柳城中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题20231222
班级__________ 姓名__________ 座号__________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：
1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
-6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793
则当精确度1.0时，方程的近似解可取为（ ）
A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
5.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是：，指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：dB），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，若有四个不同的根，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.不等式的解集为
C. D. 的最小值为-4
10.下列说法正确的是（ ）
A.若函数的零点所在区间为，则
B.函数的图象恒过一定点，这个定点是
C.“”是“”的必要条件
D.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
11.已知函数，若任意且都有，
则实数的值可以是（ ）
A.-1 B. C.0 D.
12.已知函数（且），则下列命题为真命题的是（ ）
A. 时，的增区间为 B. 是值域为的充要条件
C.存在，使得为奇函数或偶函数 D.当时，的定义域不可能为
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域为__________.
14.已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是_______.
15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
16.已知函数，若正实数，满足，则的最小值为__________.
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）（1）化简求值：；
（2）已知a，b为正实数，函数，若，求的最小值.
18.（12分）已知命题“，”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）关于的不等式组解集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
19.（12分）已知是幂函数，且在上单调递增.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
20.（12分）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
/月 0 2 8 16
/吨 2.0 4.0 6.0 7.0
为了研究该生物总量w与时间t的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w与t的变化关系：
①；②（且）.
（1）请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；
（2）根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量w由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量w再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，）
21.（12分）函数定义在上的奇函数.
（1）求m的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式.
22.（12分）已知函数（且）.
（1）若函数有零点，求的取值范围；
（2）设函数（且），在（1）的条件下，若，，使得，求实数的取值范围.
柳城中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题答案20231222
1.B
2.A【详解】集合，集合，则，由并集的运算可知：，故选：A
3.A函数，定义域为，，所以函数为奇函数，排除CD；当时，，排除B.故选A
4.C由表格可得，函数的零点在区间内.结合选项可知，方程的近似解可取为1.8.故选C.
5.D【详解】，，，又因为，，所以，.所以，选：D.
6.C【详解】令，解得或，即函数的零点为0和，又，由零点的存在性定理，得，，，，所以，，，又，得，所以.故选：C.
7.B由题意，，则，所以，当时，即，则，当时，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确.故选B.
8.【答案】B【详解】函数，当时，单调递增，，当时，单调递减，，当时，在上递减，在上递增，，作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同的根，，，，不妨令，
即直线与函数的图象有4个公共点，
观察图象知，，，
显然有，且，
由得，
即，则有，
因此，
所以的取值范围为.故选：B
9.AB 关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向下，即，故A正确；
且方程的两根为-3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，因为，所以，即，所以，解得，所以不等式的解集为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，，，所以，，当且仅当，即时，等号成立，与矛盾，所以，取不到最小值.故选AB.
10.【答案】ABD【详解】对于A：函数是单调函数，故函数最多存在一个零点，且，，由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间内，故.所以A正确；
对于B：函数，令，得，此时
∴函数的图象过定点，所以B正确；
对于C：“”推不出“”，C错误；
对于D：方程有一正一负根（设为，）等价于，即，
则“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，所以D正确.
故选：ABD.
11.【答案】ABC【详解】不妨令，因为，所以，即，令，则，因为，所以在上单调递减，当时，符合题意；当时，则，解得：，综上所述：实数的取值范围是，显然.故选：ABC.
12.ABD当时，在上单调递增，故A正确；
当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确；
的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集.
要使为偶函数，则，
于是，即对定义域内的实数恒成立，
∴，但此时对数的底数为零，无意义；
要使为奇函数，则，即，
于是，
即，该式不能恒成立.
综上，C错误；
的解集为，等价于，即，
所以当时，的定义域不可能为，故D正确.
故选ABD.
13.【答案】
【详解】由题意，，解得，故函数的定义域为.故答案为：.
14.【答案】
【详解】由已知可知：在上单调递增，
故若要符合题意需：.
故答案为：.
15.【答案】
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
16.6 易知在上单调递增，
因为，
所以是上的奇函数，且在上单调递增，
又已知，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号.
17.解：（1）【小问1详解】原式.
【小问2详解】因为，所以，
由于，所以，
当且仅当取“＝”.
18.解：（1）因为命题“，”是真命题，所以方程有实根，
则有，解得，所以实数m的取值集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则B是A的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的的取值范围是或.
19.【详解】（1）是幂函数，∴，解得或；又在上单调递增，∴，∴的值为4；
（2）函数，
当时，在区间上单调递增，最小值为；
当时，在区间上先减后增，最小值为，
当时，在区间上单调递减，最小值为.
20.解：（1）由已知将前2列数据代入解析式①得：.
解之得：，∴①；将前2列数据代入解析式②得：，
解之得：，②.
（2）当时，模型①，模型②；
当时，模型①，模型②；
∴选模型②；当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过26-2=24个月时，总量能再翻一番.
21.【解】（1）解法1：因为为定义在上的奇函数，
所以，所以，
得，即.
因为，所以，即.
解法2：因为为定义在上的奇函数，所以，.
当时，，所以.
（2）在上单调递增.由（1）得.
任取，，
由于，所以，，所以在上单调递增.
（3）由（2）得函数在上单调递增，且为奇函数，所以不等式等价于等价于，等价于，
等价于，.
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为空集.
22.【解】：（1）若函数有零点，即，
即方程有解.
令，则函数的图象与直线有交点.
当时，，，故方程无解.
当时，，，由方程有解可知，所以.
综上，的取值范围是.
（2）当时，，
由（1）知，，当且仅当时取等号，所以的最小值是.
由题意，，，使得成立，
即，成立，所以对恒成立，
设则对恒成立，
设函数，
易知函数和函数在上都是减函数，
则，所以.
即的取值范围是.
