a(a＋b＋1)≠a(a＋b) ×
C 4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)≠(4a＋b)(4a－b) ×
D a3b－ab3＝ab(a＋b)(a－b)≠ab(a－b)2 ×
8. D 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A a2·a4＝a2＋4＝a6≠a8 ×
B a2和3a不是同类 项，不能合并 ×
C (a＋2)(a－2)＝a2－4 ≠a2－2 ×
D (－2a2b)3＝(－2)3· a2×3b3＝－8a6b3 √
9. －5
10. y(x＋y)(x－y) 【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y).
11. 2a＋1 【解析】(a＋1)2－a2＝a2＋2a＋1－a2＝2a＋1.
12. a(x－1)2 【解析】ax2－2ax＋a＝a(x2－2x＋1)＝a(x－1)2.
13. 42 【解析】∵a＋b＝6，ab＝7，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝7×6＝42.
14. 20 【解析】由题图可得，甲烷分子结构式中“H”的个数是2＋2×1＝4；乙烷分子结构式中“H”的个数是2＋2×2＝6；丙烷分子结构式中“H”的个数是2＋2×3＝8；…，∴壬烷分子结构式中“H”的个数是2＋2×9＝20.
15. (7.5－10x)
16. x2－1(答案不唯一) 【解析】∵x2－1＝(x＋1)(x－1)，因式分解后有一个因式为(x＋1)，∴这个多项式可以是x2－1(答案不唯一).
17. ±2 【解析】∵y2－my＋1是完全平方式，∴－m＝±2，解得m＝±2.
18. 【解析】∵(a－2)2＋|b＋1|＝0，∴a－2＝0且b＋1＝0，解得a＝2，b＝－1，∴ab＝2－1＝.
19. 解：原式＝x2－4y2－x2＋xy
＝xy－4y2.
20. 解：原式＝a2－9b2＋a2－6ab＋9b2
＝2a2－6ab.
当a＝－3，b＝时，
原式＝2×(－3)2－6×(－3)×＝24.
21. 解：任务一：①D；
②三，平方差公式用错(或运用平方差公式时，漏给(x－3)2进行平方)；
任务二：(x－3)4；
任务三：配方法．
22. B 【解析】(2k＋3)2－4k2＝(2k＋3＋2k)(2k＋3－2k)＝3(4k＋3).∵k为任意整数，∴(2k＋3)2－4k2的值总能被3整除．
23. C 【解析】长为(3a＋b)，宽为(2a＋2b)的矩形的面积为(3a＋b)(2a＋2b)＝6a2＋2b2＋8ab，需要6张A类纸片，2张B类纸片和8张C类纸片，故选C.
24. 16 【解析】8m÷2n＝23m÷2n＝23m－n.∵3m－n－4＝0，∴3m－n＝4，∴8m÷2n＝24＝16.
25. ，－2 【解析】根据表格可知，当x＝2时，＝＝a.当x＝n时，＝1，解得n＝－1(使分母不为0，符合题意).当x＝n时，3n＋1＝b，将n＝－1 代入，得3×(－1)＋1＝b，解得b＝－2.
26. 解：(1)1；
(2)∵最小的整数为n，
∴这三个整数分别为n，n＋2，n＋4，
∴n(n＋4)＋4＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2，
∴相差为2的三个连续整数，存在前后两个整数的积与4的和等于中间整数的平方；
(3)∵相差为a的三个整数，最小的整数为n，
∴这三个整数分别为n，n＋a，n＋2a，
∴n(n＋2a)＋9＝(n＋a)2 ，
∴n2＋2an＋9＝n2＋2an＋a2，
∴a2＝9，解得a＝±3.
