浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级第一学期数学期中阶段性检测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的选项.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x-1 B．y＝2x C．y＝x2+1 D．y＝
2．已知⊙O的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
3．二次函数y=-（x+2）2+1的图象顶点坐标是（ ）
A．（-2，-1） B．（2，1） C．（1，-2） D．（-2，1）
4．下列事件中，为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．旭日东升
C．当x为某一实数时可使x2＜0 D．明天要下雨
5．（2021九上·上城期中）关于二次函数y＝-x2+2x的最值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最小值0 B．当x＝2时，y有最大值0
C．当x＝1时，y有最小值1 D．当x＝1时，y有最大值1
6．（2021九上·江干期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为2 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10
7．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC，若∠B＝70°，∠ADB＝126°，则∠AOB的度数为（ ）
A．132° B．120° C．112° D．110°
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … -4 -1 0 -1 -4 …
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
9．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠A＝α，∠C＝β，则（ ）
A．若α+β＝70°，则弧DE的度数为20°
B．若α+β＝70°，则弧DE的度数为40°
C．若α-β＝70°，则弧DE的度数为20°
D．若α-β＝70°，则弧DE的度数为40°
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有-1≤y1-y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x-5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x-5，y＝x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2-1，y＝2x2-x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x-5，y＝x2-4x的“逼近区间”．其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝x2-4x+5的图象与y轴交点坐标是 ．
12．若四边形ABCD是圆内接四边形，它的内角∠A＝120°，则∠C＝ ．
13．一个不透明的布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ．
14．（2021九上·江干期末）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A=25°，则∠AFC=
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为 ．
16．（2022·蚌埠模拟）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点.
已知二次函数.
（1）若3是此函数的不动点，则的值为 .
（2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为 .
三、解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．已知抛物线y=2x2+bx+c经过点（3，0），（0，-6）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点A（-2，8）是否在抛物线上，请说明理由.
18．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
19．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
⑴将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
⑵请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
20．如图，抛物线y＝x2-2x+c的顶点A在直线l：y＝x-a上，点D（3，0）为抛物线上一点．
（1）求a的值；
（2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABD的形状．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
22．掷实心球是湖州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据湖州市高中段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m时，得分为满分10分．请说明该女生在此项考试中是否得满分．
23．已知二次函数y＝x2-2ax+1-a．
（1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标．
（2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值．
（3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝-1，求y1+y2的取值范围．
24．已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．
（1）如图1，连结OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连结GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=-x2+2x=-（x-1）2+1，a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
∴当x=1时，y有最大值为1.
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），a＞0，当x=h时，y的最小值为k；a＜0，当x=h时，y的最大值为k；即可求解.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，
∴∠AEO=90°，
∴；
∴CD=10，故C不符合题意；
CE=OC-OE=5-3=2，故B不符合题意
∴，故A符合题意；
AD＜10 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】连接OA，利用勾股定理求出圆的半径，可得到CD的长，可对C作出判断，再求出CE的长，可对B作出判断；再利用勾股定理可对A作出判断；利用直角三角形中最长的边是斜边，可对D作出判断.
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】（0，5）
12．【答案】60°
13．【答案】
14．【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵弧DE=弧DE，
∴∠A＝∠EOD，
∴∠EOD＝2∠A=50°，
∴∠AFC＝∠D＋∠EOD＝25°＋50°=75°.
故答案为：75°.
【分析】利用平行线的性质可求出∠D的度数；再利用圆周角定理可求出∠EOD的度数；然后利用三角形外角的性质可求出∠AFC的度数.
15．【答案】5或-1
16．【答案】（1）-12
（2）m＜-2
【知识点】定义新运算；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)由题意，将x=y=3代入得，3=9+6+m，解得m=-12.
(2)由题意知二次函数y=x2+2x+m有两个相异的不动知a、b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，且a＜1＜b，
整理，得：x2+x+m=0，
由x2+x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知△＞0，
令y=x2+x+m，画出该二次函数的草图如下：
则解得m＜-2，
故答案为：（1）-12；（2）m＜-2.
【分析】（1）由函数的不动点概念得出3=9+6+m，再解出m=-12即可；
（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，由a＜1＜b，知△＞0，令y=x2+x+m，则x=1时y<0，据此得到，解之可得。
17．【答案】（1）y=2x2-4x-6
（2）不在
18．【答案】（1）卡片上的数是0的概率是
（2）列表格如下：（设正数为A，负数为B）
A B 0
A A，A B，A 0，A
B A，B B，B 0，B
0 A，0 B，0 0，0
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的数字之积为0有5种可能，
所以两次抽取的数字之积为0的概率为
19．【答案】⑴如图，△AB′C′即为所求．
⑵如图，点O即为所求．
20．【答案】（1）∵点D（3，0）在抛物线y＝x2-2x+c
∴9-6+c＝0，∴c＝-3．
由y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4得，顶点A为（1，-4）
∵顶点A在直线y＝x-a上，∴当x＝1时，∴y＝1-a＝-4，∴a＝5；
（2）△ABD是直角三角形；
由（1）可知，y＝x2-2x-3，∴B（0，-3），
∴BD2＝OB2+OD2＝18，
AB2＝（4-3）2+12＝2，
AD2＝（3-1）2+42＝20，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形.
21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴
（2）设圆半径为r
∵OD⊥AC，OD是半径
∴AF=CF=AC=8
∵DF=4∴OF=r-4
在Rt△OAF中，有（r-4）2+82=r2
解的r=10，∴⊙O的直径等于20．
22．【答案】（1）设顶点式y=a（x-3）2+3（a≠0），
把（0，），代入，得a=
∴y=（x-3）2+3
（2）令y=0，即（x-3）2+3=0，解的x1=-1.5（舍去），x2=7.5
∵7.5>6.70
∴该女生在此项考试中得满分．
23．【答案】（1）把点（3，3）代入y＝x2-2ax+1-a，得a=1
∴函数解析式是y＝x2-2x，抛物线顶点坐标（1，-1）．
（2）∵二次图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在x轴上或者抛物线经过原点，
①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点.令y=0，即x2-2ax+1-a=0则=（-2a）2-4（1-a）=0
解得a=-±
②抛物线经过原点，即1-a=0解得a=1
当a=1时，4a2+4a-4=4>0，满足题意.综上所述，a的值为或或1
（3）∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝x2-2ax+1-a图象上有两个不同的点
∴y1＝x12-2ax1+1-a
y2＝x22-2ax2+1-a
∴y1+y2=x12+x22-2a（x1+x2）+2-2a
∵x1+x2=-1，∴x2=-1-x1
∴y1+y2=x12+（-1-x1）2+2a+2-2a=2x12+2x1+3=2（x1+）2+
∵点A，B是图象上有两个不同的点
∴x1≠x2≠
∴y1+y2=2（x1+）2+＞
24．【答案】（1）①证明：连接OA，如图，则OA=OB=OC
在△OAB和△OCB中
∵OA=OC，OB=OB，AB=BC
∴△OAB≌△OCB
∴∠OBA=∠OBC，即BO平分∠ABC
②β＝2α
（2）)猜想：AG，CG，BG三者之间的数量关系：AG2+2BG2=CG2
证明：延长GA交⊙O于点H，连接BH，CH，如图
∵∠ABC=90°，AB=CB
∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BHA=∠F=∠BCA=45°，∠BHC=∠BAC=45°.
∴∠GHC=∠AHB+∠BHC=90°
∴CG2=GH2+CH2
∵△ABF和△ABG关于AB对称
∴∠BGA=∠F=45°
∴∠BGA=∠BHA=45°
∴BG=BH
∴∠GBH=∠180°-∠BGA-∠GHB=90°
∴BG2+BH2=HG2即GH2=2BG2
∵∠GBH=∠ABC=90°
∴∠GBA+∠ABH=∠CBH+∠ABE，即∠GBA=∠CBH
∵∠BGA=∠BHC=45°，BA=BC
∴△GBA≌△HBC
∴AG=CH
∴AG2+2BG2=CG2
浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级第一学期数学期中阶段性检测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的选项.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x-1 B．y＝2x C．y＝x2+1 D．y＝
【答案】C
2．已知⊙O的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
【答案】C
3．二次函数y=-（x+2）2+1的图象顶点坐标是（ ）
A．（-2，-1） B．（2，1） C．（1，-2） D．（-2，1）
【答案】D
4．下列事件中，为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．旭日东升
C．当x为某一实数时可使x2＜0 D．明天要下雨
【答案】C
5．（2021九上·上城期中）关于二次函数y＝-x2+2x的最值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最小值0 B．当x＝2时，y有最大值0
C．当x＝1时，y有最小值1 D．当x＝1时，y有最大值1
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=-x2+2x=-（x-1）2+1，a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
∴当x=1时，y有最大值为1.
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），a＞0，当x=h时，y的最小值为k；a＜0，当x=h时，y的最大值为k；即可求解.
6．（2021九上·江干期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为2 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，
∴∠AEO=90°，
∴；
∴CD=10，故C不符合题意；
CE=OC-OE=5-3=2，故B不符合题意
∴，故A符合题意；
AD＜10 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】连接OA，利用勾股定理求出圆的半径，可得到CD的长，可对C作出判断，再求出CE的长，可对B作出判断；再利用勾股定理可对A作出判断；利用直角三角形中最长的边是斜边，可对D作出判断.
7．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC，若∠B＝70°，∠ADB＝126°，则∠AOB的度数为（ ）
A．132° B．120° C．112° D．110°
【答案】C
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … -4 -1 0 -1 -4 …
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【答案】A
9．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠A＝α，∠C＝β，则（ ）
A．若α+β＝70°，则弧DE的度数为20°
B．若α+β＝70°，则弧DE的度数为40°
C．若α-β＝70°，则弧DE的度数为20°
D．若α-β＝70°，则弧DE的度数为40°
【答案】B
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有-1≤y1-y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x-5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x-5，y＝x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2-1，y＝2x2-x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x-5，y＝x2-4x的“逼近区间”．其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】A
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝x2-4x+5的图象与y轴交点坐标是 ．
【答案】（0，5）
12．若四边形ABCD是圆内接四边形，它的内角∠A＝120°，则∠C＝ ．
【答案】60°
13．一个不透明的布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ．
【答案】
14．（2021九上·江干期末）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A=25°，则∠AFC=
【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵弧DE=弧DE，
∴∠A＝∠EOD，
∴∠EOD＝2∠A=50°，
∴∠AFC＝∠D＋∠EOD＝25°＋50°=75°.
故答案为：75°.
【分析】利用平行线的性质可求出∠D的度数；再利用圆周角定理可求出∠EOD的度数；然后利用三角形外角的性质可求出∠AFC的度数.
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为 ．
【答案】5或-1
16．（2022·蚌埠模拟）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点.
已知二次函数.
（1）若3是此函数的不动点，则的值为 .
（2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为 .
【答案】（1）-12
（2）m＜-2
【知识点】定义新运算；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)由题意，将x=y=3代入得，3=9+6+m，解得m=-12.
(2)由题意知二次函数y=x2+2x+m有两个相异的不动知a、b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，且a＜1＜b，
整理，得：x2+x+m=0，
由x2+x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知△＞0，
令y=x2+x+m，画出该二次函数的草图如下：
则解得m＜-2，
故答案为：（1）-12；（2）m＜-2.
【分析】（1）由函数的不动点概念得出3=9+6+m，再解出m=-12即可；
（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，由a＜1＜b，知△＞0，令y=x2+x+m，则x=1时y<0，据此得到，解之可得。
三、解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17．已知抛物线y=2x2+bx+c经过点（3，0），（0，-6）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点A（-2，8）是否在抛物线上，请说明理由.
【答案】（1）y=2x2-4x-6
（2）不在
18．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
【答案】（1）卡片上的数是0的概率是
（2）列表格如下：（设正数为A，负数为B）
A B 0
A A，A B，A 0，A
B A，B B，B 0，B
0 A，0 B，0 0，0
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的数字之积为0有5种可能，
所以两次抽取的数字之积为0的概率为
19．△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
⑴将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′（点B对应点B′），画出△AB′C′．
⑵请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置．
【答案】⑴如图，△AB′C′即为所求．
⑵如图，点O即为所求．
20．如图，抛物线y＝x2-2x+c的顶点A在直线l：y＝x-a上，点D（3，0）为抛物线上一点．
（1）求a的值；
（2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABD的形状．
【答案】（1）∵点D（3，0）在抛物线y＝x2-2x+c
∴9-6+c＝0，∴c＝-3．
由y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4得，顶点A为（1，-4）
∵顶点A在直线y＝x-a上，∴当x＝1时，∴y＝1-a＝-4，∴a＝5；
（2）△ABD是直角三角形；
由（1）可知，y＝x2-2x-3，∴B（0，-3），
∴BD2＝OB2+OD2＝18，
AB2＝（4-3）2+12＝2，
AD2＝（3-1）2+42＝20，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形.
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴
（2）设圆半径为r
∵OD⊥AC，OD是半径
∴AF=CF=AC=8
∵DF=4∴OF=r-4
在Rt△OAF中，有（r-4）2+82=r2
解的r=10，∴⊙O的直径等于20．
22．掷实心球是湖州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据湖州市高中段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m时，得分为满分10分．请说明该女生在此项考试中是否得满分．
【答案】（1）设顶点式y=a（x-3）2+3（a≠0），
把（0，），代入，得a=
∴y=（x-3）2+3
（2）令y=0，即（x-3）2+3=0，解的x1=-1.5（舍去），x2=7.5
∵7.5>6.70
∴该女生在此项考试中得满分．
23．已知二次函数y＝x2-2ax+1-a．
（1）若图象过点（3，3），求抛物线顶点坐标．
（2）若图象与坐标轴有两个交点，求a的值．
（3）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝-1，求y1+y2的取值范围．
【答案】（1）把点（3，3）代入y＝x2-2ax+1-a，得a=1
∴函数解析式是y＝x2-2x，抛物线顶点坐标（1，-1）．
（2）∵二次图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在x轴上或者抛物线经过原点，
①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点.令y=0，即x2-2ax+1-a=0则=（-2a）2-4（1-a）=0
解得a=-±
②抛物线经过原点，即1-a=0解得a=1
当a=1时，4a2+4a-4=4>0，满足题意.综上所述，a的值为或或1
（3）∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝x2-2ax+1-a图象上有两个不同的点
∴y1＝x12-2ax1+1-a
y2＝x22-2ax2+1-a
∴y1+y2=x12+x22-2a（x1+x2）+2-2a
∵x1+x2=-1，∴x2=-1-x1
∴y1+y2=x12+（-1-x1）2+2a+2-2a=2x12+2x1+3=2（x1+）2+
∵点A，B是图象上有两个不同的点
∴x1≠x2≠
∴y1+y2=2（x1+）2+＞
24．已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．
（1）如图1，连结OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连结GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】（1）①证明：连接OA，如图，则OA=OB=OC
在△OAB和△OCB中
∵OA=OC，OB=OB，AB=BC
∴△OAB≌△OCB
∴∠OBA=∠OBC，即BO平分∠ABC
②β＝2α
（2）)猜想：AG，CG，BG三者之间的数量关系：AG2+2BG2=CG2
证明：延长GA交⊙O于点H，连接BH，CH，如图
∵∠ABC=90°，AB=CB
∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BHA=∠F=∠BCA=45°，∠BHC=∠BAC=45°.
∴∠GHC=∠AHB+∠BHC=90°
∴CG2=GH2+CH2
∵△ABF和△ABG关于AB对称
∴∠BGA=∠F=45°
∴∠BGA=∠BHA=45°
∴BG=BH
∴∠GBH=∠180°-∠BGA-∠GHB=90°
∴BG2+BH2=HG2即GH2=2BG2
∵∠GBH=∠ABC=90°
∴∠GBA+∠ABH=∠CBH+∠ABE，即∠GBA=∠CBH
∵∠BGA=∠BHC=45°，BA=BC
∴△GBA≌△HBC
∴AG=CH
∴AG2+2BG2=CG2
